第八章 8.4 8.4.1
A级——基础过关练
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是( )
①A∈a，a α A α；②A∈a，a∈α A∈α；③A a，a α A α；④A∈a，a α A α．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．(多选)下列命题中正确的有( )
A．三角形是平面图形 B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形 D．圆是平面图形
3．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．1或3
4．若两个平面有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．1或3
6．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
7．(多选)(2023年合肥期中)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的有( )
A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面
8．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M__________l．
9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__________条．
10．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．
求证：直线AD，BD，CD共面．
B级——能力提升练
11．(多选)以下命题中错误的有( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
12．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
13．如图，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝_____；平面A1C1CA∩平面ABCD＝________．
14．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面．
15．如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝．求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
答案
1【答案】A
【解析】①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．故选A．
2【答案】AD
【解析】根据基本事实1可知A，D正确，B，C错误．故选AD．
3【答案】C
【解析】当这四个点在一个平面内的时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外的时候，确定四个平面．故选C．
4【答案】C
【解析】若三点在同一条直线上，则这两个平面相交；若三点不共线，则这两个平面重合．
5【答案】D
【解析】当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面．当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．故选D．
6【答案】D
【解析】在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面．故选D．
7【答案】ABC
【解析】如图，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，∴C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，选项D错误．
8【答案】∈
【解析】因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．
9【答案】5
【解析】由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
10证明：因为D l，
所以l与D可以确定平面α．
因为A∈l，所以A∈α．
又因为D∈α，所以AD α．
同理，BD α，CD α．
所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．
11【答案】BCD
【解析】对A，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；对B，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；C显然不正确；D不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．故选BCD．
12【答案】D
【解析】根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．
13【答案】A1B1 AC
14【答案】1或4
【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
15证明：(1)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，∴HG∥AC．
又∵＝＝，∴EF∥AC．
∴EF∥HG，E，F，G，H四点共面．
(2)如图，设EH与FG交于点P，
∵EH 平面ABD，∴P在平面ABD内．
同理P在平面BCD内，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴点P在直线BD上．
∴直线EH，BD，FG相交于一点．第八章 8.4 8.4.2
A级——基础过关练
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
2．(多选)下列结论正确的有( )
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交
5．如果M是两条异面直线a，b外的一点，那么过点M且与a，b都平行的平面( )
A．只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
6．已知直线a，b，l和平面α，β满足α∩β＝l，a α，b β，则下列命题正确的是( )
A．若a⊥b，则a⊥l B．若a∥b，则a∥l
C．若a，b异面，则a，l相交 D．若a，b共面，则a，l相交
7．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
8．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的有__________(填序号)．
①若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
②若α∥β，a α，则a∥β；
③若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
9．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有__________对．
10．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的关系并证明你的结论．
B级——能力提升练
11．(多选)以下说法正确的有( )
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．7个
13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是__________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__________．
14．如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________(填序号)．
15．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
答案
1【答案】D
【解析】异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．故选D．
2【答案】CD
【解析】结合直线与平面的位置关系可知，A，B错误，C，D正确．
3【答案】D
【解析】当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
4【答案】D
【解析】若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c．因为c与b都在β内，所以b∥c．所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．
5【答案】C
【解析】当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C．
6【答案】B
【解析】若a⊥b且b⊥l，则a∥l，故A错；易知B对；若a∥l且b，l相交，满足a，b异面，故C错；若a∥l且b∥l，满足a，b共面，但a∥l，故D错．故选B．
7【答案】C
【解析】如图所示，可以将空间划分为7部分．故选C．
8【答案】②
【解析】①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．
9【答案】8
【解析】以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
10解：a∥b，a∥β．证明如下．
由α∩γ＝a知a α且a γ．
由β∩γ＝b知b β且b γ．
因为α∥β，a α，b β，所以a，b无公共点．
又因为a γ且b γ，所以a∥b．
因为α∥β，所以α与β无公共点．
又因为a α，所以a与β无公共点，所以a∥β．
11【答案】AC
【解析】易知A，C正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错．故选AC．
12【答案】D
【解析】把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图1所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．第二类：如图2所示，四个定点分布在α的一侧2个，另一侧2个，此类中α共有3个．故符合题意的平面共有7个．故选D．
13【答案】(1)平行 (2)相交
【解析】(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
14【答案】②④
【解析】①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，②④正确．
15解：平面ABC与β的交线与l相交．
证明如下：因为AB与l不平行，且AB α，l α，
所以AB与l一定相交．
设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l．
又因为AB 平面ABC，l β，
所以P∈平面ABC，P∈β．
所以P是平面ABC与β的一个公共点，而C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
所以直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．第八章 8.5 8.5.1、2
A级——基础过关练
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
2．(多选)下列叙述错误的有( )
A．一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行
B．一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行
C．若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行
D．与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行
3．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为BS，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
4．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PAD；④OM∥平面PAB；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．如图，α∩β＝l，a α，b β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是( )
A．a，b都与l平行 B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交 D．a，b中至多有一条与l相交
6．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的动点，若A1B∥平面B1CD，则的值为( )
A． B．
C． D．1
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
8．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是__________．
9．如图，E是棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则线段CE的长度为__________．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1．
B级——能力提升练
11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
12．(多选)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，点G，H分别在线段DC，DA上，且满足DG＝λDC，DH＝μDA，λ，μ∈(0，1)，则下列说法正确的有( )
A．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是矩形
B．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是梯形
C．当λ≠μ时，四边形EFGH是空间四边形
D．当λ≠μ时，直线EH，FG，BD相交于一点
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与__________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与__________的两边分别平行且方向相反．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD．
以上结论中正确的有__________(填序号)．
15．(2023年大连期中)如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D1为棱A1C1(不包括端点)上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
(2)设多面体ABCB1D1的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，求．
答案
1【答案】C
【解析】因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交，A不符合题意；因为缺少条件m α，B与D不符合题意；由直线与平面平行的判定定理知C符合题意．
2【答案】ABCD
【解析】两直线可能共面，A错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，B错；对于C，D，直线有可能在平面内．
3【答案】B
【解析】因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B．
4【答案】C
【解析】由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故①对；由于OM 平面PCD，PD 平面PCD，则OM∥平面PCD，故②对；由于OM 平面PAD，PD 平面PAD，则OM∥平面PAD，故③对；由于M∈平面PAB，故④错；由于M∈平面PBC，故⑤错．故选C．
5【答案】B
【解析】如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．
6【答案】B
【解析】如图，连接BC1交B1C于点O，连接OD．因为A1B∥平面B1CD，平面B1CD∩平面A1BC1＝OD，所以A1B∥OD．又因为O是B1C的中点，所以D是A1C1上的中点，即＝．故选B．
7【答案】D
【解析】记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
8【答案】平行
【解析】因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α．
9【答案】
【解析】如图，连接BC1，交B1C于点O，连接EO，则O为BC1的中点．∵BD1∥平面B1CE，BD1 平面D1BC，平面D1BC∩平面B1CE＝OE，∴OE∥BD1，故E为D1C1的中点，得EC1＝．在Rt△EC1C中，CE＝＝＝．
10证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB．
因为OF綉B1C1，BE綉B1C1，所以OF綉BE．所以四边形OFEB是平行四边形．
所以EF∥BO．
因为EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1．
11【答案】D
【解析】由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．
12【答案】BC
【解析】如图，根据题意，连接AC，对于A，当λ＝μ＝时，H，G是AD和CD的中点，则有GH∥AC且GH＝AC，又因为由E，F分别是边AB，BC的中点，则EF∥AC且EF＝AC，则有EF∥GH且EF＝GH，四边形EFGH是平行四边形，但不一定是矩形，A错误；对于B，当λ＝μ＝时，由平行线等分线段定理可得GH∥AC且GH＝AC，又由EF∥AC且EF＝AC，则有EF∥GH但EF≠GH，则四边形EFGH是梯形，B正确；对于C，当λ≠μ时，易得GH与AC不平行，进而有GH与EF不平行，则四点E，F，G，H不共面，故四边形EFGH是空间四边形，C正确；对于D，由C的结论，当λ≠μ时，四点E，F，G，H不共面，EH和FG不相交，D错误．故选BC．
13【答案】(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
【解析】(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
14【答案】①②
【解析】把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线．AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
15解：(1)取D1为线段A1C1的中点，此时＝1．
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1．
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
∴O为A1B的中点．
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1．
∵OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1．
(2)∵V1＝V2－(VA－A1B1D1＋VC－B1C1D1)，三棱锥A－A1B1D1和三棱柱ABC－A1B1C1具有相同的高，
∴VA－A1B1D1＋VC－B1C1D1＝V2．
∴V1＝V2－V2＝V2．∴＝．第八章 8.5 8.5.3
A级——基础过关练
1．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列各项正确的是( )
A． α∥β B． α∥β
C． a∥α D． a∥β
5．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＝＝＝＝2，则下列说法正确的有( )
A．BD1∥GH B．BD与EF异面
C．EH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1
6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
7．已知m，n，l1，l2表示不同直线，α，β表示不同平面，若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则能得出α∥β的是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是__________．
9．给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ α．
其中正确的说法有__________(填序号)．
10．如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．
B级——能力提升练
11．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
12．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列命题正确的有( )
A．BM∥平面DE B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
13．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝__________．
14．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是__________．
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
答案
1【答案】C
【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
2【答案】D
【解析】夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．
3【答案】B
【解析】易知BC∥平面A′C′，且P，B，C不在同一条直线上，所以过P，B，C三点有且只有1个平面．
4【答案】B
【解析】对A，α与β有可能相交；B正确；对C，有可能a α；对D，有可能a β．故选B．
5【答案】BCD
【解析】如图所示，连接A1B，D1C，BD，BD1，根据题意，由＝＝2可得EF∥A1B，且＝＝＝，同理可得GH∥CD1，FG∥BC，且＝．由GH∥CD1，而CD1∩BD1＝D1，所以BD1不可能平行于GH，即A错误；易知BD与EF不平行，且不相交，由异面直线定义可知，BD与EF异面，即B正确；在长方体ABCD－A1B1C1D1中A1B∥CD1，A1B＝CD1，所以EF∥GH，EF＝GH，即四边形EFGH为平行四边形，所以EH∥FG，又因为BC∥FG，所以EF//BC；EH 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD，即C正确；由EF∥A1B，EF 平面A1BCD1，A1B 平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，因为BC∥FG，FG 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，所以FG∥平面A1BCD1，因为EF∩FG＝F，且FG，EF 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面A1BCD1，即D正确．故选BCD．
6【答案】B
【解析】由α∥β得AB∥CD．分两种情况：若点P在α，β的同侧，则＝，所以PB＝，所以BD＝；若点P在α，β之间，则有＝，所以PB＝16，所以BD＝24．
7【答案】D
【解析】对于A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A错误；对于B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B错误；对于C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C错误；对于D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β．故选D．
8【答案】平行
【解析】∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC．又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC．
9【答案】①②③
【解析】由题意知，两个平面同时平行于同一平面，则根据平面平行的传递性可知，这两个平面本身也互相平行，故①正确．若直线a与平面β平行或直线a β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a α，这与直线a与α相交矛盾，所以α与β相交，故②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b．因为PQ∥β，PQ γ，所以PQ∥b．因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a α，所以PQ α，故③正确．
10证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD．
∵AD 平面APD，BC 平面APD，
∴BC∥平面APD．
∵平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF．∴AD∥EF．
∵E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD．∴EF≠BC．
∴四边形BCFE是梯形．
11【答案】D
【解析】如图，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，AA′，BB′，则CE∥AA′，所以CE∥α，C′E∥BB′，所以C′E∥β．因为α∥β，所以C′E∥α．因为C′E∩CE＝E，所以平面CC′E∥平面α．所以CC′∥α．所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．
12【答案】ABCD
【解析】以正方形ABCD为下底面还原正方体，如图．易判定四个命题都是正确的．
13【答案】
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD．因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD．又因为∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH．因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点．因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin 60°＝．所以GH＝PE＝．
14【答案】平行四边形
【解析】因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1．又因为A1B1∥C1D1，所以AB∥CD．同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
15解：E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，证明如下．
(方法一)如图，取AB1的中点F，连接DE，EF，FC1，
因为E，F分别为AB，AB1的中点，
所以EF∥BB1且EF＝BB1．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，
DC1∥BB1且DC1＝BB1，
所以EF∥DC1，且EF＝DC1，四边形EFC1D为平行四边形．所以ED∥FC1．
因为ED 平面AB1C1，FC1 平面AB1C1，
所以ED∥平面AB1C1．
(方法二)如图，取BB1的中点H，连接EH，DH，ED，
因为E，H分别是AB，BB1的中点，
则EH∥AB1．
因为EH 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，所以EH∥平面AB1C1．
因为HD∥B1C1，同理可得HD∥平面AB1C1，
因为EH 平面EHD，HD 平面EHD，EH∩HD＝H，
所以平面EHD∥平面AB1C1．
因为ED 平面EHD，
所以ED与平面AB1C1无交点．
所以ED∥平面AB1C1．第八章 8.6 8.6.1
A级——基础过关练
1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
3．(2023年闽侯期末)已知空间三条直线a，b，c．若a⊥b，a⊥c，则( )
A．b与c平行 B．b与c异面
C．b与c相交 D．b与c平行、异面、相交都有可能
4．在下列图形中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①② B．②④
C．③④ D．②③④
5．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
6．(多选)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法正确的有( )
A．E，F，G，H四点共面 B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面 D．直线BC与平面AFH平行
7．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则( )
A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
8．(2023年湘潭期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是__________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有__________条．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
B级——能力提升练
11．已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a，b都成60°角的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
12．(多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的有( )
A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线
13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为__________．
14．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′．
(1)BC′与CD′所成的角为__________；
(2)AD与BC′所成的角为__________．
15．如图，在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．
(1)求证：EF∥平面ACD；
(2)求异面直线AC与BD所成的角．
答案
1【答案】C
【解析】如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与AD相交，与BC异面．
2【答案】B
【解析】连接A1B，BC1．∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH．∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成的角．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°．
3【答案】D
【解析】若a⊥b，a⊥c，如图，则b与c相交(c取c1)、平行(c取c2)、异面(c取c3)都有可能．故选D．
4【答案】B
【解析】题图①中，直线GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面．故选B．
5【答案】C
【解析】如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3．∴MN＝5．
6【答案】ABC
【解析】如图，对于A，FG∥A1B1，EH∥A1B1，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，故A正确；对于B，HG∥BC1，EH∥AB，HG∩EH＝H，BC1∩AB＝B，∴平面EGH∥平面ABC1，故B正确；对于C，∵FH∩平面ABB1A1＝H，AA1 平面ABB1A1，H AA1，∴直线A1A与FH异面，故C正确；对于D，取CC1中点M，连接HM，则HM∥BC，∵HM∩平面AFH＝H，∴直线BC与平面AFH相交，故D错误．故选ABC．
7【答案】C
【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．
8【答案】
【解析】取A1B1的中点G，连接AG，FG，EG，如图所示，∵A1G∥D1E，且A1G＝D1E，∴四边形A1GED1为平行四边形．∴EG∥A1D，且EG＝A1D．∵A1D1∥AD，A1D1＝AD，∴EG∥AD，EG＝AD．∴四边形ADEG为平行四边行．∴AG∥DE，∴异面直线DE与AF所成角为∠FAG或其补角．设正方形的边长为2，则AF＝＝，AG＝＝，FG＝＝．在△AGF中，由余弦定理可得cos ∠FAG＝＝．
9【答案】8
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．
10解：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
11【答案】C
【解析】把a平移至a′与b相交，其夹角为60°，60°角的补角的平分线c与a，b成60°角，过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．在60°角的“平分面”上还有两条直线与a，b均成60°．过空间一点作它们的平行线即满足条件．故选C．
12【答案】CD
【解析】A中AM与CC1是异面直线；B中AM与BN是异面直线；易知C，D正确．
13【答案】
【解析】如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角)．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝．于是在△DMO中，由余弦定理，得cos ∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
14【答案】(1)60° (2)45°
【解析】连接BA′(图略)，则BA′∥CD′．连接A′C′，则∠A′BC′(或其补角)为BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，可知∠A′BC′＝60°．由AD∥BC，可知∠C′BC(或其补角)为AD与BC′所成的角，易知∠C′BC＝45°．
15(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC．
∵EF 平面ACD，AC 平面ACD，∴EF∥平面ACD．
(2)解：E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF∥AC，FM∥BD．∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或所成角的补角)．
在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，
∴△EFM是等边三角形．∴∠EFM＝60°．
∴异面直线AC与BD所成的角为60°．第八章 8.6 8.6.2
A级——基础过关练
1．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．A1C⊥平面AB1D1 B．A1C⊥平面AB1C1D
C．A1B⊥平面AB1D1 D．A1B⊥AD1
6．(多选)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的有( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
7．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
A．① B．①②
C．②③ D．④
8．若a，b表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b．其中正确的命题为__________．(填序号)
9．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为__________．
10．(2023年云南期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求正方体的体积；
(2)求证：A1D∥平面B1BCC1；
(3)求证：BC1⊥平面A1B1CD．
B级——能力提升练
11．已知三棱锥P－ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
12．(多选)(2023年四川期中)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中正确的有( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝__________．
14．如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H．当＝__________时，截面EFGH的面积最大，最大面积为__________．
15．(2023年株洲一模)如图1，已知菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿对角线BD将其翻折，使∠ABC＝90°，设此时AC的中点为O，如图2．
(1)求证：点O是点D在平面ABC上的射影；
(2)求直线AD与平面BCD所成角的余弦值．
所以h＝．
设直线AD与平面BCD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝，所以cos θ＝．
答案
1【答案】D
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
2【答案】C
【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m．故选C．
3【答案】B
【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
4【答案】B
【解析】如图所示，连接BD，AC，交于点O，连接D1O．由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．设D到平面ACD1的距离为d，DD1与平面ACD1所成的角为θ，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1．由VD－ACD1＝VD1－ACD得××()2·d＝×1×1××1，解得d＝．所以sin θ＝＝．
5【答案】A
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1CA，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C，D不正确．故选A．
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
6【答案】ABD
【解析】PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
BC⊥平面PAB BC⊥PB，故A正确；同理B正确；C不正确．
7【答案】A
【解析】如图．
在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB 平面ABE，∴AB⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB 与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan ∠ABE＝＝，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．
8【答案】①④
【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
9【答案】4
【解析】 BC⊥平面PAC BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．
10【答案】(1)解：正方体的体积为V＝2×2×2＝8．
(2)证明：∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴A1D∥B1C．
∵B1C 平面B1BCC1，A1D 平面B1BCC1，∴A1D∥平面B1BCC1．
(3)证明：∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1 平面B1BCC1，∴BC1⊥A1B1．
又∵BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1B1CD，
∴BC1⊥平面A1B1CD．
11【答案】D
【解析】如图，连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点E．因为PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．
12【答案】ABD
【解析】在A中，∵PA垂直于以AB为直径的圆所在平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，故A正确；在B中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故B正确；在C中，∵AC⊥BC，∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，故AC与BC不垂直，故C错误；在D中，∵BC⊥平面PAC，PC 平面PAC，∴PC⊥BC，故D正确．故选ABD．
13【答案】1
【解析】在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF．因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以＝1．
14【答案】 a2
【解析】∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°．设＝x，则＝＝x．又∵BC＝a，∴EF＝ax．由＝＝1－x，得EH＝a(1－x)．∴S四边形EFGH＝EF×EH×sin 60°＝ax×a(1－x)×＝a2(－x2＋x)．当x＝时，S最大值＝a2，即当＝时，截面的面积最大，最大面积为a2．
15(1)证明：因为DA＝DC，O为AC的中点，所以DO⊥AC．
设菱形ABCD的边长为2，因为∠ABC＝90°，所以AC＝2．
如图，连接BO，则BO＝．
因为AD＝DC＝2，AC＝2，所以AD2＋DC2＝AC2．所以AD⊥DC．所以DO＝．
因为BD＝2，所以DO2＋BO2＝DB2．
所以DO⊥BO．
又因为AC∩BO＝O，
所以DO⊥平面ABC．
所以点O是点D在平面ABC上的射影．
(2)解：设点A到平面BCD的距离为h，设菱形ABCD的边长为2，则△BCD的面积为，
所以VA－BCD＝××h＝h，
△ABC的面积为×2×2＝2．
由(1)知DO⊥平面ABC，DO＝，
所以VD－ABC＝×2×＝h，第八章 8.6 8.6.3 第1课时
A级——基础过关练
1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
4．(2023年铜仁模拟)已知直线m与平面α，β满足m⊥α，α⊥β，则( )
A．m⊥β B．m∥β或m β
C．m β D．m∥β
5．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )
A．60° B．30°
C．45° D．15°
6．(2023年安阳二模)如图所示的圆锥的主视图是边长为2的正三角形，AB为底面直径，C为的中点，则平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的正切值为( )
A． B．
C． D．
7．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是( )
A． B．
C． D．
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为__________．
9．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．
你认为这个结论__________．(填“正确”或“错误”)
10．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC．
B级——能力提升练
11．(2023年福州期末)我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”P－ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点，则下列选项错误的是( )
A．EF∥平面ABCD B．EF⊥平面PAC
C．平面PBD⊥平面AEF D．平面PBC⊥平面AEF
12．(多选)(2023年湖北模拟)如图，在已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，BB1，A1D，AA1的中点，以下说法正确的有( )
A．若BC＝1，AA1＝，则DP⊥BC1
B．MN∥CD
C．MN∥平面C1DE
D．若AB＝BC，则平面AA1C1C⊥平面A1BD
13．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小为__________；二面角A′－AB－D的大小为__________．
14．如图，在四面体P－ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，则二面角D－BC－A的大小为__________．
15．(2023年毕节模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，AB＝6，AD＝6，K为PA上一点，PK＝PA．求证：
(1)K，E，M，N四点共面；
(2)平面PAC⊥平面BMNK．
答案
1【答案】D
【解析】由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．
2．有下列说法：
2【答案】A
【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．
3【答案】C
【解析】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知B，D错，C正确．
4【答案】B
【解析】直线m和平面α，β满足m⊥α，α⊥β，若m β，则m∥β，否则m β．故选B．
5【答案】C
【解析】由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥PC．∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°．故选C．
6【答案】D
【解析】如图，取AB的中点O，连接OC，易知OA⊥OC．过点O作OH垂直AC于H，连接SH，OS．∵SO⊥底面ABC，∴∠SHO为平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的平面角，可求得OH＝，SO＝，∴tan ∠SHO＝＝＝．故选D．
7【答案】C
【解析】如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l．设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°×sin 60°＝．
8【答案】90°
【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°．
9【答案】错误
【解析】如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A－C1D1－C为45°，二面角A－BC－C1为90°，则这两个二面角既不相等又不互补．
10证明：如图，连接OC，CB．因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．又因为PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以AC⊥PO．
因为OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD．
又因为AC 平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC．
11【答案】C
【解析】如图，因为E，F分别为棱PB，PD的中点，故EF为△PBD的中位线，所以EF∥BD，因为EF 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故A正确；由四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得PA⊥BD，而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，由EF∥BD，可得EF⊥平面PAC，故B正确；设AC∩BD＝O，连接PO交EF于点M，连接AM，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为PA＝AB＝AD，所以△PAB≌△PAD，所以AE＝AF，PB＝PD，因为EF∥BD，O为BD的中点，所以M为EF的中点，所以AM⊥EF，OM⊥EF，所以∠AMO为平面AEF与平面PBD的夹角，不妨设PB＝PD＝BD＝AB＝2，则AE＝AF＝AO＝1，所以AM＝MO＝PO＝，在△AMO中，cos∠AMO＝＝＝，所以∠AMO≠，所以平面PBD与平面AEF不垂直，故C错误；因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE，因为PA＝AB，E为PB中点，所以AE⊥PB，而PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选C．
12【答案】ACD
【解析】如图，连接CM，PM，由已知PM∥AB，AB∥DC，∴PM∥DC，∵PM＝DC，∴四边形CDPM是平行四边形，∴CM∥PD，若BC＝1，AA1＝，则tan ∠C1BC＝tan∠CMB＝，∴∠C1BC＝∠CMB，∴∠C1BC＋∠BCM＝∠CMB＋∠BCM＝90°，∴C1B⊥MC，∴C1B⊥PD，故A正确；连接EM，B1C，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，∵ND∥B1C，∴ME∥ND，∵ME＝ND＝A1D，∴四边形DEMN是平行四边形，∵CD∩平面DEMN＝D，D MN，MN 平面DEMN，∴MN与CD是异面直线，故B错误；∵MN∥DE，MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，∴MN∥平面C1DE，故C正确；若AB＝BC，则四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵CC1⊥BD，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD 平面ACC1A1，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1，故D正确．故选ACD．
13【答案】45° 90°
【解析】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°．因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．又因为∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°．
14【答案】60°
【解析】取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)．∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE．∵AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，∴BC⊥平面PAE．∵DE 平面PAE，∴BC⊥DE，∴∠AED为二面角D－BC－A的平面角．又由条件，知AE＝PE＝AB＝，AD＝PA＝，DE⊥PA，∴sin ∠AED＝＝．又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，即二面角D－BC－A的大小为60°．
15【答案】证明：(1)如图，连接KE，∵四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，∴CM∥AB，且CM＝AB，∴＝＝．
∵PK＝PA，∴PK＝KA．
∴＝，∴KE∥PC．
∵M，N分别是CD，PD的中点，
∴MN∥PC，∴KE∥MN，∴K，E，M，N四点共面．
(2)∵PA⊥底面ABCD，BM 底面ABCD，∴PA⊥BM．
∵AB＝6，AD＝6，M为CD中点，
∴CM＝3，AC＝6，BM＝3．
∴EM＝BM＝，CE＝AC＝2．
∴CE2＋EM2＝CM2，∴AC⊥BM．
∵PA⊥BM，且PA∩AC＝A，
∴BM⊥平面PAC．
又∵BM 平面BMNK，
∴平面PAC⊥平面BMNK．第八章 8.6 8.6.3 第2课时
A级——基础过关练
1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．l β D．平行或l β
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
3．（多选）如图，P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的有( )
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
4．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，且m β，n β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
7．（2023年长治期末）在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，则AD＝( )
A．3 B．2
C．4 D．2
8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是 Ｗ．
9．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 三角形．
10．(2023年吉安模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，E为PB的中点．求证：
(1)CE∥平面ADP；
(2)平面PAD⊥平面PAB．
B级——能力提升练
11．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的有( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是__________．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为__________，分别为______________________．
15．(2023年北京房山区期中)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
(1)求证：CD⊥MD；
(2)若EF＝EC，求证：平面NFC⊥平面NED．
答案
1【答案】D
【解析】如图，l∥β或l β．故选D．
2【答案】D
【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D．
3【答案】ABC
【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又因为PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC．
4【答案】D
【解析】因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．
5【答案】C
【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又因为CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1．故选C．
6【答案】D
【解析】A中，m与n可能相交、平行或异面，故A错误；B中，α与β相交或平行，故B错误；C中，α与β相交或平行，故C错误；D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．
7【答案】A
【解析】如图，设BC的中点为O，连接AO，DO．因为AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，故AO⊥BC，DO⊥BC，即∠AOD为二面角A－BC－D的平面角．因为平面ABC⊥平面BCD，故∠AOD＝90°．因为AO＝＝＝，OD＝2×＝，故AD＝＝＝3．故选A．
8【答案】平行
【解析】由题意知n⊥α，又因为m⊥α，所以m∥n．
9【答案】直角
【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．
10证明：(1)如图，取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且EF＝AB．∵CD∥AB，且CD＝AB，∴EF∥CD，且EF＝CD．∴四边形EFDC为平行四边形．∴CE∥DF．
∵DF 平面ADP，CE 平面ADP，
∴CE∥平面ADP．
(2)∵PC＝BC，E为PB的中点，
∴CE⊥PB．
∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PBC．
又∵CE 平面PBC，∴AB⊥CE．
又∵AB∩PB＝B，AB，PB 平面PAB，
∴CE⊥平面PAB．
由(1)知CE∥DF，∴DF⊥平面PAB．
又∵DF 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB．
11【答案】AC
【解析】根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交，不正确．故选AC．
12【答案】D
【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l AC⊥m，AB∥l AB∥β．故选D．
13【答案】45°
【解析】如图，过点A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADO＝45°．
14【答案】3 平面ABD和平面BCD，平面ABC和平面BCD，平面ACD和平面ABD
【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．
15证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，∴EF⊥FM，EF⊥FD．又∵FM∩FD＝F，∴EF⊥平面MFD．
又∵MD 平面MFD，∴EF⊥MD．
又∵EF∥CD，∴CD⊥MD．
(2)∵EF＝EC，四边形EFDC为矩形，
∴四边形EFDC为正方形．∴FC⊥ED．
∵平面MNEF⊥平面ECDF，NE⊥EF，NE 平面MNEF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，∴NE⊥平面ECDF．
∵FC 平面ECDF，∴FC⊥NE．
∵NE∩ED＝E，∴FC⊥平面NED．
又∵FC 平面NFC，
∴平面NFC⊥平面NED．
