2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程检测卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程检测卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 775.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-19 17:34:51 | ||
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文档简介
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程检测卷
一、选择题
1．在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关于双曲线 ： 的判断，正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
3．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为的上顶点，点在上且满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于，两点，若，（ ）
A． B．3 C． D．2
6．若曲线上存在点，使到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
二、多项选择题
9．已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．直线的斜率是
C．
D．设原点为，则的面积为
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C．为定值3 D．
11．已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．周长为6
B．的最大值为3
C．椭圆的离心率为
D．直线与的斜率的乘积为
三、填空题
12．椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为 .
13．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为180米，水平方向上塔身最窄处的半径为30米，最高处塔口半径为米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为 .
14．如图，点是双曲线的左 右焦点，同时也是双曲线的左 右顶点，过点的直线交双曲线的左 右两支分别于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 .
四、解答题
15．已知椭圆的右焦点与短轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
16．已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上．
17．已知椭圆，其中是与无关的实数.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.
18．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知点，点，过点的直线与抛物线交于两点，连接交抛物线于另一点，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
19． 已知双曲线C：过点，右焦点F为，左顶点为A
（1）求双曲线C的方程
（2）动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B
12．【答案】4
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由已知得，又因为右焦点与短轴端点间的距离为
得，则的方程为.
（2）解：由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，且.
因为
即，解得或（舍去）
则，所以直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：由题意知，
解得，
所以椭圆方程为
（2）解：设直线的方程为，，，
由得，，
所以，．
直线AC方程为，直线BD方程为，
由得，．
又因为，，
所以
所以点在定直线上．
17．【答案】（1）解：由椭圆，可得，解得且，
所以实数的取值范围为.
（2）解：当时，可得椭圆，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则且，
又由过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，
则直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，则且，所以，
将代入直线的方程，可得，即，
又由直线的方程为，
因为直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为
，
，
所以，则，即直线恒过点.
18．【答案】（1）解：因为为抛物线上一点，
所以，
又因为，所以，即，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，则的直线方程为，
化简得，又在抛物线上，得，
代入直线得，
化简得，
代入点，得，则①，同理的的直线方程为，
代入点，得②，由①②得，即③，
同理可得的直线方程为，
代入③得，即，故直线过定点.
19．【答案】（1）解：由题意知双曲线C：过点，右焦点F为，
故，即，
则，解得，
故双曲线C的方程为
（2）解：联立，得，
满足，设，
则，
又，过点A作MN的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，
则直线AH的方程为，
由，可得，解得（舍）或，
则，
则
，
故，即H为的高线的交点，
即H为的垂心，故的垂心在双曲线C上.
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程检测卷
一、选择题
1．在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关于双曲线 ： 的判断，正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
3．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为的上顶点，点在上且满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于，两点，若，（ ）
A． B．3 C． D．2
6．若曲线上存在点，使到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
二、多项选择题
9．已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．直线的斜率是
C．
D．设原点为，则的面积为
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C．为定值3 D．
11．已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．周长为6
B．的最大值为3
C．椭圆的离心率为
D．直线与的斜率的乘积为
三、填空题
12．椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为 .
13．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为180米，水平方向上塔身最窄处的半径为30米，最高处塔口半径为米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为 .
14．如图，点是双曲线的左 右焦点，同时也是双曲线的左 右顶点，过点的直线交双曲线的左 右两支分别于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 .
四、解答题
15．已知椭圆的右焦点与短轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
16．已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上．
17．已知椭圆，其中是与无关的实数.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.
18．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知点，点，过点的直线与抛物线交于两点，连接交抛物线于另一点，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
19． 已知双曲线C：过点，右焦点F为，左顶点为A
（1）求双曲线C的方程
（2）动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B
12．【答案】4
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由已知得，又因为右焦点与短轴端点间的距离为
得，则的方程为.
（2）解：由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，且.
因为
即，解得或（舍去）
则，所以直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：由题意知，
解得，
所以椭圆方程为
（2）解：设直线的方程为，，，
由得，，
所以，．
直线AC方程为，直线BD方程为，
由得，．
又因为，，
所以
所以点在定直线上．
17．【答案】（1）解：由椭圆，可得，解得且，
所以实数的取值范围为.
（2）解：当时，可得椭圆，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则且，
又由过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，
则直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，则且，所以，
将代入直线的方程，可得，即，
又由直线的方程为，
因为直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为
，
，
所以，则，即直线恒过点.
18．【答案】（1）解：因为为抛物线上一点，
所以，
又因为，所以，即，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，则的直线方程为，
化简得，又在抛物线上，得，
代入直线得，
化简得，
代入点，得，则①，同理的的直线方程为，
代入点，得②，由①②得，即③，
同理可得的直线方程为，
代入③得，即，故直线过定点.
19．【答案】（1）解：由题意知双曲线C：过点，右焦点F为，
故，即，
则，解得，
故双曲线C的方程为
（2）解：联立，得，
满足，设，
则，
又，过点A作MN的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，
则直线AH的方程为，
由，可得，解得（舍）或，
则，
则
，
故，即H为的高线的交点，
即H为的垂心，故的垂心在双曲线C上.
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