【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第12章第9课时角平分线的性质习题课（教师版）
文档属性
| 名称 | 【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第12章第9课时角平分线的性质习题课（教师版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 229.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-15 19:42:08 | ||
图片预览
文档简介
一、学习目标 熟练掌握角平分线的性质和判定；了解常用的辅助线，掌握角平分线辅助线的作法，会利用辅助线证明问题．
二、知识回顾 1．角平分线的性质定理是什么？在角平分线上的点到角的两边的距离相等．∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．角平分线的判定定理是什么？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．
三、新知讲解 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看．角平分线具有两条性质：a．对称性；b．角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种；①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线，其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．添加一条垂线为辅助线 【例1】（2014秋 西城区校级期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段，可得垂线段相等，或利用角平分线的性质可证三角形全等，继而可证边角相等．练1．（2014秋 鼓楼区校级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC． ( http: / / www.21cnjy.com )2．添加两条垂线为辅助线【例2】（2014秋 西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠BAD+∠BCD=180°． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当题目已知条件中出现角平分线的时候，我们应立刻想到它的两个性质：1．把已知角平分成两个相等的小角； 2．角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等．练2．（2010秋 柘城县校级月考）如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 解答题1．（2014秋 五华区校级期中）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°．求证：2AE=AB+AD． ( http: / / www.21cnjy.com )2．（2014秋 启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )3．（2011秋 兴庆区校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE． ( http: / / www.21cnjy.com )（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．4．如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．求证：点P到AB、AC的距离相等． ( http: / / www.21cnjy.com )5．如图，CE=BF，且S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )6．如图，BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线．求证：P点在∠BAC的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2014秋 启东市校级月考）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014秋 启东市校级月考）已知：∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2012秋 房山区期末）已知在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2013秋 海安县月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2012春 定陶县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】过点P作PE⊥BA于E ( http: / / www.21cnjy.com )，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．
证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，
∴PE=PF，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE=∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
练1．【解析】过点E作EF⊥AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF，全等三角形对应边相等可得AD=AF，再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证．
证明：如图，过点E作EF⊥AB于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AE平分∠BAD，
∴DE=EF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED=∠AEF，AD=AF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF⊥AB，CE⊥BC，
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【例2】【解析】首先过点D作DE⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得∠BAD+∠BCD=180°．
证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF.
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠FAD=180°．
点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌利用全等把相关角进行转化，使问题得解．
练2．【解析】根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE=DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=AB：AC．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法，关键是作辅助线，得出角平分线上一点到角的两边距离相等，又是这两个三角形的高．
课后小测答案：
解答题
1．【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC，
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，
∴2AE=AB+AD．
2．【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△A ( http: / / www.21cnjy.com )BO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．
证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
点评：本题考查了角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．【解析】（1）首先过D作DF⊥BA ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为F，再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再证明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，进而得到AF=EC，然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；
（2）过D作DF⊥BA，垂足为F，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )证明∠DCE=∠FAD，再证明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE．
（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB+BC=2BE，
∴AB=BE+BE﹣BC，
AB=BE+BE﹣BE﹣EC，
AB=BE﹣EC，
AB+EC=BE，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
又∵AB+EC=BE，
∴AF=EC，
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE=∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
AB=BE﹣AF=BE﹣EC=BE﹣（BC﹣BE）=BE﹣BC+BE=2BE﹣BC，
即：AB+BC=2BE．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．
4．【解析】过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BG，垂足分别为E、F、G，再由角平分线的性质即可得出结论．
证明：过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BG，垂足分别为E、F、G，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BP是∠ABC的平分线，
∴PE=PG．
∵CP是∠ACD的平分线，
∴PF=PG，
∴PE=PF，即点P到AB、AC的距离相等．
点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键．
5．【解析】过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF DM=DN CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com )
则S△DBF=BF DM，
S△DCE=DN CE，
∵S△DCE=S△DBF，
∴BF DM=DN CE，
∵CE=BF，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．
6．【解析】首先过点P作PM⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，由BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，根据角平分线的性质，易证得PM=PN=PG，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得P点在∠BAC的平分线上．
证明：过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，
∴PM=PN，PG=PN，
∴PM=PG，
∴P点在∠BAC的平分线上．
点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．【解析】首先证明△MOE≌△NOD（ ( http: / / www.21cnjy.com )SAS），然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CG，CF，所以点C在∠AOB的平分线上．
证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
在△MOE和△NOD中，
OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．
∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，
由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
点评：本题主要考查了角平分线上的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．
8．【解析】过P分别作PE⊥OB于E， ( http: / / www.21cnjy.com )PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
解答：答：PC=PD．
证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD．
点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．【解析】连接BD，CD，由 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的性质可得DM=DN，线段垂直平分线的性质可得BD=CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM=CN．
解答：解：BM=CN．
理由：连接BD，CD，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN．
点评：此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
10．【解析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF DM=DN CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF DM，
△DCE的面积为：DN CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF DM=DN CE，
∵CE=BF，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．
11．【解析】连接AC，证明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分线的性质即可证明CE=CF．
证明：连接AC，
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC=∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题主要考查平分线的性质，综合利用了三角形全等的判定，辅助线的作法是解决问题的关键．
二、知识回顾 1．角平分线的性质定理是什么？在角平分线上的点到角的两边的距离相等．∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．角平分线的判定定理是什么？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．
三、新知讲解 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看．角平分线具有两条性质：a．对称性；b．角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种；①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线，其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．添加一条垂线为辅助线 【例1】（2014秋 西城区校级期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段，可得垂线段相等，或利用角平分线的性质可证三角形全等，继而可证边角相等．练1．（2014秋 鼓楼区校级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC． ( http: / / www.21cnjy.com )2．添加两条垂线为辅助线【例2】（2014秋 西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠BAD+∠BCD=180°． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当题目已知条件中出现角平分线的时候，我们应立刻想到它的两个性质：1．把已知角平分成两个相等的小角； 2．角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等．练2．（2010秋 柘城县校级月考）如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 解答题1．（2014秋 五华区校级期中）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°．求证：2AE=AB+AD． ( http: / / www.21cnjy.com )2．（2014秋 启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )3．（2011秋 兴庆区校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE． ( http: / / www.21cnjy.com )（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．4．如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．求证：点P到AB、AC的距离相等． ( http: / / www.21cnjy.com )5．如图，CE=BF，且S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )6．如图，BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线．求证：P点在∠BAC的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2014秋 启东市校级月考）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014秋 启东市校级月考）已知：∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2012秋 房山区期末）已知在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2013秋 海安县月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2012春 定陶县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】过点P作PE⊥BA于E ( http: / / www.21cnjy.com )，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．
证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，
∴PE=PF，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE=∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
练1．【解析】过点E作EF⊥AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF，全等三角形对应边相等可得AD=AF，再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证．
证明：如图，过点E作EF⊥AB于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AE平分∠BAD，
∴DE=EF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED=∠AEF，AD=AF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF⊥AB，CE⊥BC，
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【例2】【解析】首先过点D作DE⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得∠BAD+∠BCD=180°．
证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF.
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠FAD=180°．
点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌利用全等把相关角进行转化，使问题得解．
练2．【解析】根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE=DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=AB：AC．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法，关键是作辅助线，得出角平分线上一点到角的两边距离相等，又是这两个三角形的高．
课后小测答案：
解答题
1．【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC，
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，
∴2AE=AB+AD．
2．【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△A ( http: / / www.21cnjy.com )BO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．
证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
点评：本题考查了角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．【解析】（1）首先过D作DF⊥BA ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为F，再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再证明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，进而得到AF=EC，然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；
（2）过D作DF⊥BA，垂足为F，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )证明∠DCE=∠FAD，再证明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE．
（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB+BC=2BE，
∴AB=BE+BE﹣BC，
AB=BE+BE﹣BE﹣EC，
AB=BE﹣EC，
AB+EC=BE，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
又∵AB+EC=BE，
∴AF=EC，
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE=∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
AB=BE﹣AF=BE﹣EC=BE﹣（BC﹣BE）=BE﹣BC+BE=2BE﹣BC，
即：AB+BC=2BE．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．
4．【解析】过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BG，垂足分别为E、F、G，再由角平分线的性质即可得出结论．
证明：过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BG，垂足分别为E、F、G，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BP是∠ABC的平分线，
∴PE=PG．
∵CP是∠ACD的平分线，
∴PF=PG，
∴PE=PF，即点P到AB、AC的距离相等．
点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键．
5．【解析】过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF DM=DN CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com )
则S△DBF=BF DM，
S△DCE=DN CE，
∵S△DCE=S△DBF，
∴BF DM=DN CE，
∵CE=BF，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．
6．【解析】首先过点P作PM⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，由BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，根据角平分线的性质，易证得PM=PN=PG，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得P点在∠BAC的平分线上．
证明：过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，
∴PM=PN，PG=PN，
∴PM=PG，
∴P点在∠BAC的平分线上．
点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．【解析】首先证明△MOE≌△NOD（ ( http: / / www.21cnjy.com )SAS），然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CG，CF，所以点C在∠AOB的平分线上．
证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
在△MOE和△NOD中，
OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．
∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，
由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
点评：本题主要考查了角平分线上的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．
8．【解析】过P分别作PE⊥OB于E， ( http: / / www.21cnjy.com )PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
解答：答：PC=PD．
证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD．
点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．【解析】连接BD，CD，由 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的性质可得DM=DN，线段垂直平分线的性质可得BD=CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM=CN．
解答：解：BM=CN．
理由：连接BD，CD，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN．
点评：此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
10．【解析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF DM=DN CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF DM，
△DCE的面积为：DN CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF DM=DN CE，
∵CE=BF，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．
11．【解析】连接AC，证明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分线的性质即可证明CE=CF．
证明：连接AC，
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC=∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题主要考查平分线的性质，综合利用了三角形全等的判定，辅助线的作法是解决问题的关键．