2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是( )
A. B. C. D.
5.当时，函数的值域是( )
A. B. C. D.
6.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
7.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
8.若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. ““是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 设，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，，则“”是“”的必要而不充分条件
10.已知函数，则( )
A. 函数的最大值为 B. 函数的最大值为
C. 函数的最小值为 D. 函数的最小值为
11.已知函数则下列结论中正确的是( )
A. B. 若，则
C. 是奇函数 D. 在上单调递减
12.下列说法中正确的是( )
A. 若是第二象限角，则点在第三象限
B. 圆心角为，半径为的扇形面积为
C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D. 若，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式的解集是 ．
14.已知是奇函数，且当时，若，则 ．
15.函数的图象是两条线段如图，它的定义域为，则不等式的解集为______．
16.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，其中，都是锐角．求：
的值；
的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求实数的值；
画出函数的图象并写出函数在区间上的值域；
若函数，求函数在上最大值．
19.本小题分
已知函数．
求的周期和单调区间；
若，，求的值．
20.本小题分
已知函数
求函数的定义域；
求函数的零点；
若函数的最小值为，求的值．
21.本小题分
若，求的值；
若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
22.本小题分
如图，有一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点，落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为．
如何选择关于点对称的点，的位置，可以使矩形的面积最大，最大值是多少？
沿着，，修一条步行小路从到，如何选择，位置，使步行小路的距离最远？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据对数的运算法则计算即可．
本题考查了对数的运算，属于基础题．
【解答】
解：，
故选：
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．
考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．
4.【答案】
【解析】解：根据，为非零实数且，
取，，则可排除，，．
故选：．
根据条件取，即可排除错误选项．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法．
利用指数函数的单调性，先判断函数的单调性，再利用单调性求函数的值域即可。
【解答】
解：函数在上为单调增函数，
当时，，即
即
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及判断，注意函数奇偶性的性质，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数为奇函数，为偶函数，
则、公共定义域必定关于原点对称，
依次分析选项：
对于，，既不是奇函数也不是偶函数，，B错误；
对于，，是奇函数，C正确，D错误；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，
幂函数的图象过点，
，，
，
则，
故选：．
先设，再求出，求解即可．
本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．
先求出当时，因为函数的值域为，所以当时，需满足，从而求出的取值范围．
【解答】
解：当时，，
函数的值域为，
当时，，
解得：，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，，充分性成立；当时，有或，必要性不成立，
所以““是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于，命题“，”的否定是“，”，故B正确；
对于，，，则且时，，充分性成立；时，不能得出且，必要性不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于，设，，时，不能得出，充分性不成立；“”时，得出，必要性成立，
所以“”是“”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义分别判断，根据全称命题的否定判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了全称命题的否定，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由诱导公式可得，，
故，
，，
令，则；
当时，在内取得最大值为，即的最大值为；
当时，在内取得最小值为，的最小值为；
故选：．
根据诱导公式化简函数解析式，再用换元法将三角函数转化为二次函数，求区间内的最值即可．
本题考查了三角函数的性质，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的性质以及分段函数问题的处理方法，属于中档题．
通过代入计算、解方程、奇偶函数的定义以及函数的单调性性质，结合分段函数的性质逐项计算、判断即可．
【解答】
解：，故A错误；
由得，或舍，解得，故B错误；
当时，，故，，
同理可知当时，也有，且，故是奇函数，故C正确；
当时，在上单调递减，且，当时，单调递减，且，故在上单调递减，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数诱导公式、扇形面积公式及利用二分法求函数的零点，属于基础题．
根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及，之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：对若是第二象限角，则，，故点在第三象限，则A正确；
对根据题意，扇形面积，故B正确；
对对，当时，当时，，
故可以取的一个区间是，则C正确；
对，且，则，解得，
则，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式，得到结果、
【解答】
解：因为为单调递增函数，
故不等式，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数的定义，可得结果．
【解答】
解：是奇函数，
，
又当时，，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，由函数的图象，为奇函数，且解析式为，
则，
结合函数的图象，必有或，
解可得：或，即不等式的解集为．
故答案为：．
根据题意，由函数的图象分析的奇偶性和解析式，由此可得，结合解析式分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，所以，
所以在直角三角形中，
因为，所以，
所以
，
故答案为：．
由以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为，可得，求出，利用两角差的余弦公式即可求解．
本题考查解三角形，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由于已知，
则，
故，；
所以，；
则．
．
【解析】直接利用三角函数的定义求出函数的值，进一步求出差角的正弦；
直接利用差角的正切求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三家函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，解得，
当时，，解得
由上知或．
函数的图象如右图：，
，，，
由图象知函数的值域为．
当时，
，
配方得，
当即时，，
当即时，，
综上，．
【解析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了二次函数的性质，同时考查了学生的作图能力，是中档题．
对分情况讨论，分别求出的值即可．
画出函数的图象，根据图象即可求出函数在区间上的值域．
由题意可知，对称轴为，对对称轴的位置分两种情况讨论，在区间的中点的左侧或右侧，分别求出函数的最大值即可．
19.【答案】解：，
；
令，，解得：，，可得的单调递增区间为，，
令，，解得：，，可得的单调递减区间为，，
，
可得，
，可得，
，
．
【解析】利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出的最小正周期；利用正弦函数的性质可求其单调区间．
由已知可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.【答案】解：要使函数有意义：则有，解之得：，
则函数的定义域为：
函数可化为
由，得，
即，
，函数的零点是
函数可化为：
，，
，，
即，由，得，

【解析】根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值．
本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．
21.【答案】解：因为，
若，即有，
所以；
由题意可知，不等式有解，即，
因为，可得，
故当，即时取得最大值，且最大值为，
，
即实数的取值范围为．
【解析】由题意，利用三角恒等变换化简的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，求得的范围，可得的范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：连接，如图所示，设，
则，，且，
因为，关于原点对称，所以，
设矩形的面积为，则，
因为，所以当，即时，，
此时，
故当，距离圆心为时，矩形的面积最大，其最大面积是 ；
由知，，
所以，
又，所以，
当，即时，，
此时，
即当，距离圆心为时，步行小路的距离最远．
【解析】设，利用直角三角形的边角关系以及倍角公式得出，再由正弦函数的性质得出最值；
由，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及三角函数在生活中的实际应用，属于中档题．
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