上海市浦东新区建平中学2023-2024学年高三下学期3月考试数学试卷（含解析）

建平中学2023-2024学年高三下学期3月考试数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.已知集合，，则_____________.
2.若，则____________
3.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_____________.
4.设随机变量，且，，则____________.
5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为____________.
6.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_____________（结果用最简分数表示）
7.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则____________.
8.甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一，则甲命中的概率为____________.
9.已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.
10.设，，，，则数列的通项公式__________.
11.已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若，则向量、夹角的余弦值的取值范围是__________.
12.若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质，若函数具有性质，其中a，b，c为实数，且满足，则实数的取值范围是___________.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
14.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）
A.甲乙两班同学身高的极差相等
B.甲乙两班同学身高的平均值相等
C.甲乙两班同学身高的中位数相等
D.乙班同学身高在175cm以上的人数较多
15.如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有（ ）.
A.4个 B.6个 C.10个 D.14个
16.已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
①若，则；②若，则
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.如图，在三棱锥中，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M在棱上，且，求点C到平面的距离.
18.设函数，其中.已知.
（1）求；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
19.地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率。从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2人的概率.
20.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.
（1）若，求点M的横坐标；
（2）证明：直线过定点；
（3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.
21.对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.
（1）若函数，，，求函数和的“分界线”；
（2）已知函数满足对任意的，恒成立.
①求实数的值；
②设函数，试探究函数与是否存在“分界线” 若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由.
建平中学2023-2024学年高三下学期3月考试数学试卷答案
一、填空题
1.【答案】
【解析】，，∴.
2.【答案】
【解析】根据二倍角公式，.
3.【答案】1
【解析】复数，因为复数是纯虚数，所以，解得.
4.【答案】
【解析】∵随机变量，且，，∴，解得.
5.【答案】
【解析】设圆锥的母线为，则，所以，则圆锥的侧面积为.
6.【答案】
【解析】9个数5个奇数：4个偶数，根据题意所求概率为.故答案为.
7.【答案】.
【解析】因为在中，，，所以，，
又，，
所以，，
因为，，所以.
8.【答案】
【解析】设事件A为“两人至少命中一次”，事件B为“甲命中”，
，，
所以.
9.【答案】8
【解析】因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，则，，
所以，，
即四边形面积等于8.
10.【答案】，
【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则.
11.【答案】
【解析】因为，点集，
当时，过作于C，延长于D，使得，
则可知点P在线段上运动.
因为，，根据数量积的几何含义可知，在上的投影为3，即，
又因为，则M，N为线段上的两个点，
所以、夹角最小为0，最大为的二倍，
所以、夹角为，则最大为1，最小为.
所以范围为.
12.【答案】
【解析】由题意可得，.
于是，.
设切点分别为，，
则由函数具有性质，可得，即，
整理得，
将上式视为关于的方程，则其判别式：
，
即，注意到，
，则，
故，此时或
代入方程可得，因此，.
另一方面，由，可设，，其中，
则，即.
因此，.
二、单选题
13.【答案】A
【解析】当时，有；
当时，有成立，
综上，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
14.【答案】D
【解析】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为182-157=25，
乙班同学身高的极差为183-159=24，两班身高极差不相等，故A错误；
甲班同学身高的平均值为，
乙班同学身高的平均值为
显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；
根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，
所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；
由茎叶图可知，甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上的人数为4人，故D正确.
故选：D
15.【答案】C
【解析】（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；
（2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C.
16.【答案】A
【解析】由得，
所以，故是奇函数，
由得，
所以，故是偶函数，
由题意得
，
令得，
由是奇函数得，
且，，解得，
当时，，所以①错误.
由题意得
，
令得
当时，，所以②正确.
故选：A
三、解答题
17.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）因为，为的中点，
所以，且.连结.
因为，，
所以为等腰直角三角形，
且，.由知，.
由，，，知平面.
（2）思路一：定义法
作，垂足为.
又由（1）易知平面，从而，
所以平面.故的长为点到平面的距离.
由题设可知，，.
所以，.
所以点到平面的距离为.
思路二：等积法
设到平面的距离为，由（1）知即为到平面的距离，
且.又，在中，，，，
则由余弦定理得，则，
即，则.
即点C到平面的距离为.
思路三：向量法
如图，以为原点，建立直角坐标系，设，，，，，，，.
设平面的一个法向量，
则，令，则，
所以，点到平面的距离为.
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以
由题设知，所以，.
故，，又，所以.
（2）由（1）得
所以.
因为，所以，
当，即时，取得最小值.
19.【答案】（1）0.012；（2）数学期望为；（3）0.352.
【解析】（1）由频率和为1可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，成绩在，，的三组人数比为7：3：1，
根据分层抽样抽取的成绩在，，的三组人数为7，3，1，
所以的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布为：
∴.
（3）由题意，成绩为A，B，C等级的频率分别为0.04，0.4，0.56，
设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，
则服从二项分布，
所以获得B等级的人数不少于2人的概率为.
20.【答案】（1）2；（2）见解析；（3）8
【解析】（1）由愿意知.
（2）思路一：由：，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为0，
设直线、分别为，，有，
、、、，
联立：与直线，即有，
消去x可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，则：，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有：，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
思路二：设，，不妨设.
设：，则.由，得，
故，，，.
所以.
同理可得.
若，则直线：，过点.
若，则直线：，过点.
综上，直线过定点.
（3）思路一：由、、、，
则：，由、，
故，
同理可得：，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证；
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故.
思路二：设为的中点，为直线与的交点.
由，分别为，的中点知，所以，故.
设为直线与的交点，同理可得.
所以.
由（2）中的法2可得，同理可得.
所以，
当且仅当时等号成立.
因此的面积的最小值为8.
21.【答案】（1）；（2）①；②存在，证明见解析，，.
【解析】（1）令，
取，则，
进而有，即且，解得，
故函数和的“分界线”为.
（2）①因为对任意的，恒成立，
所以对恒成立，
令，∴，
当时，恒成立，从而在上单调递减，
又，所当时，与题意矛盾，舍去；
当时，令，解得；令，解图，
从而在上单调递增，在上单调递减，
∴.
由题意有，即，也即，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，从而.
又，所以，此时.
②设，
则.
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴是函数的极小值点，也是最小值点，
∴.
∴函数与的图象在处有公共点.
设与存在“分界线”且方程为：.
令函数.
（i）由在上恒成立，
即在上恒成立，
∴成立，
∴，故.
（ⅱ）下面再证明：恒成立.
设，则.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
∴时，取最大值：，则恒成立.
综上（ⅰ）和（ⅱ）知且，
故函数与存在分界线为，此时，.