浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2024九下·定海开学考）二次函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2，-1)，
∴4a=-1，
∴a=.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特点，将(2，-1)代入二次函数y=ax2(a≠0)即可算出a的值.
2．（2024九下·定海开学考）一个不透明的盒子内装有1个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次摸球颜色相同的情况数有3种，
∴ 小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意画出树状图，由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次摸球颜色相同的情况数有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
3．（2024九下·定海开学考）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于圆O，
∴∠BOC=，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=6，
∵OM⊥BC，
∴BM=BC=3，∠OMB=90°，
∴；
弧BC的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OB、OC，根据正多边形与圆的关系得∠BOC=60°，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OBC是等边三角形，由等边三角形的三边相等得BC=OB=6，由垂径定理得BM=3，然后利用勾股定理可算出OM的长，利用弧长计算公式可算出弧BC的长.
4．（2024九下·定海开学考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，
∴BE=AB=0.7米，∠OEC=∠DFE=90°，
∵BC=0.7米，
∴CE=BE+BC=1.2米，
∵DC⊥AB，
∴∠C=90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，
设该门洞的半径OD=OB=x米，
由题意得，
解得，
∴该门洞的半径为1.3米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，由垂径定理得BE=AB=0.7米，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形DCEF是矩形，根据矩形的对边相等得DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，设该门洞的半径OD=OB=x米，在△ODF与△OEB中，分别根据勾股定理建立方程，再结合OF=OE-EF，可求出该门洞所在圆的半径.
5．（2024九下·定海开学考）如图，中，于点，点为线段，上两点，满足，则的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABH=∠ADH，
∴AB=AD，
又∵AH⊥BC，
∴BH=DH=1，
∴CD=CH-HD=，
过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，
∴∠ADE=∠CFD，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠CFD=∠CDF，
∴FC=CD=，
∵CF∥DE，
∴△ADE∽△AFC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由等角对等边得AB=AD，由等腰三角形的三线合一得BH=DH=1，进而根据线段的和差可求出CD的长；过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，由平行线的性质及已知可推出∠CFD=∠CDF，由等角对等边得FC=CD，由平行三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△AFC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出答案.
6．（2020九上·海曙期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
7．（2024九下·定海开学考）如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴△ABF∽△DHF，△ADE∽GEB，
∵点G是边BC的三等分点(BG＜GC)，点H是边CD的中点，
∴，，
设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=m，BF=，EF=，
∴FH∶AF=1∶2，BE∶EF∶FD=3∶5∶4，故①正确，②错误；
∵△ADE∽△GEB，
∴，
同理，
∵BE∶EF∶FD=3∶5∶4，，，
设S1=3n，则S4=9n，S2=15n，S=72n，
∴S3=6n，S6=27n，
∴S1+S2+S3+n，S6=S2+S5，故③正确，④错误，
综上正确的有①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据绗的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽GEB，由相似三角形对应边成比例得，，设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=m，BF=，EF=，从而即可判断①②；进而根据相似三角形对应高之比等于相似比及三角形的面积计算方法可得，同理，设S1=3n，则S4=9n，S2=15n，S=72n，进而表示出S3=6n，S6=27n，从而即可判断③④.
8．（2024九下·定海开学考）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∵点A、B分别在反比例函数与的图象上 ，
∴S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△BOC∽△OAD
，∴，
∴，
∴tan∠BAO=.
故答案为：B.
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义可得S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，进而可得，然后由有两组角对应相等得两个三角形相似得△BOC∽△OAD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，最后根据正切函数的定义即可求出tan∠BAO的正切值.
9．（2024九下·定海开学考）如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∵OG⊥AB，
∴AG=AB=1，
∴GO=，
∴S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC=.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由圆内接正六边形性质得∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AB=AO=2，由垂径定理得AG=1，再由勾股定理得GO=，最后根据S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC结合扇形面积计算方法列式计算即可.
10．（2024九下·定海开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6），
∴，
∵BP⊥AC，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC，
∵sin∠OAC=，
∴∠OAC=30°，
∴∠C'AC=60°，
∴弧PP'的弧度=120°，
∴弧PP'的长为，
∴当点C在圆O上运动一周，点P运动的路径长等于.
故答案为：D.
【分析】连接AB，先根据两点间的距离公式算出AB的长，由直径所对的圆周角是90°可得点P在以AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆相切时，此时点P是运动路径的两端点，由∠OAC得正弦函数及特殊锐角三角函数值得∠OAC=30°，则∠C'AC=60°，弧PP'的弧度=120°，进而根据弧长计算公式算出弧PP'的长，即可解决此题.
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2024九下·定海开学考）已知，且，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设 ，
∴x=2k，y=3k，z=5k，
∵3x-2y+4z=60，
∴6k-6k+20k=60，
∴k=3，
∴x=6.
故答案为：6.
【分析】设 ，根据等比的性质得x=2k，y=3k，z=5k，然后代入3x-2y+4z=60，可求出k的值，从而即可求出x的值.
12．（2024九下·定海开学考）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据可知：随着试验麦粒数量的增加，其发芽频率稳定在0.95左右，
∴ 任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 0.95.
故答案为：0.95.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得答案.
13．（2024九下·定海开学考）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=6，
∴，
∵S阴影=S半圆BC+S半圆AC-(S半圆AB-S△ABC)
=S半圆BC+S半圆AC-S半圆AB+S△ABC
=.
故答案为：15.
【分析】首先由勾股定理算出AB的长，再根据S阴影=S半圆BC+S半圆AC-(S半圆AB-S△ABC)=S半圆BC+S半圆AC-S半圆AB+S△ABC列式计算即可.
14．（2024九下·定海开学考）燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了 ．
【答案】25
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图2可知BD=20mm，
图3中，∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∵EF=20mm，AE=28mm，AB=AE+BE=28+35=63mm，
∴，
∴BD=45mm，
∴ 从打开到闭合，BD之间的距离增加了45-20=25mm.
故答案为：25.
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出图3中BD的长，求出两种状态下BD的差即可.
15．（2024九下·定海开学考）如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则 ．
【答案】15
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，分别交AC、BC于点P、Q，
∵点E、F分别是弧AC、弧BC的中点，
∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠C=90°，
∴四边形CPOQ是矩形，
∴∠O=90°，
又OE=OF，
∴∠E=∠F=45°，
∴∠EMP=∠CMN=∠CNM=∠FNQ=45°，
∴△PEM、△CMN、△QFN、△OEF都是等腰直角三角形，
∵MN=，
∴CM=CN=MN=，
∵sin∠CAB=
设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理得AC=4x，
∵OE⊥AC，
∴AP=CP=OQ=AC=2x，
∵OF⊥BC，BQ=CQ=PO=BC=x，
∴PE=PM=PC-CM=2x-3，OP=OE-PE=x-2x+3，
又∵OP=CQ，
∴x-2x+3=x，
∴x=3，
∴AB=5x=15.
故答案为：15.
【分析】根据垂径定理得OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，进而根据有三个角是直角得四边形是矩形得四边形CPOQ是矩形，进而判断出△PEM、△CMN、△QFN、△OEF都是等腰直角三角形，根据等腰直角是哪些的性质结合MN的长度可算出CM=CN=3，由∠CAB得正弦函数定义设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理得AC=4x，由垂径定理及矩形的性质得BQ=CQ=PO=BC=x，AP=CP=OQ=AC=2x，则PE=PM=PC-CM=2x-3，OP=OE-PE=x-2x+3，进而根据OP=CQ建立方程可求出x的值，从而此题得解.
16．（2023九上·永嘉期末）如图所示，，半径为2的圆O内切于.P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当MP与相切时，MF取得最大和最小，
①连接OP，OG，OC，如图1所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接OP，OG，OC，如图2所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
.
故答案为：.
【分析】作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，根据垂直的定义及四边形的内角和定理可求出∠MPN=120°，进而根据邻补角定义算出∠MPH=60°，由余弦函数的定义可得，则，根据矩形的性质得MF=NH，故当MP与相切时，MF取得最大和最小，①连接OP，OG，OC，如图1所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最大值；②连接OP，OG，OC，如图2所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最小值，从而即可得出答案.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024九下·定海开学考）计算：
（1）；
（2）已知线段，，线段c是线段，的比例中项，求的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意得c2=ab，
∵a=8，b=2，
∴c2=16，
∴c=4.
【知识点】特殊角的三角函数值；比例中项
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，再计算乘方及乘法，最后计算有理数的减法得出答案；
（2）由比例的性质可得c2=ab，然后将a、b的值代入计算可得答案.
18．（2024九下·定海开学考）在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于坐标原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2，再顺次连接A2、B2、C，可得所求的△A2B2C，进而根据点A2、B2的位置读出其坐标即可.
19．（2024九下·定海开学考）年杭州亚运会球类比赛中，有排球，篮球，足球，羽毛球，乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱．小海同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调査统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）若我校学生约有人，试估计想观看种比赛的学生约有 人．
（3）小海同学在月号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到两种比赛的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）解：本次随机调查的总人数是（人），
想观看C比赛的人数为（人），
补全条形图如下：
（2）560
（3）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中选到两种比赛的有种结果，
所以选到两种比赛的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（2）解：该校学生想观看B种比赛的学生人数约为：1600×=560(人)，
故答案为：560；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D等级的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数，根据各组人数之和等于本次调查的总人数，可算出想观看C比赛的人数，从而可补全条形统计图；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢观看B种比赛的人数所占的百分比即可估算出该中学学生中想观看B种比赛的学生人数；
（4）用树状图法列举出可能出现的所有等可能结果数，由表可知由表可知总的情况有12种等可能结果，其中选到B、E两种比赛的有2种结果， 从而根据概率公式计算可得答案.
20．（2024九下·定海开学考）如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
【答案】（1）证明：弦AB与半径OC互相平分，
∴四边形ACBO是平行四边形，
，
四边形ACBO是菱形；
（2）解：作CM⊥OA于M，
，
是等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
在等边△AOC中，CM⊥AO，
∴，
∴，
，
与间的距离为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ACBO是平行四边形，进而根据一组邻边相等得平行四边形是菱形得出结论；
（2）作CM⊥OA于M，易得△AOC是等边三角形，由等边三角形的性质及菱形的性质可得∠AOB=120°，从而结合扇形的面积计算方法建立方程可求出OA的长，根据等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=1，进而根据勾股定理算出CM，即可得出答案.
21．（2024九下·定海开学考）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15 米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
【答案】（1）解：小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响，理由如下：
由题意得：该抛物线的顶点坐标为（10，6），
设该抛物线的解析式为：，
将点（0，1）代入得：，
解得：
∴
当时，
∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响；
（2）解：由题意得A（15，3），
设直线OA的解析式为y=kx，
将点（15，3）代入得15k=3，
∴k=
∴直线OA的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差，
∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6，将点(0，1)代入即可求出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而求出当x=15时的函数值，将该函数值与小树的高度1.2米进行比较即可得出结论；
（2）根据点A的坐标，利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而求出水流高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决问题.
22．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
23．（2024九下·定海开学考）【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小海所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．
（1）任务1 请你写出关于的函数表达式．
（2）【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小海类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15
0 1562.5 1687.5 312.5 0
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
（3）【解决问题】画完函数的图象后，小海所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务3 利用函数图象回答：当为何值时，小海所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：①在中，
当时，；当时，，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，
③如图2所示：
（3）解：由图可知，当为5时，小海所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
【知识点】函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）任务1：由题意可得该无盖纸盒底面是边长为(30-2x)的正方形，进而根据长方体的体积公式可以列出y关于x的函数表达式，根据x的实际意义可直接分析出其取值范围；
（2）任务2：①分别将x=5和10代入函数关系式可求出y的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
（3）任务3：根据数形结合的思想可直接从图象中估出x的值为5时，容积最大.
24．（2024九下·定海开学考）在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）解：①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．
理由如下：
如图，连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，
∵菱形ABCD中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，，，，
∴，BD平分，AC平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点F，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC，即∠BAP=∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
∵AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
【分析】（1），连接AC，延长CE交AD于点F，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ACD都是等边三角形，得AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，AP=AE，∠PAE=60°，推出∠BAP=∠CAE，从而用SAS判断出△BAP≌△CAE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BP=CE，∠ABP=∠ACE，再根据菱形的对角线平分一组对角及等腰三角形的三线合一可得CE⊥AD；
（2）①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．理由如下：连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，判断出△BAP∽△CAE，由相似三角形性质得，∠ABP=∠ACE，即可解决此题；
②连接AC，CE，由①知△BAP∽△CAE，得出，∠ABP=∠ACE=60°，再由勾股定理求出CE，从而即可解决此题.
1 / 1浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2024九下·定海开学考）二次函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024九下·定海开学考）一个不透明的盒子内装有1个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·定海开学考）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2024九下·定海开学考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2024九下·定海开学考）如图，中，于点，点为线段，上两点，满足，则的比值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·海曙期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·定海开学考）如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024九下·定海开学考）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·定海开学考）如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九下·定海开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2024九下·定海开学考）已知，且，则的值为 ．
12．（2024九下·定海开学考）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
13．（2024九下·定海开学考）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2024九下·定海开学考）燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了 ．
15．（2024九下·定海开学考）如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则 ．
16．（2023九上·永嘉期末）如图所示，，半径为2的圆O内切于.P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024九下·定海开学考）计算：
（1）；
（2）已知线段，，线段c是线段，的比例中项，求的值．
18．（2024九下·定海开学考）在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
19．（2024九下·定海开学考）年杭州亚运会球类比赛中，有排球，篮球，足球，羽毛球，乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱．小海同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调査统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）若我校学生约有人，试估计想观看种比赛的学生约有 人．
（3）小海同学在月号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到两种比赛的概率．（要求画树状图或列表求概率）
20．（2024九下·定海开学考）如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
21．（2024九下·定海开学考）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15 米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
22．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
23．（2024九下·定海开学考）【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小海所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．
（1）任务1 请你写出关于的函数表达式．
（2）【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小海类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15
0 1562.5 1687.5 312.5 0
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
（3）【解决问题】画完函数的图象后，小海所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务3 利用函数图象回答：当为何值时，小海所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
24．（2024九下·定海开学考）在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2，-1)，
∴4a=-1，
∴a=.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特点，将(2，-1)代入二次函数y=ax2(a≠0)即可算出a的值.
2．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次摸球颜色相同的情况数有3种，
∴ 小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意画出树状图，由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次摸球颜色相同的情况数有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于圆O，
∴∠BOC=，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=6，
∵OM⊥BC，
∴BM=BC=3，∠OMB=90°，
∴；
弧BC的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OB、OC，根据正多边形与圆的关系得∠BOC=60°，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OBC是等边三角形，由等边三角形的三边相等得BC=OB=6，由垂径定理得BM=3，然后利用勾股定理可算出OM的长，利用弧长计算公式可算出弧BC的长.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，
∴BE=AB=0.7米，∠OEC=∠DFE=90°，
∵BC=0.7米，
∴CE=BE+BC=1.2米，
∵DC⊥AB，
∴∠C=90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，
设该门洞的半径OD=OB=x米，
由题意得，
解得，
∴该门洞的半径为1.3米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，由垂径定理得BE=AB=0.7米，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形DCEF是矩形，根据矩形的对边相等得DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，设该门洞的半径OD=OB=x米，在△ODF与△OEB中，分别根据勾股定理建立方程，再结合OF=OE-EF，可求出该门洞所在圆的半径.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABH=∠ADH，
∴AB=AD，
又∵AH⊥BC，
∴BH=DH=1，
∴CD=CH-HD=，
过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，
∴∠ADE=∠CFD，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠CFD=∠CDF，
∴FC=CD=，
∵CF∥DE，
∴△ADE∽△AFC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由等角对等边得AB=AD，由等腰三角形的三线合一得BH=DH=1，进而根据线段的和差可求出CD的长；过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，由平行线的性质及已知可推出∠CFD=∠CDF，由等角对等边得FC=CD，由平行三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△AFC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴△ABF∽△DHF，△ADE∽GEB，
∵点G是边BC的三等分点(BG＜GC)，点H是边CD的中点，
∴，，
设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=m，BF=，EF=，
∴FH∶AF=1∶2，BE∶EF∶FD=3∶5∶4，故①正确，②错误；
∵△ADE∽△GEB，
∴，
同理，
∵BE∶EF∶FD=3∶5∶4，，，
设S1=3n，则S4=9n，S2=15n，S=72n，
∴S3=6n，S6=27n，
∴S1+S2+S3+n，S6=S2+S5，故③正确，④错误，
综上正确的有①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据绗的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽GEB，由相似三角形对应边成比例得，，设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=m，BF=，EF=，从而即可判断①②；进而根据相似三角形对应高之比等于相似比及三角形的面积计算方法可得，同理，设S1=3n，则S4=9n，S2=15n，S=72n，进而表示出S3=6n，S6=27n，从而即可判断③④.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∵点A、B分别在反比例函数与的图象上 ，
∴S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△BOC∽△OAD
，∴，
∴，
∴tan∠BAO=.
故答案为：B.
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义可得S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，进而可得，然后由有两组角对应相等得两个三角形相似得△BOC∽△OAD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，最后根据正切函数的定义即可求出tan∠BAO的正切值.
9．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∵OG⊥AB，
∴AG=AB=1，
∴GO=，
∴S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC=.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由圆内接正六边形性质得∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AB=AO=2，由垂径定理得AG=1，再由勾股定理得GO=，最后根据S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC结合扇形面积计算方法列式计算即可.
10．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6），
∴，
∵BP⊥AC，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC，
∵sin∠OAC=，
∴∠OAC=30°，
∴∠C'AC=60°，
∴弧PP'的弧度=120°，
∴弧PP'的长为，
∴当点C在圆O上运动一周，点P运动的路径长等于.
故答案为：D.
【分析】连接AB，先根据两点间的距离公式算出AB的长，由直径所对的圆周角是90°可得点P在以AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆相切时，此时点P是运动路径的两端点，由∠OAC得正弦函数及特殊锐角三角函数值得∠OAC=30°，则∠C'AC=60°，弧PP'的弧度=120°，进而根据弧长计算公式算出弧PP'的长，即可解决此题.
11．【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设 ，
∴x=2k，y=3k，z=5k，
∵3x-2y+4z=60，
∴6k-6k+20k=60，
∴k=3，
∴x=6.
故答案为：6.
【分析】设 ，根据等比的性质得x=2k，y=3k，z=5k，然后代入3x-2y+4z=60，可求出k的值，从而即可求出x的值.
12．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据可知：随着试验麦粒数量的增加，其发芽频率稳定在0.95左右，
∴ 任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 0.95.
故答案为：0.95.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得答案.
13．【答案】15
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=6，
∴，
∵S阴影=S半圆BC+S半圆AC-(S半圆AB-S△ABC)
=S半圆BC+S半圆AC-S半圆AB+S△ABC
=.
故答案为：15.
【分析】首先由勾股定理算出AB的长，再根据S阴影=S半圆BC+S半圆AC-(S半圆AB-S△ABC)=S半圆BC+S半圆AC-S半圆AB+S△ABC列式计算即可.
14．【答案】25
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图2可知BD=20mm，
图3中，∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∵EF=20mm，AE=28mm，AB=AE+BE=28+35=63mm，
∴，
∴BD=45mm，
∴ 从打开到闭合，BD之间的距离增加了45-20=25mm.
故答案为：25.
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出图3中BD的长，求出两种状态下BD的差即可.
15．【答案】15
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，分别交AC、BC于点P、Q，
∵点E、F分别是弧AC、弧BC的中点，
∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠C=90°，
∴四边形CPOQ是矩形，
∴∠O=90°，
又OE=OF，
∴∠E=∠F=45°，
∴∠EMP=∠CMN=∠CNM=∠FNQ=45°，
∴△PEM、△CMN、△QFN、△OEF都是等腰直角三角形，
∵MN=，
∴CM=CN=MN=，
∵sin∠CAB=
设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理得AC=4x，
∵OE⊥AC，
∴AP=CP=OQ=AC=2x，
∵OF⊥BC，BQ=CQ=PO=BC=x，
∴PE=PM=PC-CM=2x-3，OP=OE-PE=x-2x+3，
又∵OP=CQ，
∴x-2x+3=x，
∴x=3，
∴AB=5x=15.
故答案为：15.
【分析】根据垂径定理得OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，进而根据有三个角是直角得四边形是矩形得四边形CPOQ是矩形，进而判断出△PEM、△CMN、△QFN、△OEF都是等腰直角三角形，根据等腰直角是哪些的性质结合MN的长度可算出CM=CN=3，由∠CAB得正弦函数定义设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理得AC=4x，由垂径定理及矩形的性质得BQ=CQ=PO=BC=x，AP=CP=OQ=AC=2x，则PE=PM=PC-CM=2x-3，OP=OE-PE=x-2x+3，进而根据OP=CQ建立方程可求出x的值，从而此题得解.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当MP与相切时，MF取得最大和最小，
①连接OP，OG，OC，如图1所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接OP，OG，OC，如图2所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
.
故答案为：.
【分析】作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，根据垂直的定义及四边形的内角和定理可求出∠MPN=120°，进而根据邻补角定义算出∠MPH=60°，由余弦函数的定义可得，则，根据矩形的性质得MF=NH，故当MP与相切时，MF取得最大和最小，①连接OP，OG，OC，如图1所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最大值；②连接OP，OG，OC，如图2所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最小值，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意得c2=ab，
∵a=8，b=2，
∴c2=16，
∴c=4.
【知识点】特殊角的三角函数值；比例中项
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，再计算乘方及乘法，最后计算有理数的减法得出答案；
（2）由比例的性质可得c2=ab，然后将a、b的值代入计算可得答案.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于坐标原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2，再顺次连接A2、B2、C，可得所求的△A2B2C，进而根据点A2、B2的位置读出其坐标即可.
19．【答案】（1）解：本次随机调查的总人数是（人），
想观看C比赛的人数为（人），
补全条形图如下：
（2）560
（3）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中选到两种比赛的有种结果，
所以选到两种比赛的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（2）解：该校学生想观看B种比赛的学生人数约为：1600×=560(人)，
故答案为：560；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D等级的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数，根据各组人数之和等于本次调查的总人数，可算出想观看C比赛的人数，从而可补全条形统计图；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢观看B种比赛的人数所占的百分比即可估算出该中学学生中想观看B种比赛的学生人数；
（4）用树状图法列举出可能出现的所有等可能结果数，由表可知由表可知总的情况有12种等可能结果，其中选到B、E两种比赛的有2种结果， 从而根据概率公式计算可得答案.
20．【答案】（1）证明：弦AB与半径OC互相平分，
∴四边形ACBO是平行四边形，
，
四边形ACBO是菱形；
（2）解：作CM⊥OA于M，
，
是等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
在等边△AOC中，CM⊥AO，
∴，
∴，
，
与间的距离为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ACBO是平行四边形，进而根据一组邻边相等得平行四边形是菱形得出结论；
（2）作CM⊥OA于M，易得△AOC是等边三角形，由等边三角形的性质及菱形的性质可得∠AOB=120°，从而结合扇形的面积计算方法建立方程可求出OA的长，根据等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=1，进而根据勾股定理算出CM，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响，理由如下：
由题意得：该抛物线的顶点坐标为（10，6），
设该抛物线的解析式为：，
将点（0，1）代入得：，
解得：
∴
当时，
∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响；
（2）解：由题意得A（15，3），
设直线OA的解析式为y=kx，
将点（15，3）代入得15k=3，
∴k=
∴直线OA的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差，
∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6，将点(0，1)代入即可求出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而求出当x=15时的函数值，将该函数值与小树的高度1.2米进行比较即可得出结论；
（2）根据点A的坐标，利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而求出水流高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决问题.
22．【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
23．【答案】（1）解：
；
（2）解：①在中，
当时，；当时，，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，
③如图2所示：
（3）解：由图可知，当为5时，小海所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
【知识点】函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）任务1：由题意可得该无盖纸盒底面是边长为(30-2x)的正方形，进而根据长方体的体积公式可以列出y关于x的函数表达式，根据x的实际意义可直接分析出其取值范围；
（2）任务2：①分别将x=5和10代入函数关系式可求出y的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
（3）任务3：根据数形结合的思想可直接从图象中估出x的值为5时，容积最大.
24．【答案】（1）；
（2）解：①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．
理由如下：
如图，连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，
∵菱形ABCD中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，，，，
∴，BD平分，AC平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点F，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC，即∠BAP=∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
∵AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
【分析】（1），连接AC，延长CE交AD于点F，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ACD都是等边三角形，得AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，AP=AE，∠PAE=60°，推出∠BAP=∠CAE，从而用SAS判断出△BAP≌△CAE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BP=CE，∠ABP=∠ACE，再根据菱形的对角线平分一组对角及等腰三角形的三线合一可得CE⊥AD；
（2）①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．理由如下：连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，判断出△BAP∽△CAE，由相似三角形性质得，∠ABP=∠ACE，即可解决此题；
②连接AC，CE，由①知△BAP∽△CAE，得出，∠ABP=∠ACE=60°，再由勾股定理求出CE，从而即可解决此题.
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