浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二上·越城期末）已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．-11 B．-8 C．16 D．19
2．（2024高二上·越城期末）曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．5 B．4 C．-1 D．-2
3．（2024高二上·越城期末）如图，在四面体中，.点在上，且为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·越城期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
5．（2024高二上·越城期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·越城期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点位于第一象限，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·越城期末）若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·越城期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二上·越城期末）设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2024高二上·越城期末）已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．周长为6
B．的最大值为3
C．椭圆的离心率为
D．直线与的斜率的乘积为
11．（2024高二上·越城期末）已知数列满足，则数列（ ）
A．有可能是常数数列
B．有可能是等差数列
C．有可能是等比数列
D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列
12．（2024高二上·越城期末）已知正三棱柱的各棱长均等于是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成的角是
C．平面平面
D．与平面所成的角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·越城期末）函数的导数为 .
14．（2024高二上·越城期末）已知数列满足，则 .
15．（2024高二上·越城期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 .
16．（2024高二上·越城期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·越城期末）已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
18．（2024高二上·越城期末）已知经过原点的直线与圆相交于两点.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
19．（2024高二上·越城期末）记为等比数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20．（2024高二上·越城期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21．（2024高二上·越城期末）已知点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
22．（2024高二上·越城期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左 右顶点分别为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且满足，求的面积最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以数列是以4为首项，-3为公差的等差数列，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件得出数列是以4为首项，-3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：令，则，，故曲线在点处的切线的斜率.
故答案为：C.
【分析】根据导数的几何意义计算即可.
3．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以点为中点，
故.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量基本定理计算即可.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，此人每天走的步数构成等比数列，且公比为，
由题意，结合等比数列的求和公式可得，解得，故第二天走里.
故答案为：B.
【分析】由题可得此人每天走的步数构成等比数列，根据等比数列的求和公式求出首项，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设原点到直线的距离为d，则，
当时，有最大值，此时，
因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离公式表示原点到直线的距离，再化简利用基本不等式求函数最大值即可.
6．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知焦点，设，
因为，所以，即，
由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，消去化简整理可得，
由韦达定理可得：故，
解得，因为，且点A位于第一象限，所以，故的值为．
故答案为：A.
【分析】设，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合已知条件即可求解.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知双曲线渐近线为，因为双曲线的渐近线与圆有公共点，
所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，所以，即，所以．
故答案为：B.
【分析】先求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离大于半径求得和的关系，最后根据双曲线的离心率公式即可求得离心率的取值范围．
8．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，，解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故答案为：A.
【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可．
9．【答案】A,B,C
【知识点】余弦函数的性质；直线的斜率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以直线的斜率的取值范围是.
故答案为：ABC.
【分析】先求函数的导函数，根据函数的值域，即可得出直线的斜率的取值范围.
10．【答案】A,B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可知，，，
A、的周长为，故A正确；
B、易知点、，设点，则，其中，
则，
当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；
C、椭圆的离心率为，故C错误；
D、易知点、，则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据椭圆的定义即可判断A；利用椭圆的范围可求出的最大值，即可判断B；以椭圆的离心率公式即可判断C；利用斜率公式结合椭圆方程可求出直线与的斜率的乘积即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，即，
若对任意的，有且，则数列是公比为的等比数列，
若对任意的，有且，则数列是公差为的等差数列，
取数列各项为：、、、、、、，则数列满足条件，
此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对，
若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立，
由可得，可得，与矛盾，
故数列不可能是常数列，A错.
故答案为：BCD.
【分析】将已知等式变形为，利用反证法即可判断A；利用等差数列的定义即可判断B；利用等差数列的定义即可判断C；举特例即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：记线段的中点为，连接，
在正三棱柱，平面，
因为是边长为的等边三角形，则，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
A、，，所以，故，故A正确；
B、设平面的法向量为，
，，则，
取，则，，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，所以平面与平面的夹角为，故B错误；
C、设平面的法向量为，，，则，
取，则，，可得，则，所以，，故平面平面，故C正确；
D、，则，所以，与平面所成的角的正弦值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】记线段的中点为，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可.
13．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：令，则.
故答案为：.
【分析】根据基本初等函数的导数公式直接求导即可.
14．【答案】
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用裂项相消法求数列的前n项和即可.
15．【答案】10
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：曲线的几何意义为点到点与点的距离之和为，
由椭圆定义可知，在以与为焦点，与为上下顶点的椭圆上，故.
故答案为：.
【分析】由椭圆定义可知，均在椭圆上，结合椭圆性质即可求解.
16．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：易知，且平面的一个法向量为，
则，所以，解得，
因为，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据与平面的法向量垂直即可求出的值，再利用空间向量法求点到平面的距离即可.
17．【答案】（1）解：由导数公式得，
由复合函数求导法则得
（2）解：由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）利用初等函数的求导公式及复合函数求导法则求导即可；
（2）由（1）的结论，先分别求出和在点切线斜率再根据平行线斜率相等求参数即可.
18．【答案】（1）解：由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得
（2）解：设，直线方程为，联立，
整理可得，
所以，
由题意得，即，
因为，所以，即，
解得.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列式求解即可；
（2）设，直线方程为，联立直线与圆方程，消元整理，利用韦达定理，将直线斜率用坐标表示求解即可.
19．【答案】（1）解：当时，；
当时，，即，
所以等比数列的公比是4，所以，即，得，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，
从而
（2）解：由（1）知，，故.
则，
，
两式相减得，
，
故
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）当时，作差变形得，求得公比为4，再利用求得，最后利用等比数列通项公式求解即可；
（2）根据（1）可得，再利用错位相减法求和即可.
20．【答案】（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
因此.
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，设平面的法向量为，则
令，得是平面的一个法向量.
，设平面的法向量为，
则.
令，得是平面的一个法向量.
所以
.
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积为0进行证明即可；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量求面面角的余弦值即可.
21．【答案】（1）解：因为，由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
所以，，
所以动点的轨迹方程为：
（2）解：①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
所以；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，
代入双曲线方程可得：，
可知其有两个不等的正实数根
解得：，
所以
.
由得，
，
综上所述，的最小值为1.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线定义求轨迹方程即可；
（2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况讨论，当斜率不存在时求出；当斜率存在时，设直线方程为：，推出，即可求得的最小值.
22．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且，所以，
因为，所以，因此，
则，
所以椭圆的方程为
（2）解：若分别与两坐标轴垂直，则这两条直线中有一条与椭圆相切，不合题意.
所以，直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，
则直线，
联立得，
，
由，
所以，
则，
同理可得：，
所以的面积为：
因为，当且仅当时取等号，
所以，
从而
的面积取得最大值.
【知识点】基本不等式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出的值，根据可求的值，从而可得的值，即可得椭圆的方程；
（2）分析可知，直线、的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的横坐标，可求得，进而可求得，利用基本不等式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值.
1 / 1浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二上·越城期末）已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．-11 B．-8 C．16 D．19
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以数列是以4为首项，-3为公差的等差数列，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件得出数列是以4为首项，-3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可.
2．（2024高二上·越城期末）曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．5 B．4 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：令，则，，故曲线在点处的切线的斜率.
故答案为：C.
【分析】根据导数的几何意义计算即可.
3．（2024高二上·越城期末）如图，在四面体中，.点在上，且为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以点为中点，
故.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量基本定理计算即可.
4．（2024高二上·越城期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，此人每天走的步数构成等比数列，且公比为，
由题意，结合等比数列的求和公式可得，解得，故第二天走里.
故答案为：B.
【分析】由题可得此人每天走的步数构成等比数列，根据等比数列的求和公式求出首项，即可求解.
5．（2024高二上·越城期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设原点到直线的距离为d，则，
当时，有最大值，此时，
因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离公式表示原点到直线的距离，再化简利用基本不等式求函数最大值即可.
6．（2024高二上·越城期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点位于第一象限，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知焦点，设，
因为，所以，即，
由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，消去化简整理可得，
由韦达定理可得：故，
解得，因为，且点A位于第一象限，所以，故的值为．
故答案为：A.
【分析】设，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合已知条件即可求解.
7．（2024高二上·越城期末）若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知双曲线渐近线为，因为双曲线的渐近线与圆有公共点，
所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，所以，即，所以．
故答案为：B.
【分析】先求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离大于半径求得和的关系，最后根据双曲线的离心率公式即可求得离心率的取值范围．
8．（2024高二上·越城期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，，解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故答案为：A.
【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二上·越城期末）设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A,B,C
【知识点】余弦函数的性质；直线的斜率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以直线的斜率的取值范围是.
故答案为：ABC.
【分析】先求函数的导函数，根据函数的值域，即可得出直线的斜率的取值范围.
10．（2024高二上·越城期末）已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．周长为6
B．的最大值为3
C．椭圆的离心率为
D．直线与的斜率的乘积为
【答案】A,B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可知，，，
A、的周长为，故A正确；
B、易知点、，设点，则，其中，
则，
当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；
C、椭圆的离心率为，故C错误；
D、易知点、，则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据椭圆的定义即可判断A；利用椭圆的范围可求出的最大值，即可判断B；以椭圆的离心率公式即可判断C；利用斜率公式结合椭圆方程可求出直线与的斜率的乘积即可判断D.
11．（2024高二上·越城期末）已知数列满足，则数列（ ）
A．有可能是常数数列
B．有可能是等差数列
C．有可能是等比数列
D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，即，
若对任意的，有且，则数列是公比为的等比数列，
若对任意的，有且，则数列是公差为的等差数列，
取数列各项为：、、、、、、，则数列满足条件，
此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对，
若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立，
由可得，可得，与矛盾，
故数列不可能是常数列，A错.
故答案为：BCD.
【分析】将已知等式变形为，利用反证法即可判断A；利用等差数列的定义即可判断B；利用等差数列的定义即可判断C；举特例即可判断D.
12．（2024高二上·越城期末）已知正三棱柱的各棱长均等于是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成的角是
C．平面平面
D．与平面所成的角的正弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：记线段的中点为，连接，
在正三棱柱，平面，
因为是边长为的等边三角形，则，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
A、，，所以，故，故A正确；
B、设平面的法向量为，
，，则，
取，则，，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，所以平面与平面的夹角为，故B错误；
C、设平面的法向量为，，，则，
取，则，，可得，则，所以，，故平面平面，故C正确；
D、，则，所以，与平面所成的角的正弦值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】记线段的中点为，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·越城期末）函数的导数为 .
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：令，则.
故答案为：.
【分析】根据基本初等函数的导数公式直接求导即可.
14．（2024高二上·越城期末）已知数列满足，则 .
【答案】
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用裂项相消法求数列的前n项和即可.
15．（2024高二上·越城期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 .
【答案】10
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：曲线的几何意义为点到点与点的距离之和为，
由椭圆定义可知，在以与为焦点，与为上下顶点的椭圆上，故.
故答案为：.
【分析】由椭圆定义可知，均在椭圆上，结合椭圆性质即可求解.
16．（2024高二上·越城期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：易知，且平面的一个法向量为，
则，所以，解得，
因为，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据与平面的法向量垂直即可求出的值，再利用空间向量法求点到平面的距离即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·越城期末）已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【答案】（1）解：由导数公式得，
由复合函数求导法则得
（2）解：由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）利用初等函数的求导公式及复合函数求导法则求导即可；
（2）由（1）的结论，先分别求出和在点切线斜率再根据平行线斜率相等求参数即可.
18．（2024高二上·越城期末）已知经过原点的直线与圆相交于两点.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
【答案】（1）解：由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得
（2）解：设，直线方程为，联立，
整理可得，
所以，
由题意得，即，
因为，所以，即，
解得.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列式求解即可；
（2）设，直线方程为，联立直线与圆方程，消元整理，利用韦达定理，将直线斜率用坐标表示求解即可.
19．（2024高二上·越城期末）记为等比数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）解：当时，；
当时，，即，
所以等比数列的公比是4，所以，即，得，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，
从而
（2）解：由（1）知，，故.
则，
，
两式相减得，
，
故
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）当时，作差变形得，求得公比为4，再利用求得，最后利用等比数列通项公式求解即可；
（2）根据（1）可得，再利用错位相减法求和即可.
20．（2024高二上·越城期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
因此.
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，设平面的法向量为，则
令，得是平面的一个法向量.
，设平面的法向量为，
则.
令，得是平面的一个法向量.
所以
.
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积为0进行证明即可；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量求面面角的余弦值即可.
21．（2024高二上·越城期末）已知点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
所以，，
所以动点的轨迹方程为：
（2）解：①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
所以；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，
代入双曲线方程可得：，
可知其有两个不等的正实数根
解得：，
所以
.
由得，
，
综上所述，的最小值为1.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线定义求轨迹方程即可；
（2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况讨论，当斜率不存在时求出；当斜率存在时，设直线方程为：，推出，即可求得的最小值.
22．（2024高二上·越城期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左 右顶点分别为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且满足，求的面积最大值.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且，所以，
因为，所以，因此，
则，
所以椭圆的方程为
（2）解：若分别与两坐标轴垂直，则这两条直线中有一条与椭圆相切，不合题意.
所以，直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，
则直线，
联立得，
，
由，
所以，
则，
同理可得：，
所以的面积为：
因为，当且仅当时取等号，
所以，
从而
的面积取得最大值.
【知识点】基本不等式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出的值，根据可求的值，从而可得的值，即可得椭圆的方程；
（2）分析可知，直线、的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的横坐标，可求得，进而可求得，利用基本不等式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值.
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