吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2024高二下·朝阳开学考）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·朝阳开学考）在等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·朝阳开学考）若直线经过点 和圆C：的圆心，并且与直线垂直，则m的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
4．（2024高二下·朝阳开学考）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2024高二下·朝阳开学考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·朝阳开学考）下列命题正确的个数是（ ）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
③若共线，则与所在直线平行
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2024高二下·朝阳开学考）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·朝阳开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．（2024高二下·朝阳开学考）直线，圆，下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆必有两个交点
C．直线与圆的相交弦长的最大值为
D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
10．（2024高二下·朝阳开学考）数列中，，，若，都有恒成立，则（ ）
A．为等差数列 B．为等比数列
C． D．实数的最小值为
11．（2024高二下·朝阳开学考）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则周长的最小值等于3
C．若，则的最小值等于2
D．若，则的最小值等于
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·朝阳开学考）顶点在原点，焦点在y轴上，且过点的抛物线的标准方程是 .
13．（2024高二下·朝阳开学考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ．
14．（2024高二下·朝阳开学考）已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·朝阳开学考） 记为数列的前项和.
（1）若为等差数列，且，求的最小值；
（2）若为等比数列，且，求的值.
16．（2024高二下·朝阳开学考） 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程.
17．（2024高二下·朝阳开学考） 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
18．（2024高二下·朝阳开学考）已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
19．（2024高二下·朝阳开学考） 已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前n项和；
（3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：已知向量，且，
所以，，所以所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出m的值.
2．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，，，
则，则得，则公比.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立首项和公比的方程组，再解方程组得出首项和公比的值.
3．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：的圆心，半径r为2，
又因为直线经过点 和圆C：的圆心，
所以直线的方程为：，因为直线与直线垂直，
所以，，则m的值为-1.
故答案为：C.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再结合两点式得出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，再根据两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出m的值.
4．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线
所以，直线与直线平行，
又因为点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，
则的最小值为两平行直线的距离，所以，的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合两直线平行的判断方法，进而判断出两直线平行，再结合几何法得出的最小值为两平行直线的距离，再利用两平行直线的距离公式得出的最小值.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列的前项和，又因为，
所以，，所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的前n项和公式得出等差数列的首项和公差的关系式，再结合等差数列的前n项和公式和等差数列的首项和公差的关系式，进而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】解： 对于①，因为A，B，C，D是空间任意四点，
则，所以①对；
对于②，因为向量所在的直线为异面直线，
则向量可能共面，也可能不共面，所以②错；
对于③，因为共线，则与所在直线平行或重合，所以③错；
对于④，对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
若 (其中x、y、z∈R)，
当z+y+z=1时，则P、A、B、C四点共面；
当时，则P、A、B、C四点不共面，所以④错.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则、向量共面定理、向量共线定理、平行（共线）向量的定义、四点共面的判断方法，进而找出命题正确的个数.
7．【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图建立空间直角坐标系，
设，则则
因为所以，
所以，x-y+3=0，所以，点F的轨迹为上底面中的一条线段，
易知点F的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，
所以，动点F的轨迹长度为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，根据从而由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点F的轨迹方程，再结合线段的定义得出点F的轨迹为上底面中的一条线段，再结合图形得出端点坐标，再结合空间两点的距离公式得出动点的轨迹长度.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意如图所示：
设焦距为2c，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为，
因为则在中，，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第二象限，
因为所以，，
则，由双曲线的定义可知：，
由椭圆的的定义可知：，则，
则，则，则，又因为，解得，
所以，双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合共焦点的椭圆与双曲线的定义，从而推得椭圆和双曲线的离心率之间的关系式，进而求出双曲线的离心率的值.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，将直线l的方程转化为，令，
解得，所以直线l恒过定点(1，1），所以A对；
对于B，圆的方程转化为所以圆心C(2，0)，半径长为2，
而直线l恒过定点（1，1）到圆心的距离为，所以定点（1，1）在圆C内，所以直线l与圆C必有两个交点，
所以B对；
对于C，直线l与圆C相交，相交弦最长的是直径，所以相交弦长的最大值为4，所以C错；
当m=0时，直线l：y=1，圆心（2，0）到直线的距离为1，如图所示，
因为x轴与圆C的两个交点O，B到直线l的距离为1，又因为圆的半径为2，
所以，直线x=2与圆的交点A到直线l的距离为1，所以圆C上存在3个点到直线l的距离等于1，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用直线恒过定点的求解方法求出定点，从而判断出选项A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，从而判断出选项B；利用相交弦最长的是直径即可判断出选项C；利用圆心（2，0）到直线l的距离为1，再结合图形即可判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，B，根据题意可得
即可得出，所以，数列是公差为2的等差数列，所以A对，B错；
对于C，易知，所以，此时可得
即所以C对；
对于D，由不等式可得，即，
不妨设数列，则，
所以，
所以，当时，可得；
当时，可得；
即可得出即第8项的最大值为
所以，的最大值即可，即，即实数的最小值为，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】根据数列的递推公式以及结合等差数列的定义，进而证出数列是公差为2的等差数列，从而判断出选项A和选项B；再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而判断出选项C；再由不等式恒成立可得的最大值，再由数列的单调性，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由抛物线的标准方程可知抛物线的准线是x=-1，所以A错；
对于B，设点P到准线的距离为，点Q到准线的距离为，
当m=n=1时，三角形的周长
所以，三角形周长的最小值等于3，所以B对；
对于C，因为圆M：所以，点在圆M上，圆心为，
所以，则
所以，，所以，的最小值等于，所以C错；
设点F到直线的距离为，若m-n=-4，则在直线上，
所以所以，的最小值等于.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合抛物线的准线方程判断出选项A；利用m，n的值得出点Q的坐标，再结合三角形的周长公式和抛物线的定义和几何法，进而得出周长的最小值，从而判断出选项B；利用代入法和圆的标准方程得出点Q在圆上，再结合两点距离公式和几何法，进而得出的最小值，从而判断出选项C；利用点到直线的距离公式和点Q与直线的关系，再结合几何法得出的最小值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：因为顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线过点，
所以抛物线开口向上，所以，设抛物线的标准方程为：，
因为抛物线过点，所以，，所以，
则抛物线的标准方程为：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线顶点、焦点和点P的位置确定抛物线的标准方程，再结合代入法得出p的值，从而得出抛物线的标准方程.
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图，
连接，
则点E在上，点F在上，易知，且，
所以，，即，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合线线平行的性质和中点的性质，再结合向量共线定理得出实数的值.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：如图，
由可得，
因为点P满足即，所以点P在线段AB上，
又因为直线l：2x-2ay+3+a=0整理可得：
则易得直线l过定点，直线CB的斜率为
直线CA的斜率为又由直线l：2x-2ay+3-a=0知其斜率必然存在
（否则直线l：与线段AB无公共点），依题意，其斜率为，需满足
解得：所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两点距离公式三点共线的性质，进而得出点P在线段AP上，再结合直线恒过定点的性质和两点求斜率公式，进而结合几何法得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：设的公差为，
由条件可得，解得，
由，解得或，
且，所以的最小值为7.
（2）解：设的公比为，
由条件可得，即，解得，
则，
所以.
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式，从而建立关于首项和公差的方程组，再解方程组得出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列前n项和公式和一元二次不等式求解方法，进而得出m的取值范围再结合，进而得出m的最小值.
（2）利用已知条件和等比数列的通项公式，从而建立关于首项和公比的方程组，再解方程组得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式，进而得出的值.
16．【答案】（1）解：抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为
（2）解：设过抛物线焦点的直线方程为，联立 得：，设，则，根据焦点弦公式可得：，解得：，，所以直线方程为或
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而得出焦点坐标，再利用椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，进而得出椭圆右焦点坐标，从而得出c的值，再利用椭圆的离心率为和椭圆的离心率公式得出a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）利用已知条件，设出直线的点斜式方程和交点M，N的坐标，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和焦点弦公式，进而得出直线的斜率，从而得出直线的点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程.
17．【答案】（1）证明：∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，∴AE//OD，AE⊥平面ABC，
又平面ABC，，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．
又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE．
（2）解：以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，．
设平面ADE的法向量为，
则，即，
令，得，所以．
设平面CDE的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，进而证出线线垂直，再利用矩形的结构特征和线面垂直的性质定理，进而证出线线平行和线面垂直，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面BCD⊥平面ACE；
（2）利用已知条件，以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面ADE的法向量和平面CDE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面ADE和平面CDE夹角的余弦值.
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积
（3）解：由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，
因此
或，
对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和虚轴长的定义，从而建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程；
（2）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，进而证出点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）利用已知条件和双曲线的标准方程得出左顶点坐标和右焦点坐标，再设出点P的坐标，再结合双曲线的标准方程和代入法得出，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示以及，进而得出关于x的函数关系式，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值.
19．【答案】（1）解：因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，
当时，得到，即，
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
又时，，所以
（2）解：由（1）知，当时，，
当时，③，
④，
由③④得到，
整理得，
又时，，所以
（3）解：因为，等价于，当时.，
由（1）知，当时，，设，
则对恒成立，
所以，
故当时，，又，所以.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用作差法得出，又由，当时，得到，进而得出数列中第二项的值，再利用等比数列的定义判断出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式和首项求解方法，进而得出数列的通项公式；
（2）由（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法和检验法得出数列的前n项和；
（3）利用等价于，当时，得出实数的取值范围，由（1）知，当时，，设，再结合单调函数的定义和函数的单调性求最值的方法，进而得出f(n)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围.
1 / 1吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2024高二下·朝阳开学考）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：已知向量，且，
所以，，所以所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出m的值.
2．（2024高二下·朝阳开学考）在等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，，，
则，则得，则公比.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立首项和公比的方程组，再解方程组得出首项和公比的值.
3．（2024高二下·朝阳开学考）若直线经过点 和圆C：的圆心，并且与直线垂直，则m的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：的圆心，半径r为2，
又因为直线经过点 和圆C：的圆心，
所以直线的方程为：，因为直线与直线垂直，
所以，，则m的值为-1.
故答案为：C.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再结合两点式得出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，再根据两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出m的值.
4．（2024高二下·朝阳开学考）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线
所以，直线与直线平行，
又因为点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，
则的最小值为两平行直线的距离，所以，的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合两直线平行的判断方法，进而判断出两直线平行，再结合几何法得出的最小值为两平行直线的距离，再利用两平行直线的距离公式得出的最小值.
5．（2024高二下·朝阳开学考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列的前项和，又因为，
所以，，所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的前n项和公式得出等差数列的首项和公差的关系式，再结合等差数列的前n项和公式和等差数列的首项和公差的关系式，进而得出的值.
6．（2024高二下·朝阳开学考）下列命题正确的个数是（ ）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
③若共线，则与所在直线平行
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】解： 对于①，因为A，B，C，D是空间任意四点，
则，所以①对；
对于②，因为向量所在的直线为异面直线，
则向量可能共面，也可能不共面，所以②错；
对于③，因为共线，则与所在直线平行或重合，所以③错；
对于④，对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
若 (其中x、y、z∈R)，
当z+y+z=1时，则P、A、B、C四点共面；
当时，则P、A、B、C四点不共面，所以④错.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则、向量共面定理、向量共线定理、平行（共线）向量的定义、四点共面的判断方法，进而找出命题正确的个数.
7．（2024高二下·朝阳开学考）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图建立空间直角坐标系，
设，则则
因为所以，
所以，x-y+3=0，所以，点F的轨迹为上底面中的一条线段，
易知点F的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，
所以，动点F的轨迹长度为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，根据从而由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点F的轨迹方程，再结合线段的定义得出点F的轨迹为上底面中的一条线段，再结合图形得出端点坐标，再结合空间两点的距离公式得出动点的轨迹长度.
8．（2024高二下·朝阳开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意如图所示：
设焦距为2c，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为，
因为则在中，，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第二象限，
因为所以，，
则，由双曲线的定义可知：，
由椭圆的的定义可知：，则，
则，则，则，又因为，解得，
所以，双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合共焦点的椭圆与双曲线的定义，从而推得椭圆和双曲线的离心率之间的关系式，进而求出双曲线的离心率的值.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．（2024高二下·朝阳开学考）直线，圆，下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆必有两个交点
C．直线与圆的相交弦长的最大值为
D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，将直线l的方程转化为，令，
解得，所以直线l恒过定点(1，1），所以A对；
对于B，圆的方程转化为所以圆心C(2，0)，半径长为2，
而直线l恒过定点（1，1）到圆心的距离为，所以定点（1，1）在圆C内，所以直线l与圆C必有两个交点，
所以B对；
对于C，直线l与圆C相交，相交弦最长的是直径，所以相交弦长的最大值为4，所以C错；
当m=0时，直线l：y=1，圆心（2，0）到直线的距离为1，如图所示，
因为x轴与圆C的两个交点O，B到直线l的距离为1，又因为圆的半径为2，
所以，直线x=2与圆的交点A到直线l的距离为1，所以圆C上存在3个点到直线l的距离等于1，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用直线恒过定点的求解方法求出定点，从而判断出选项A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，从而判断出选项B；利用相交弦最长的是直径即可判断出选项C；利用圆心（2，0）到直线l的距离为1，再结合图形即可判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
10．（2024高二下·朝阳开学考）数列中，，，若，都有恒成立，则（ ）
A．为等差数列 B．为等比数列
C． D．实数的最小值为
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，B，根据题意可得
即可得出，所以，数列是公差为2的等差数列，所以A对，B错；
对于C，易知，所以，此时可得
即所以C对；
对于D，由不等式可得，即，
不妨设数列，则，
所以，
所以，当时，可得；
当时，可得；
即可得出即第8项的最大值为
所以，的最大值即可，即，即实数的最小值为，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】根据数列的递推公式以及结合等差数列的定义，进而证出数列是公差为2的等差数列，从而判断出选项A和选项B；再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而判断出选项C；再由不等式恒成立可得的最大值，再由数列的单调性，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·朝阳开学考）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则周长的最小值等于3
C．若，则的最小值等于2
D．若，则的最小值等于
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由抛物线的标准方程可知抛物线的准线是x=-1，所以A错；
对于B，设点P到准线的距离为，点Q到准线的距离为，
当m=n=1时，三角形的周长
所以，三角形周长的最小值等于3，所以B对；
对于C，因为圆M：所以，点在圆M上，圆心为，
所以，则
所以，，所以，的最小值等于，所以C错；
设点F到直线的距离为，若m-n=-4，则在直线上，
所以所以，的最小值等于.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合抛物线的准线方程判断出选项A；利用m，n的值得出点Q的坐标，再结合三角形的周长公式和抛物线的定义和几何法，进而得出周长的最小值，从而判断出选项B；利用代入法和圆的标准方程得出点Q在圆上，再结合两点距离公式和几何法，进而得出的最小值，从而判断出选项C；利用点到直线的距离公式和点Q与直线的关系，再结合几何法得出的最小值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·朝阳开学考）顶点在原点，焦点在y轴上，且过点的抛物线的标准方程是 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：因为顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线过点，
所以抛物线开口向上，所以，设抛物线的标准方程为：，
因为抛物线过点，所以，，所以，
则抛物线的标准方程为：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线顶点、焦点和点P的位置确定抛物线的标准方程，再结合代入法得出p的值，从而得出抛物线的标准方程.
13．（2024高二下·朝阳开学考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图，
连接，
则点E在上，点F在上，易知，且，
所以，，即，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合线线平行的性质和中点的性质，再结合向量共线定理得出实数的值.
14．（2024高二下·朝阳开学考）已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：如图，
由可得，
因为点P满足即，所以点P在线段AB上，
又因为直线l：2x-2ay+3+a=0整理可得：
则易得直线l过定点，直线CB的斜率为
直线CA的斜率为又由直线l：2x-2ay+3-a=0知其斜率必然存在
（否则直线l：与线段AB无公共点），依题意，其斜率为，需满足
解得：所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两点距离公式三点共线的性质，进而得出点P在线段AP上，再结合直线恒过定点的性质和两点求斜率公式，进而结合几何法得出实数a的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·朝阳开学考） 记为数列的前项和.
（1）若为等差数列，且，求的最小值；
（2）若为等比数列，且，求的值.
【答案】（1）解：设的公差为，
由条件可得，解得，
由，解得或，
且，所以的最小值为7.
（2）解：设的公比为，
由条件可得，即，解得，
则，
所以.
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式，从而建立关于首项和公差的方程组，再解方程组得出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列前n项和公式和一元二次不等式求解方法，进而得出m的取值范围再结合，进而得出m的最小值.
（2）利用已知条件和等比数列的通项公式，从而建立关于首项和公比的方程组，再解方程组得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式，进而得出的值.
16．（2024高二下·朝阳开学考） 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程.
【答案】（1）解：抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为
（2）解：设过抛物线焦点的直线方程为，联立 得：，设，则，根据焦点弦公式可得：，解得：，，所以直线方程为或
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而得出焦点坐标，再利用椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，进而得出椭圆右焦点坐标，从而得出c的值，再利用椭圆的离心率为和椭圆的离心率公式得出a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）利用已知条件，设出直线的点斜式方程和交点M，N的坐标，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和焦点弦公式，进而得出直线的斜率，从而得出直线的点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程.
17．（2024高二下·朝阳开学考） 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
【答案】（1）证明：∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，∴AE//OD，AE⊥平面ABC，
又平面ABC，，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．
又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE．
（2）解：以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，．
设平面ADE的法向量为，
则，即，
令，得，所以．
设平面CDE的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，进而证出线线垂直，再利用矩形的结构特征和线面垂直的性质定理，进而证出线线平行和线面垂直，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面BCD⊥平面ACE；
（2）利用已知条件，以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面ADE的法向量和平面CDE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面ADE和平面CDE夹角的余弦值.
18．（2024高二下·朝阳开学考）已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积
（3）解：由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，
因此
或，
对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和虚轴长的定义，从而建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程；
（2）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，进而证出点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）利用已知条件和双曲线的标准方程得出左顶点坐标和右焦点坐标，再设出点P的坐标，再结合双曲线的标准方程和代入法得出，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示以及，进而得出关于x的函数关系式，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值.
19．（2024高二下·朝阳开学考） 已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前n项和；
（3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，
当时，得到，即，
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
又时，，所以
（2）解：由（1）知，当时，，
当时，③，
④，
由③④得到，
整理得，
又时，，所以
（3）解：因为，等价于，当时.，
由（1）知，当时，，设，
则对恒成立，
所以，
故当时，，又，所以.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用作差法得出，又由，当时，得到，进而得出数列中第二项的值，再利用等比数列的定义判断出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式和首项求解方法，进而得出数列的通项公式；
（2）由（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法和检验法得出数列的前n项和；
（3）利用等价于，当时，得出实数的取值范围，由（1）知，当时，，设，再结合单调函数的定义和函数的单调性求最值的方法，进而得出f(n)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围.
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