2022-2023学年河北省石家庄市正中实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市正中实验中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.设，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成个圆环，解开九连环共需要步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第个圆环最少需要移动的次数为( )
A. B. C. D.
5.若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是国家统计局于年月日发布的年月到年月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如年月与年月相比；环比是指本期与上期作对比，如年月与年月相比．
注：同比增长率，环比增长率．
下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是( )
A. 年月，全国居民消费价格同比下降
B. 年月，全国居民消费价格环比下降
C. 年月至年月，全国居民消费价格环比在年月涨幅最高
D. 年月的全国居民消费价格高于年月的全国居民消费价格
10.已知向量，将绕原点旋转，，到，，的位置，则( )
A. B.
C. D. 点坐标为
11.曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
12.已知定圆的半径为，圆心到定直线的距离为，动圆与圆和直线都相切，圆心的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列，其前项和为若，，则______．
14.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春宫大师，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器某同学计划从“金、石、匏、竹、丝种课程中选种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了个课程为吹奏乐器、个课程为打击乐器的概率为______．
15.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于点，，且，若，则椭圆的离心率是______．
16.已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且满足的面积为．
求；
若，，求．
18.本小题分
已知是数列的前项和，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
求角的大小；
若角的平分线交于点，求的面积．
20.本小题分
设各项非负的数列的前项和为，已知，且，，成等比数列．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，数列的前项和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，且为等边三角形．
若，求证：；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，且点位于第一象限．
若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由复数在复平面上对应的点在第二象限，
可得，解得，
故实数的取值范围为．
故选：．
由复数在复平面上对应的点在第二象限，得到关于的一元一次不等式组，再求出的范围．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当且时，则成立，充分性成立，
当，时，满足，但不满足且，必要性不成立，
且是的充分不必要条件，
故选：．
利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
由解下第个圆环可得，
又，
则，
故选：．
题意即为求出，根据数列的递推关系和，，即可得出答案．
本题考查数列的应用及数列的递推关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，因为母线长为，
所以侧面展开图的面积为，
解得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积是．
故选：．
求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积．
本题考查了圆锥的结构特征与侧面展开图的面积和体积的计算问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
可得，
两边平方，可得，
所以．
故选：．
利用两角和与差的三角函数化简已知条件，然后通过平方，结合二倍角公式求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出双曲线的下焦点坐标和渐近线方程，再根据下焦点到渐近线的距离为，离心率为，求得，，即可得出答案．
本题主要考查双曲线方程的求解，圆锥曲线的实际应用等知识，属于中等题．
【解答】
解：双曲线的下焦点坐标为，
渐近线方程为，即，
则下焦点到渐近线的距离为，
又离心率，所以，
所以该双曲线的标准方程为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由得：，
或，
，，
，
又，，
，，，
则使得的最小正数为，
故选：．
先由已知条件判断出，，的范围，即可判断出使得的最小正数的数值．
本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：从图中可以看出年月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A错误；
对于选项B：年月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B正确；
对于选项C：年月至年月，全国居民消费价格环比在年月涨幅为，最高，C正确；
对于选项D：设年月的全国居民消费价格为，
则年月的全国居民消费价格为，则年月的全国居民消费价格为，
故年月的全国居民消费价格为，
而，故年月的全国居民消费价格高于年月的全国居民消费价格，D正确
故选：．
选项，由于，故可判断年月，全国居民消费价格同比上升；选项，，故年月全国居民消费价格环比下降；选项，年月至年月，全国居民消费价格环比在年月涨幅为，最高，C正确；设年月的全国居民消费价格为，表达出年月的全国居民消费价格为，及年月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断．
本题主要考查了统计图表的实际应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意作图如右图，
，，
故选项A正确；
与所对的圆心角相等，
，
故选项B正确；
，
，
选项C正确；
若点坐标为，
则，
故选项D错误；
故选：．
由题意作图，结合图象分析即可．
本题考查了平面向量的运算及数形结合的思想方法应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
，则曲线在点处的切线方程为，即．
直线与切线平行，且两平行线间的距离为，
设直线：，则，解得或．
直线的方程可能为或．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，由直线方程的斜截式写出切线方程，再由两平行线间的距离公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两平行线间距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，设圆的半径为，圆的半径为，当圆与圆相外切时，如图所示，
则有点到直线的距离为，，
把直线向左平移个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等，
故圆的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，
同理，，，故A正确；
所以，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：．
由题意当圆与圆相外切时，如图所示，有，且，所以，同理得，可求得结论．
本题考查抛物线的性质，属中档题．
13.【答案】或
【解析】解：设等比数列的公比为，
由，，得，
整理得，解得或，
当时，；当时，．
故答案为：或．
设等比数列的公比为，由题意可得，从而可求出值，进一步利用即可求解．
本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：从金、石、匏、竹、丝种课程中选种作兴趣班课程进行学习，基本事件有：金，石，金，匏，金，竹，金，丝，石，匏，石，竹，石，丝，匏，竹，匏，丝，竹，丝，共个，
其中恰安排了个课程为吹奏乐器、个课程为打击乐器的基本事件为：金，匏，金，竹，石，匏，石，竹，共个，
故所求概率为．
故答案为：．
由列举法和古典概型的概率公式可求出结果．
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得，
所以，
设右焦点，连接，，又因为，可得四边形为矩形，
即，且，
在中，，
，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，故，
所以离心率．
故答案为：
由椭圆的对称性，取椭圆的右焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由，进而求出离心率．
本题考查椭圆的对称性，椭圆的简单性质的应用，三角函数的化简求值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
是奇函数，对称中心为，
是将的图象向右平移个单位长度得到，故其对称中心为，
，
则函数的图象的对称中心为．
数列为等差数列，，
，，，
函数的图象的对称中心为，
．
故答案为：；．
先利用函数的奇偶性判断是奇函数，对称中心为，即可得到函数的对称中心，再利用等差数列的性质和的对称性即可求解．
本题考查了函数的奇偶性，对称性的判断，等差数列的性质，属于中档题．
17.【答案】解：由及正弦定理得，
因为，，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以，即；
因为，即，解得，
由余弦定理得：，
所以．
【解析】由正弦定理边化角得，再根据两角和的正弦公式变形可求出结果；
由面积公式求出，再由余弦定理，求出即可．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：是数列的前项和，，
，
，
得：，，
也成立，
，
，
数列的前项和．
【解析】本题主要考查数列通项公式和前项和的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目．
根据数列的递推关系，即可求解结论，
直接裂项求和即可．
19.【答案】解：由已知：，在中，由余弦定理得
，解得，．
由余弦定理得．
又因为，．
由知，，．
在中，．
由正弦定理得，，得．
所以的面积．
【解析】先利用余弦定理求出，的值，然后再用余弦定理求出；
先在三角形中，利用余弦定理求出，然后结合两角和与差的三角公式求出，再利用正弦定理求出，最后利用面积公式求出面积．
本题考查正余弦定理的应用及面积公式，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识以及学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，，
，．
得，即，
，，
数列从第项起是公差为的等差数列，
又，，成等比数列，，
即，
解得，，
，，适合上式，
数列的通项公式为．
Ⅱ，
数列的前项的和为：
，
，
得，
，
．
【解析】Ⅰ利用得出的递推关系，从而得数列从第项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得，这样可得通项公式，然后由已知式中令求得，比较后可得结论；
Ⅱ用错位相减法求和．
本题考查了数列的递推式和错位相减求和，属于中档题．
21.【答案】证明：因为为的中点，所以，
所以为等腰直角三角形，所以，
同理，所以，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，又平面，所以；
解：取的中点，的中点，连接、，则，
又为等边三角形，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
以、方向分别作为、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】先证明，再由，证明平面，得出；
取的中点，的中点，得出是二面角的平面角，以、方向分别作为、轴正方向，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面的一个法向量，再求直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角的正弦值计算问题，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系和运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：证明：设，则，
，，，
在椭圆上，，
，
所以直线和的斜率之积为定值．
由椭圆：，可得右焦点坐标，
设过右焦点的直线的方程为，，，，
由，得，
由韦达定理可得：，，
设轴上存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等，
则轴是的平分线，即，
，即，
，
，
化简可得，该式对任意的恒成立，所以．
所以存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等．
【解析】本题主要考查椭圆中的定值、定点问题，直线与椭圆的位置关系，是较难题．
首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；
设过右焦点的直线的方程为，，，则，组成方程组得，，
由题意可得轴是的平分线，即，化简可得定点的坐标．
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