2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似经典题型检测卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似经典题型检测卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 809.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-19 19:09:30 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似经典题型检测卷
一、选择题
1．若=，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2． 下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
3．如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）
A．或5 B．或
C．或2 D．或2
4．如图，在梯形中，交于点，已知，，，，则梯形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
6．如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在ΔABC中，点D为BC上的点，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点E.已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 ．
10．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ．
11．如图，在中，，，，则的值为 .
12．如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
13．如图，已知点、分别是、边上的点，且∽，相似比为：，交于点，则： ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.点D是边AC上的动点，过点D作DE//BC，交边AB于点E，F是边BC上一点.若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且DE=c，则x的值是 .
15．如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
16．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD相交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF十EG= .
三、解答题
17．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
18．已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于，求证：.
19．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
20．在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F.
（1）若ED=，求DF的长.
（2）求证：AE·CF=1.
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.
21．如图，AB是的直径，AD与相切于点A，过B点作交于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E.
（1）求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积.（结果保留）
22．如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE// BD，交CD的延长线于点E，AB=AM.
（1）求证：△ABM∽△ECA.
（2）当CM=4OM时，求AD的长.
（3）当CM= kOM时，设△MCD的面积为S1，△ADE的面积为S2 ，求的值（用含k的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】
10．【答案】8
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】：
14．【答案】 或
15．【答案】；
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：∵MB＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠MCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ABC；
（2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC，
∴AC＝9，
∵△AMB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝27，
∴AB＝3（负值舍去），
∴AB的长为3．
18．【答案】证明：连接，
，是中线，
是的对称轴.
，.
，（两直线平行，内错角相等），
.
又，
.
（相似三角形的对应边成比例）.
.
.
19．【答案】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=CD=1，
∴△DEF∽△CBF，△DEF∽△CBF
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F.
又∵∠A=∠BCD=90°，
∴△ABE∽△CFB，
∴AE·CF=AB·BC=1.
（3）解：设 EG=ED=x，
则AE= AD=ED=1-x，BE=BG+GE=1+x.
在Rt△ABE中，
AB +AE =BE ，
∴1+
.
21．【答案】（1）证明：为的直径，，
又，，
即.
又，，
.
（2）解：与相切，.
，，
，，
，，
，，
.
22．【答案】（1）证明：∵ AE// BD
∴∠AMB=∠CAE
∵∠B=∠C
∴ △ABM∽△ECA.
（2）解：作BH⊥AC于点H，连结BC
∵CM=4OM，且半径OC=5
∴OM=1，CM=4，AC=10，AB=AM=6
∵AC是直径
∴∠ABC=90°
由△ABH∽△ACB，可得AB2=AH·AC
∴62=10AH
∴AH=3.6，BH=62-3.62=4.8
∴HM=6-3.6=2.4
∵ AB=AM
∴∠HMD=∠ABM=∠ACD
∵∠BHM=∠ADC
∴△BHM∽△ADC
∴CDAD=HMBH=2.44.8=12
∴CD：AD：AC=1：2：
∴AD=AC5×2=45
（3）解：若 CM= kOM，记OM=a，则CM=ka，OC=a+ak=OA，AC=2OC=2a+2ak，
∵AE// BD
∴S△MCDS△ACE=CMAC2=ka2a+2ka2=k22+2k2
∴S1=S △MCD =k22+2k2S△ACE
以AE为底，则S△ADES△ACE=AMAC=a+ka+a2a+2ka=2+k2+2k ∴S2=S △ADE =2+k2+2kS△ACE
∴.
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2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似经典题型检测卷
一、选择题
1．若=，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2． 下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
3．如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）
A．或5 B．或
C．或2 D．或2
4．如图，在梯形中，交于点，已知，，，，则梯形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
6．如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在ΔABC中，点D为BC上的点，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点E.已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 ．
10．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ．
11．如图，在中，，，，则的值为 .
12．如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
13．如图，已知点、分别是、边上的点，且∽，相似比为：，交于点，则： ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.点D是边AC上的动点，过点D作DE//BC，交边AB于点E，F是边BC上一点.若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且DE=c，则x的值是 .
15．如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
16．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD相交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF十EG= .
三、解答题
17．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
18．已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于，求证：.
19．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
20．在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F.
（1）若ED=，求DF的长.
（2）求证：AE·CF=1.
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.
21．如图，AB是的直径，AD与相切于点A，过B点作交于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E.
（1）求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积.（结果保留）
22．如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE// BD，交CD的延长线于点E，AB=AM.
（1）求证：△ABM∽△ECA.
（2）当CM=4OM时，求AD的长.
（3）当CM= kOM时，设△MCD的面积为S1，△ADE的面积为S2 ，求的值（用含k的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】
10．【答案】8
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】：
14．【答案】 或
15．【答案】；
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：∵MB＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠MCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ABC；
（2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC，
∴AC＝9，
∵△AMB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝27，
∴AB＝3（负值舍去），
∴AB的长为3．
18．【答案】证明：连接，
，是中线，
是的对称轴.
，.
，（两直线平行，内错角相等），
.
又，
.
（相似三角形的对应边成比例）.
.
.
19．【答案】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=CD=1，
∴△DEF∽△CBF，△DEF∽△CBF
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F.
又∵∠A=∠BCD=90°，
∴△ABE∽△CFB，
∴AE·CF=AB·BC=1.
（3）解：设 EG=ED=x，
则AE= AD=ED=1-x，BE=BG+GE=1+x.
在Rt△ABE中，
AB +AE =BE ，
∴1+
.
21．【答案】（1）证明：为的直径，，
又，，
即.
又，，
.
（2）解：与相切，.
，，
，，
，，
，，
.
22．【答案】（1）证明：∵ AE// BD
∴∠AMB=∠CAE
∵∠B=∠C
∴ △ABM∽△ECA.
（2）解：作BH⊥AC于点H，连结BC
∵CM=4OM，且半径OC=5
∴OM=1，CM=4，AC=10，AB=AM=6
∵AC是直径
∴∠ABC=90°
由△ABH∽△ACB，可得AB2=AH·AC
∴62=10AH
∴AH=3.6，BH=62-3.62=4.8
∴HM=6-3.6=2.4
∵ AB=AM
∴∠HMD=∠ABM=∠ACD
∵∠BHM=∠ADC
∴△BHM∽△ADC
∴CDAD=HMBH=2.44.8=12
∴CD：AD：AC=1：2：
∴AD=AC5×2=45
（3）解：若 CM= kOM，记OM=a，则CM=ka，OC=a+ak=OA，AC=2OC=2a+2ak，
∵AE// BD
∴S△MCDS△ACE=CMAC2=ka2a+2ka2=k22+2k2
∴S1=S △MCD =k22+2k2S△ACE
以AE为底，则S△ADES△ACE=AMAC=a+ka+a2a+2ka=2+k2+2k ∴S2=S △ADE =2+k2+2kS△ACE
∴.
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