2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数过关练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数过关练习
一、单选题
1．关于的二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列函数的图象中，不能通过二次函数的图象平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表：
0 1 3
3 5 3
则代数式的值为（ ）
A． B． C．9 D．15
5．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴是直线
C．当时，y有最大值是
D． 时，y随x的增大而减小
6．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，设，点是二次函数图象上的动点，将点绕着某定点顺时针旋转，得到新的点，已知点、，的面积的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图是抛物线图象的一部分．抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，直线与抛物线交于、两点．下列结论：
；
；
方程有两个相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，有．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．二次函数的顶点坐标是 ．
10．如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）．
11．如果二次函数的图象经过原点，那么的值为 ．
12．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加 ．
13．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个，若销售单价每涨1元，则销量减少1个．设涨价x元，利润为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
14．如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点．已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为 ．
15．如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到，连，则的最小值为 ．

16．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，，．
(1)若点在抛物线上，求的值．
(2)若对于任意的，总有，求的取值范围．
18．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者，已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量与销售单价x（元/）满足关系式：，经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/，当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
(1)当日销售量不低于时，x的取值范围是______；
(2)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
(3)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
19．如图，已知二次函数的图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
20．小林同学不仅是一名篮球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对篮球比赛进行技术分析，下面是他对定点投篮篮球飞行轨迹的分析，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度，图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为，当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)若运动员的站立点距篮圈中心的水平距离为，篮圈中心距地面的高度为，试判断该运动员本次投篮能否直接投中篮圈中心？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该运动员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心．
21．如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E．当时，求P点坐标．
(3)若抛物线上存在点T，使得是以为直角边的直角三角形，直接写出点T的坐标．
22．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用决定抛物线与轴的交点个数得到，然后解不等式即可，熟记二次函数与轴有两个交点，；有一个交点，；没有交点，是解题的关键．
【详解】由得，
∵关于的二次函数的图象与轴有交点，
∴，解得：，
又∵，
∴且，
故选：．
2．B
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键．
将函数图象绕其顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线绕顶点旋转180°后的图象的表达式为．
故选：B．
3．B
【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：，，均能通过平移得到，
而是一次函数，故不能通过平移得到，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，明确平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是关键，理解二次项系数确定抛物线的形状．
4．B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格数据得到该二次函数的对称轴为直线，再根据时的函数值求解即可．
【详解】解：根据表格数据，当和时，函数值都是3，
∴该二次函数的对称轴为直线，
又当时，，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查二次函数，对称轴为，时：开口向上，在时有最小值是，在上 y随x的增大而减小， 上y随x的增大而增大逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
函数的对称轴是：，
∵，
∴函数的图像开口向上，当时，有最小值，时， y随x的增大而减小，
所以时， y随x的增大而减小，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式．设每件降价元，则每件的利润是元，所售件数是件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，
依题意得，
故选：A．
7．A
【分析】将点、点绕着点逆时针旋转，由旋转的性质可知，计算、、的长度，得出是等边三角形，求出的斜率，设直线解析式，当直线与抛物线只有一个交点的时候，到直线的距离最小，最小，最小，联立抛物线与直线的解析式，当时，求出，进而求得长度，根据三角形面积公式，即可求解，
本题考查了旋转的性质，一次函数与二次函数交点，两点间距离公式，解题的关键是：通过将点、点绕着点逆时针旋转，找到．
【详解】解：将点、点绕着点逆时针旋转，得到点、，连接、、、、、、，过点作直线，与轴交于点，过点作，交的延长线于点，
由旋转的性质可知，
，，，
，是等边三角形，，，
，，，点与点重合，
，
设直线的解析式为：，
与抛物线方程联立，，整理得：，
当直线与抛物线只有一个交点的时候，到直线的距离最小，最小，最小，
此时，，解得：，
，，
，
的最小值为，
故选：．
8．C
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由根据图象特征可确定，，的符号，即可判定；根据对称轴，确定，的关系，然后判定即可；方程的根，就是直线与抛物线交点的横坐标，判定即可；根据对称性判断即可；由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则；熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，故正确；
∵抛物线的顶点坐标，
∴时，二次函数有最大值，
∴方程有两个相等的实数根，故正确；
∵抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故错误；
∵抛物线与直线交于，，
∴当时，，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
9．
【分析】本题考查二次函数的性质，先化为顶点式的形式，进而利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得顶点坐标是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
函数的对称轴为：，
点关于的对称点为：，
∵，，
∴，
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将原点坐标代入函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，则，
故答案为：1．
12．
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为，
把点代入，得，
解得
∴，
当时，，
解得
∴水面下降时，水面宽度增加
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意找出数量关系是解题的关键．设设涨价x元，利润为y元，由销售利润等于单件利润乘熟练列函数解析式即可求解；
【详解】解：由题意，得总销量为个，每个商品的销售利润为 (元)，则,
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解答本题的关键．
根据题意二次函数过点，，得到二次函数的表达式：，又，得到当时，最小，为，当时，最大，为，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
二次函数过点，，
，
，
，
又，
，
当时，最小，为，
当时，最大，为，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，二次函数的性质，根据题意表示出是解题的关键．
过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴交x轴于D，

设，
由旋转的性质可得，，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
，
∴的最小值为8，
∴的最小值是；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可．
【详解】解：连接交于，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，平分，
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
把代入得：
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
17．(1)；
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）将点代入解析式，即可求解；
（2）设抛物线上的四个点的坐标分别为，点关于对称轴直线的对称点为，根据题意可得或，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得：
（2）解：∵，，抛物线开口向上，对称轴为直线；
∴时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
设抛物线上的四个点的坐标分别为
∴点关于对称轴直线的对称点为
∴或
∴或
18．(1)
(2)
(3)当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案；
（2）根据利润（售价成本价）销售量进行求解即可；
（3）根据（2）所求利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
∵销售单价不低于成本价格且不高于30元/，
∴，
故答案为：；
（2）解：当时，
；
当时，
；
综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为；
（3）解：当时，，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大为；
当时，，
∵，
∴当时，W最大，最大值为元，
∵，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元．
19．(1)，顶点坐标为
(2)x的取值范围是
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质：
（1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）将代入函数解析式求得函数与轴的交点，结合图象，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的表达式为．
因为，
所以抛物线的顶点坐标为．
（2）解：将代入函数解析式得，，
解得，．
如图所示，
当时，抛物线在直线的下方，即，
所以x的取值范围是．
20．(1)．
(2)不能，该运动员只要向后移动就能使篮球直接投中篮圈中心A．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求抛物线的表达式，
（1）根据题意得，，设该抛物线的表达式为，将点代入解析式求解，即可列出并求得抛物线的表达式；
（2）利用解析式求得当时，的取值，根据取值确定运动员移动的方向和距离，即可解题．
【详解】（1）解：根据题意，得，，且为抛物线的顶点，
设该抛物线的表达式为，
将代入，得，解得．
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：不能，
令，
解得（舍去）或．
当时，能直接投中篮圈中心A，
（），
故该运动员只要向后移动就能使篮球直接投中篮圈中心A．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定：
（1）先由点B在直线上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
（3）如图所示，设直线交y轴于G，过点G作交x轴于H，先求出，得到，则，再证明，得到，则，求出直线的解析式为；由是以为直角边的直角三角形，得到点T是过点A且平行于直线的直线与抛物线的交点或点T是过点B且平行于直线的直线与抛物线的交点，据此联立直线解析式与抛物线解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设，则，
∴，
，
，
当时，解得或，但当时，P与A重合，不合题意，舍去，
（舍去，不在第四象限）；
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
；
综上可知P点坐标为；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于G，过点G作交x轴于H，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴点T是过点A且平行于直线的直线与抛物线的交点或点T是过点B且平行于直线的直线与抛物线的交点，
∴过点A且平行于直线的解析式为，过点B且平行于直线的解析式为，
联立，解得或；
联立，解得或；
∴点T的坐标为或．
22．(1)；
(2)点的坐标是时，四边形的面积最大，最大面积为；
(3)存在，点的坐标是、、．
【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，分类讨论思想，数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）首先根据直线与轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是点C的坐标是；然后根据抛物线经过B、C两点,求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式；
（2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，然后设点E的坐标是 则点M的坐标是求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点P, 使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是， 点C的坐标是，
∵抛物线 经过B、C两点，
∴，
解得，
．
（2）解：如图1，过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，
∵点E是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是
则点M的坐标是
，
∴当时，即点E的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
∴此时，四边形的面积最大，最大面积：．
（3）解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
设,
①当为平行四边形的对角线时，
②当为平行四边形的对角线时，
③当为平行四边形的对角线时，
综上，可得在抛物线上存在点P， 使得以为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是．
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