云南省曲靖市宣威三中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

高二年级下学期第1次月考试卷
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．复数，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C． D．
2．集合或，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
6．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．80 C． D．
7．现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于
A． B．
C． D．
8．函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若到直线的距离为，则c＝2
C．过且与直线平行的直线方程为
D．过且与直线垂直的直线方程为
10．在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84 D．有理项有2项
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为
B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为
D．该正八面体结构的内切球表面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15.0分）
12．已知向量．若，则实数的值为 。
13．若曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是 。
14．已知ΔABC中，点D在边BC上，。当取得最小值时， 。
四、解答题（本大题共5小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）若函数，在处切线方程为：。
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值、最小值。
16．（15分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为。
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：。
17．（15分）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列。
(1)求的通项公式；
(2)证明：。
18．（17分）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点。
(1)证明：平面；
(2)已知，求平面与平面所成二面角的正弦值。
19．（17分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率。（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
高二下月考1 数学 参考答案
1．A
【分析】运用复数运算法则及虚部概念即可.
【详解】,虚部为1，
故选: A
2．B
【分析】根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以有，所以实数的取值范围是，
故选：B.
3．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4．B
【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故选：B.
5．C
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
6．B
【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当时，，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以，
故选：B
7．A
【分析】计算，结合二项式定理的展开即可得解.
【详解】
,
故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开与复数的新定义问题，观察出二项展开的结构是解本题的关键，属于中档题.
8．B
【详解】试题分析：由可得,即函数是以为周期的周期函数；在平面直角坐标系中作出函数在区间上的图象如图,函数有三个零点等价于方程有三个根,进而转化为函数与函数有三个交点.而函数是斜率为且过定点的动直线.结合图象可知当,即时两函数的图象有三个交点.故应选B.
考点：函数的图象和性质的综合运用运用.
【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查分段函数的图象和基本性质的综合性问题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息,如函数的周期性,函数过定点等等.本题解答的特色还有数形结合思想的运用和转化化归的数学思想的运用等等.如先将函数的零点问题转化为方程的根的问题,进而转化为函数的图象有三个交点的问题,总之本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许多数学思想和方法.
9．CD
【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断.
【详解】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；
设与直线垂直的直线方程为,
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故正确.
故选：.
10．BC
【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.
【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的通项为 ，令，解得．
故常数项为，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC
11．ACD
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
12．
【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
13．
【详解】，∵曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线，∴在上恒成立，∴在恒成立
令，，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，取得最大值，∴，故答案为.
点睛：本题主要考查了导数的几何意义之函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，以及导数与函数单调性的关系，难度一般；在该题中，将曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线转化为在上恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，利用导数求出的最大值即可.
14．/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

15．(1)
(2)最大值，最小值
【分析】（1）求导，根据切线方程可得，即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，从而可得答案.
【详解】（1），
因为函数在处切线方程为：，
所以，解得，
所以；
（2），
当或时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
所以.
16．(1)椭圆的离心率为，双曲线的离心率为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；
（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.
【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
（2）由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．

【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
17．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交与点O，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）取中点为N，连接，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接交与点O，连接，
由于平面平面，
平面平面，故，
O为的中点，点为中点，故，
，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，
故平面；
（2）由（1）知，取中点为N，连接，
由题意知是边长为2的正三角形，在中，，
则，故，
是边长为2的正三角形，则，
又平面，则平面，
平面，故，
，则为正三角形，故，
而平面，故平面，
以N为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为，则，
则，令，则；
，设平面的法向量为，
则，即，令，则，
故，
设平面与平面所成二面角为，
故，故平面与平面所成二面角的正弦值为.
19．(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．