【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第12章第3课时全等三角形的判定（SAS）（教师版）

一、学习目标 理解全等三角形的判定方法SAS；能运用SAS判定两个三角形全等；经理探索SAS判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.
二、知识回顾 1．什么是全等三角形？全等三角形的性质有哪些？能够完全重合的三角形叫做全等三角形．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等 ( http: / / www.21cnjy.com )；全等三角形的对应角相等；全等三角形对应边上的中线、高相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长面积也相等．2．上一课学习的三角形全等的判定方法是什么？三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
三、新知讲解 1．边角边定理三角形全等判定方法2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．（简称SAS）符号语言：在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．图示： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )2．探索边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形不一定全等．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．利用SAS直接证明三角形全等【例1】如图所示，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：运用“边角边”判定两个三角形全等时，（1）同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边”的顺序书写；（2）注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；（3）条件里的三个元素必须对应，一个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )中的元素依次是“边—角—边”，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边”，如果是其他“边—边—角”或“角—边—边”，则两个三角形不一定全等；（4）在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，如果把夹角改为其中一条边的对角，则不一定全等．练1．（2013秋 天元区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以练2．如下图所示，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC． ( http: / / www.21cnjy.com )2．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例2】（2015春 启东市校级月考）如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，（1）先根据已知条件或求证 ( http: / / www.21cnjy.com )的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；如果已知两边，则要找第三边或夹角；如果已知一角和该角的一边，则需要找夹角的另一条边；（2）在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比如公共边、对顶角等，从而为解题所用；（3）有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练3．（2014 房山区二模）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE． ( http: / / www.21cnjy.com )练4．（2014 永春县质检）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC． ( http: / / www.21cnjy.com )3．先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例3】（1）（2014 十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． ( http: / / www.21cnjy.com )（2）（2015春 鼓楼区校级月考）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下：（1）由问题中的条件，依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等；（2）由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练5．（2013秋 涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com ) A．50° B.30° C．80° D．100°练6．（2014春 锦州校级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠　　=∠　 　，则△ABC≌△DEF，所以BC=　 　，因此BE=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2014秋 利通区校级期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC2．（2013秋 岑溪市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由（　　）可得△AFC≌△AEB． ( http: / / www.21cnjy.com )A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3．（2013秋 枣庄期末）如图点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=7，则CD的长为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．3 B．4.5 C．4 D．5.54．（2014秋 盈江县校级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点在BC上，且有AD=AE，BD=CE．若∠BAD=30°，∠DAE=50°，则∠BAC的度数为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．130° B．120° C．110° D．100°5．（2014秋 湛江校级期中）如图，若AB与CD互相平分于O，则下列结论中错误的是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠C=∠D B．AD=BC C．AD∥BC D．AB=CD二、填空题6．（2013秋 东莞市校级期末）如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=26°，则∠BOC=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2014秋 秀洲区校级期中）如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有△ADF≌　 　，且DF=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题8．（2014 房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．求证：△ACD≌△BCE． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2014 厦门校级一模）如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：△ACE≌BDF． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2014 梧州）如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2014 昆明）已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．求证：∠E=∠F． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．
证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
练1．【解析】根据三角形全等的判定中的SAS，即两边夹角．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法．
解：要使两三角形全等，且SAS已知AB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；
A、C都不满足要求，D也就不能选取．
故选B．
练2．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合已知条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．
证明：在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
【例2】【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论．
证明：∵AE=CF，
∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．
又∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．
∵在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
练3．【解析】已知∠1=∠2，∠BAE是公共 ( http: / / www.21cnjy.com )角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
练4．【解析】根据∠ACD ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．
证明：在△AEC和△BDC中，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
点评：本题考查了全等三角形的判定SAS．
【例3】（1）【解析】首 ( http: / / www.21cnjy.com )先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS”定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
（2）【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF=DE．
练5．【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．
解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠D=∠B=30°．
故选B．
练6．【解析】根据三角形全等的判定方法SAS，若∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．
解：若∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，
∴BE=CF；
故答案为：∠A=∠D，EF，CF．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选B．
2．【解析】∵BE、CF是中线，
∴AE=AC，AF=AB，
∵AB=AC，
∴AF=AE，
在△AFC和△AEB中，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故选：B．
3．【解析】∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
∵AD=EC，
∴AD+DC=EC+DC，即AC=ED，
在△ABC和△EFD中
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴AC=ED=7，
∴CD=AC+ED﹣AE=7+7﹣10=4．
故选C．
4．【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE=30°
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+50°+30°=110°
故选C．
5．【解析】∵AB与CD互相平分，
∴OA=OB，OD=OC
又∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠C=∠D、AD=BC，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
即A、B、C是正确的，只有D是错误的．
故选D．
二、填空题
6．【解析】在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C=26°，
∵∠BFC=∠A+∠B=60°+26°=86°，
∴∠BOC=∠BFC+∠C=86°+26°=112°．
故答案为112°．
7．【解析】∵AE=BF，∴AF=BE，
∵AD∥BC，∴∠A=∠D，
又AD=BC，
∴△ADF≌△BCE，
∴DF=CE．
故答案为：△BCE，CE．
三、解答题
8．【解析】∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ECD，∠BCE=∠ECD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
9．【解析】∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．
又∵EC∥DF，
∴∠ACE=∠BDF．
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
10．【解析】AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABE，
∵BF=CE，
∴BF﹣EF=CE﹣EF，即CF=BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF．
11．【解析】∵AE∥CF，
∴∠A=∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠F．