【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第12章第4课时全等三角形的判定（ASA，AAS）（教师版）

一、学习目标 1．掌握三角形全等的判定定理“角边角”与“角角边”，并能用数学符号语言表示这两个判定定理；2．能利用这两个定理判定两个三角形全等，并能利用这两个定理进行简单的推理与计算.；3．会选择合适的判定定理证明三角形全等．
二、知识回顾 我们已经学了哪几种判定三角形全等的方法？请写出来：SSS：　　三边对应相等的两个三角形全等．　　SAS：　　两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．　　
三、新知讲解 1．ASA　　两角和它们的夹边　　分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA．▲如下图，已知∠D=∠E，AD＝AE，∠1＝∠2． ( http: / / www.21cnjy.com )求证：△ABD≌△ACE．证明：∵∠1＝∠2（　　已知　　）∴∠1＋　　∠CAD　　＝∠2＋　　∠CAD　　（　　相等的角加同一个角仍相等　　）即∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，∠D=∠E（　　已知　　）AD=AE（　　已知　　）　　∠BAD＝∠CAE　　（等量相加）∴△ABD≌△ACE（　　ASA　　）．2．AAS　　两个角和其中一个角的对边　　分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B． ( http: / / www.21cnjy.com )求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．　　∠C=∠B　　（已知）∠A=∠A（　　公共角　　）DC=EB（　　已知　　）∴△ACD≌△ABE（　　AAS　　）．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．先用ASA证全等，再证边角相等【例1】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练1如图所示，在△ABC中，点O为AB的中点，AD∥BC，过点O的直线分别交AD，BC于点D，E，求证：OD＝OE.2．先用AAS证全等，再证边角相等【例2】如图所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．总结：由“ASA”与“AAS”可知，两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．注意不用混淆“ASA”和“AAS”，“ASA”是两角及夹边对应相等，“AAS”是两角及一对边对应相等.练2如图所示，C，F在BE上，∠A＝∠D，AC∥DF，BF＝EC．求证：AB＝DE．3．灵活选用证明方法证（判断）全等【例3】如图所示，已知∠B＝∠DEF，B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝EF，要证△ABC≌△DEF，若要以“ASA”为依据，还缺条件_________；以“SAS”为依据，还缺条件_________；以“AAS”为依据，还缺条件_________.总结：到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，分别是“边边边” “边角边” “角边角” “角角边”.注意：三角形全等的判定方法中不存在“角边边”“角角角”．“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐 ( http: / / www.21cnjy.com )含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线，以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练3如图所示，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）.A.AD＝AE B.∠AEB＝∠ADCC.BE＝CD D.AB＝AC
五、课后小测 一、选择题1．如图所示，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B＝∠C，点D为BC中点，由点D分别向AB，AC作垂线段，则能够直接说明△BDE≌△CDF的理由是（ ）.A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．如图所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，若要使△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）.A．∠B＝∠E B．BC＝ED C．AB＝EF D．AF＝CD3．（2009年江苏）如图，给出下列四组条件： ( http: / / www.21cnjy.com )①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）.A．1组 B．2组 C．3组 D．4组二、填空题4．如图所示，AB∥CD，OB＝OD，则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是___________． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题6．（2009年武汉市）如图所示，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：△ABC≌△DEF．7．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：AB＝AE.8．如图所示，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为点F，E，BF＝DE，∠B＝∠D，求证：AE＝CF.9．如图，将△BOD绕点O旋转18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM＝ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )10．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线上，AC＝BC，现过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为点D，E.图10（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长．
典例探究答案：
【例1】【解析】先用“ASA”证明△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再用“SAS”证明△ABO≌△ADO，可得出结论．
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA）.
∴AB＝AD.
在△ABO与△ADO中，
△ACO≌△ADO（SAS）.
∴BO＝DO．
练1．【解析】∵点O为AB的中点，∴AO＝BO．
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BEO，∠DAO＝∠EBO.
在△AOD与△BOE中，
∴△AOD≌△BOE（AAS）.
∴OD＝OE．
【例2】【解析】先利用AAS证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC＝AD．
证明：在△ACB与△ADB中，
∴△ACB≌△ADB（AAS）.
∴AC＝AD．
练2．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC＝EF，应用AAS可得△ABC≌△DEF，进而得出结论．
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACE＝∠DFB.
又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∠DFB＋∠DFE＝180°，
∴∠ACB＝∠DFE.
又BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
∴AB＝DE．
【例3】【解析】已知一组角和一组边 ( http: / / www.21cnjy.com )相等,要依据“ASA”证全等就要求夹已知边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要依据“SAS”证全等就要求夹已知角的另一组边相等，故填AB=DE；要依据“AAS”证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.
答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．
练3．【解析】选择A中的AD=AE，加上已知条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；
选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上已知条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；
选项C中的 BE＝CD，加上已知条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；
选项D中的 AB＝AC，加上已知条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；
故选：B．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】已知两角和其中一角的对边相等，故用AAS可证全等；
故选：D．
2．已知两个角对应相等，只要再有任意一边对应相等即可；
故选：D．
3．①满足SSS，可证全等；②满足SAS，可证全等；③满足ASA，可证全等；④是两边和其中一边的对角对应相等，两三角形不一定全等．
故选：C．
二、填空题
4．AOB，COD.
5．【解析】∵∠AHE=∠CHD，利用和等角互余的两个角相等，
∴∠EAH=∠ECB
又∵∠AEH=∠CEB=90°
EH=EB
∴△AEH≌△CEB（AAS）
∴CE=AE=4，，EH=3，
∴CH=4-3=1
答案：1
三、解答题
6．【解析】利用平行线，可得两同位角相等，再利用等量相加得BC=EF，即可证两三角形全等．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝CF，
∴BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
7．【解析】先证全等，再利用三角形的性质得出结论．
证明∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（AAS）.
∴AB＝AE.
8．【解析】∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
在△BFA与△DEC中，
∴△BFA≌△DEC（ASA）.
∴AF＝CE.
∴AF＋EF＝CE＋EF.
∴AE＝CF.
9．【解析】OM＝ON成立．理由是：
∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，
∴△BOD≌△AOC．
∴∠A＝∠B，AO＝BO．
又∵∠AOM＝∠BON，
∴△AOM≌△BON(ASA)．
∴OM＝ON．
10．【解析】（1）△ACD≌△CBE，
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°.
又∵AD⊥，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.
∴∠BCE＝∠CAD.
∵BE⊥，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
在△ACD与△CBE中，
∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）.
（2）由（1）可知△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE＝3＋5＝8.
D
C
B
A
O
1
2
3
4
A
D
B
E
C
O
A
C
D
B
1
2
A
B
C
F
E
D
A
D
B
E
F
C
B
A
C
D
E
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B
D
C
E
F
A
D
E
B
F
1
2
C
A
D
C
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C
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D
A
A
B
C
D
E
D
C
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A
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A
C
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E
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