辽宁省本溪市第一中学2023-2024学年高二下学期寒假验收考试（开学）数学试题（含解析）

本溪市第一中学2023-2024学年高二下学期寒假验收考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A. 192 B. 240 C. 96 D. 48
4. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 标准的围棋共19行19列，361个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）（）
A. B. C. D.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 过双曲线C：内一点且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系xOy中，，，若直线上存在点P满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为棱BC，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. B.
C. 直线与所成角的余弦值为 D. Q到平面的距离为
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A. 四名同学的报名情况共有种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
11. 已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为 B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C. 内切圆的面积为 D. 点P的纵坐标为
12. 已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 方程在区间上的所有实根之和为260
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 抛物线C：的准线方程为______.
14. 某产品的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表：
x 6 7 8 9
y 40 31 24 21
据上表可得回归直线方程为，则______.
15. 已知的展开式中常数项为80，则______.
16. 正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）在等差数列中，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
18.（本小题12分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
（1）求角B的大小；
（2）AC边上的中线，求的面积的最大值.
19.（本小题12分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 56
女 24
总计 100
（1）补全列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，.
0.05 0.010 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
20.（本小题12分）设是数列的前n项和，.
（1）求的通项公式，并求的最小值；
（2）设，求数列的前n项和.
21.（本小题12分）如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点.
（1）求点B到平面EAC的距离；
（2）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为，求出的值.
22.（本小题12分）已知A，B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，.P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
参考答案及解析
1. B 【解析】解：集合，，∴.故选：B.
2. C 【解析】解：，则，即，其虚部为.故选：C.
3. A 【解析】解：丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有种情况，故不同的坐法的种数为.故选A.
4. B 【解析】解：当时，，故A错误；，当且仅当，即时取等号，故B正确；当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误.，当且仅当，时取等号，又，故D错误；故选：B.
5. A 【解析】解：由题意，对于，有，所以，分析选项A中与其最接近.故选：A.
6. A 【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，则，，由在定义域内单调递减，则；由在定义域内单调递增，则；由在内单调递增，则；故，又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以.故选：A.
7. D 【解析】解：设，，由题意可得，，且，又因为，两式相减得，即有，所以，则，则双曲线C的离心率.故选D.
8. C 【解析】解：设点P的坐标为，因为，，，所以，整理得：，所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；所以圆心到的距离为，要使直线上存在点P满足，只需满足直线与圆相交或相切.即，解得：.故选：C.
9. ABC 【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
对于选项A，，，则有，所以，故，所以选项A正确；
对于选项B，，因为，所以，故，所以选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于选项D，因为，，设平面的法向量为，
则有，即，令，则，，所以，
又，故Q到平面的距离为，故选项D错误.故选：ABC.
10. CD 【解析】解：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，由已知有：，，所以，D正确.
11. AC 【解析】解：椭圆的方程为，则，，，根据椭圆定义得.对于A选项，（Ⅰ），在中，由余弦定理得，即（Ⅱ），由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，则的面积，故A选项正确.
对于B选项，设点，则，，当时，取得最大值5，故B选项错误.
对于C选项，设内切圆的半径为r，由A选项知的面积为，则，即，解得，所以内切圆的面积为，故C选项正确.
对于D选项，由A选项知的面积为，则，即，故D选项错误.故选：AC.
12. ABD 【解析】解：因为为偶函数，所以，即，又，可得，故的图象关于点对称，故A正确；
，故是以4为周期的周期函数，根据题意，，，，，，故，故B正确；
，其中，故，故C错误；
是周期函数，最小正周期是8，由，得其对称轴为，，显然与的图象有公共的对称轴，，方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可知，，所以，由图易知在，，…，上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，故在区间上的所有实根之和为，故D正确.故选：ABD.
13. 【解析】解：抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为.
14. 77 【解析】解：由题意可得，，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程，得，解得.
15. 【解析】解：由展开式的通项公式为，令，无整数解，令，解得，，令，解得，，∴展开式中的常数项为，解得.故答案为.
16. 【解析】解：将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为.故答案为.
17.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
则，解得，……3分
则，；……5分
（Ⅱ），，，…，构成首项为，公差为9的等差数列.……8分
所以
……10分
18.【答案】解：（1）若选①在中，因为，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
则，又，故；……6分
选②，则，∴，
又，∴；……6分
选③由及正弦定理得：，
又，所以，
即，因为，，
所以，
又，得；……6分
综上所述：选择①②③，都有；
（2）……8分
，……9分
当且仅当时取等号，……10分
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.……12分
19.【答案】解：（1）依题意可得列联表如下：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联，
则，……5分
我们有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关.
（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.……6分
则X的可能取值为0、1、2、3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
……10分
所以.……12分
20.【答案】解：（1）由数列的前n项和，
当时，；……1分
当时，
；……3分
令时，，满足题意，
所以数列的通项公式，……4分
由得，
∴，2，3，4时，时，
∴的最小值为.……6分
【由用二次函数求最小值酌情给分】
（2）由（1）知，当时，；
时，，，
当时，.……8分
当时，，……10分
∴.……12分
21.【答案】解：（1）连接MC，∵是正三角形，∵，又M是AB的中点，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，
∴平面ABCD，……1分
又平面ABCD，∴，在菱形ABCD中，°，∴是正三角形，
∴.……2分
∴ME、MC、MB两两垂直.
以点M为坐标原点，MB、MC、ME所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面ACE的一个法向量，
则，令，
得，……4分
设点B到平面ACE的距离为d，则，
所以点B到平面EAC的距离为.……6分
【等体积法酌情给分】
（2）由题意可知，平面ABE的一个法向量为，
，，
设，
则，……8分
∵直线AP与平面ABE所成的角为，
，……10分
整理可得，解得，
所以.……12分
22.【答案】解：
由题意，，，，，
，
∴椭圆E的方程为.……4分
（2）由（1）知，，
设，则直线PA的方程为，
联立，
由韦达定理
，……6分
代入直线PA的方程得，，
即，……7分
直线PB的方程为，
联立，
由韦达定理
，……8分
代入直线PB的方程得，，
即，……9分
∴直线CD的斜率，……10分
∴直线CD的方程为，
整理得，……11分
∴直线CD过定点.……12分