广东省珠海市香洲区香樟中学2023-2024学年高一下学期数学开学收心练习试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·香洲开学考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·香洲开学考）设全集，，则CUA＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·香洲开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·香洲开学考）若，则（ ）
A．9 B．10 C． D．6
5．（2024高一下·香洲开学考）（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·香洲开学考）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（2024高一下·香洲开学考）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．（2024高一下·香洲开学考）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，．则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·香洲开学考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一下·香洲开学考）下列结论正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．，方程有实数根
C．是4的倍数
D．半径为3，且圆心角为的扇形的面积为
11．（2024高一上·南山期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A． B．为偶函数
C．为单调递增函数 D．的值域为
12．（2024高一下·香洲开学考）关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．最小正周期是
B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称
D．在区间上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·香洲开学考）已知且，则的最小值为 ．
14．（2024高一下·香洲开学考）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱．某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ．
15．（2024高一下·香洲开学考）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是 ．
16．（2024高一下·香洲开学考）化简： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·香洲开学考）已知集合，集合，
（1）求；
（2）求CU（A∪B）．
18．（2024高一下·香洲开学考）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明．
19．（2024高一下·香洲开学考）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
20．（2024高一下·香洲开学考）中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元（），则入住的房间数会相应减少x间．
（1）求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
（2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
21．（2024高一下·香洲开学考）已知函数，不等式的解集是．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围．
22．（2024高一下·香洲开学考）定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：为偶函数；
（3）求解不等式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：C.
【分析】由集合的补集运算求集合即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据分式、偶次根式有意义，列关于的不等式，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：C.
【分析】直接代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式结合特殊角的三角函数值求值即可.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为、都是自然数，若、都是偶数，则是偶数；
是偶数，则、都是偶数或、都是奇数；
故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，.
故答案为：D.
【分析】由题设可得，利用同角三角函数基本关系化弦为切代值求值即可.
8．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为指数函数单调递减，所以，
因为对数函数单调递增，所以，
因为单调递减，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较即可.
9．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、取，满足，但，故A错误；
B、；设
由不等式的性质可知：，即；故B正确；
C、当时，，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的性质与反例排除法逐项判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】命题的否定；扇形的弧长与面积；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定是“”，故A正确；
B、方程的判别式，则方程有实数根，故B正确；
C、当是偶数时，是奇数不是4的倍数；
当是奇数时，设，则，所以不是4的倍数，故C错误；
D、根据扇形的面积公式，可得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积计算公式选项分析判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，所以所以m=1，所以A对；
由选项A知m=1，则，
因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称，
又因为，所以函数为奇函数，所以B错；
由选项A知m=1，则，
则，
所以函数f(x)在R上为增函数，所以C对；
因为所以，所以函数的值域为R，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的值，从而得出幂函数的解析式，再结合奇函数和偶函数的定义判断、增函数的定义判断、函数的值域求解方法，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】C,D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、因为函数的对称中心为，所以的对称中心为，故B正确；
C、因为函数无对称轴，所以也无对称轴，故C错误；
D、因为函数的单调递增区间为 ，所以函数的单调递增区间为，即 ，故D错误．
故答案为：CD.
【分析】由函数的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，对函数逐项判断即可．
13．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，再根据基本不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得，即我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是.
故答案为：.
【分析】根据集合关系列方程组求解即可.
15．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由弧的长度为，则，所以，
则勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据弧长计算公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可.
17．【答案】（1）解：由题意，或，，
则．
（2）解：由（1）可知，或，
则．
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据集合的并集和补集运算求解即可.
18．【答案】（1）解：因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2．
（2）解：函数在上单调递增，证明如下：
令，则．
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义判断并证明即可.
19．【答案】（1）解：由题可知，，又，所以，
所以，
所以．
（2）解：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，从而可得函数的解析式，再将代入求值即可；
（2）整体代入，利用正弦函数的性质计算即可得函数的单调递增区间.
20．【答案】（1）解：由题意，且．
（2）解：由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得函数解析式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
21．【答案】（1）解：因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得．
所以．
（2）解：由，得，即．
令，
由题可知有解，即即可．
当时，，显然不合题意．
当时，图象的对称轴为直线．
①当时，在上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得．
综上，的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）由题意，将问题转化为一元二次方程的解，利用韦达定理，求，从而可得的解析式；
（2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题.
22．【答案】（1）解：令，可得，令，则．
（2）解：由于定义域为，关于原点对称，
令，可得为偶函数．
（3）解：令，设，则且，
由于，所以，
在上单调递减，
又为偶函数，
则在上单调递增，
由可得
或或，
故不等式的解集为或．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意，利用赋值法求值即可；
（2）根据函数的奇偶性定义证明即可；
（3）根据函数的单调性定义先判断函数的单调性，再结合的函数的奇偶性，列不等式求解即可.
1 / 1广东省珠海市香洲区香樟中学2023-2024学年高一下学期数学开学收心练习试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·香洲开学考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．（2024高一下·香洲开学考）设全集，，则CUA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：C.
【分析】由集合的补集运算求集合即可.
3．（2024高一下·香洲开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据分式、偶次根式有意义，列关于的不等式，求解即可.
4．（2024高一下·香洲开学考）若，则（ ）
A．9 B．10 C． D．6
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：C.
【分析】直接代入计算即可.
5．（2024高一下·香洲开学考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式结合特殊角的三角函数值求值即可.
6．（2024高一下·香洲开学考）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为、都是自然数，若、都是偶数，则是偶数；
是偶数，则、都是偶数或、都是奇数；
故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
7．（2024高一下·香洲开学考）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，.
故答案为：D.
【分析】由题设可得，利用同角三角函数基本关系化弦为切代值求值即可.
8．（2024高一下·香洲开学考）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，．则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为指数函数单调递减，所以，
因为对数函数单调递增，所以，
因为单调递减，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较即可.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·香洲开学考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、取，满足，但，故A错误；
B、；设
由不等式的性质可知：，即；故B正确；
C、当时，，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的性质与反例排除法逐项判断即可.
10．（2024高一下·香洲开学考）下列结论正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．，方程有实数根
C．是4的倍数
D．半径为3，且圆心角为的扇形的面积为
【答案】A,B
【知识点】命题的否定；扇形的弧长与面积；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定是“”，故A正确；
B、方程的判别式，则方程有实数根，故B正确；
C、当是偶数时，是奇数不是4的倍数；
当是奇数时，设，则，所以不是4的倍数，故C错误；
D、根据扇形的面积公式，可得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积计算公式选项分析判断即可.
11．（2024高一上·南山期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A． B．为偶函数
C．为单调递增函数 D．的值域为
【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，所以所以m=1，所以A对；
由选项A知m=1，则，
因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称，
又因为，所以函数为奇函数，所以B错；
由选项A知m=1，则，
则，
所以函数f(x)在R上为增函数，所以C对；
因为所以，所以函数的值域为R，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的值，从而得出幂函数的解析式，再结合奇函数和偶函数的定义判断、增函数的定义判断、函数的值域求解方法，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高一下·香洲开学考）关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．最小正周期是
B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称
D．在区间上单调递增
【答案】C,D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、因为函数的对称中心为，所以的对称中心为，故B正确；
C、因为函数无对称轴，所以也无对称轴，故C错误；
D、因为函数的单调递增区间为 ，所以函数的单调递增区间为，即 ，故D错误．
故答案为：CD.
【分析】由函数的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，对函数逐项判断即可．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·香洲开学考）已知且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，再根据基本不等式求解即可.
14．（2024高一下·香洲开学考）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱．某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ．
【答案】
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得，即我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是.
故答案为：.
【分析】根据集合关系列方程组求解即可.
15．（2024高一下·香洲开学考）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由弧的长度为，则，所以，
则勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据弧长计算公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可.
16．（2024高一下·香洲开学考）化简： ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·香洲开学考）已知集合，集合，
（1）求；
（2）求CU（A∪B）．
【答案】（1）解：由题意，或，，
则．
（2）解：由（1）可知，或，
则．
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据集合的并集和补集运算求解即可.
18．（2024高一下·香洲开学考）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明．
【答案】（1）解：因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2．
（2）解：函数在上单调递增，证明如下：
令，则．
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义判断并证明即可.
19．（2024高一下·香洲开学考）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）解：由题可知，，又，所以，
所以，
所以．
（2）解：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，从而可得函数的解析式，再将代入求值即可；
（2）整体代入，利用正弦函数的性质计算即可得函数的单调递增区间.
20．（2024高一下·香洲开学考）中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元（），则入住的房间数会相应减少x间．
（1）求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
（2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
【答案】（1）解：由题意，且．
（2）解：由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得函数解析式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
21．（2024高一下·香洲开学考）已知函数，不等式的解集是．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得．
所以．
（2）解：由，得，即．
令，
由题可知有解，即即可．
当时，，显然不合题意．
当时，图象的对称轴为直线．
①当时，在上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得．
综上，的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）由题意，将问题转化为一元二次方程的解，利用韦达定理，求，从而可得的解析式；
（2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题.
22．（2024高一下·香洲开学考）定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：为偶函数；
（3）求解不等式．
【答案】（1）解：令，可得，令，则．
（2）解：由于定义域为，关于原点对称，
令，可得为偶函数．
（3）解：令，设，则且，
由于，所以，
在上单调递减，
又为偶函数，
则在上单调递增，
由可得
或或，
故不等式的解集为或．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意，利用赋值法求值即可；
（2）根据函数的奇偶性定义证明即可；
（3）根据函数的单调性定义先判断函数的单调性，再结合的函数的奇偶性，列不等式求解即可.
1 / 1
