浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·湖州期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·湖州期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8 B．6 C．-6 D．-8
3．（2024高三上·湖州期末）已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·湖州期末）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数 第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
5．（2024高三上·湖州期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三上·湖州期末）记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2024高三上·湖州期末）在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·湖州期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2024高三上·湖州期末）下列结论中正确的是（ ）
A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
10．（2024高三上·湖州期末）已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．的最大值为1
11．（2024高三上·湖州期末）纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一 三分之一 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A．为的一条对称轴 B．的周期为
C．的最大值为 D．关于点中心对称
12．（2024高三上·湖州期末）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C．为定值3 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022高三上·岳阳月考）已知的展开式中含项的系数为8，则实数 .
14．（2024高三上·湖州期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程： .
15．（2024高三上·湖州期末）已知一个圆台的上 下底面半径为，若球与该圆台的上 下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 .
16．（2024高三上·湖州期末）已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17．（2024高三上·湖州期末）记的内角的对边分别是，已知，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
18．（2024高三上·湖州期末）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
19．（2024高三上·湖州期末）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
20．（2024高三上·湖州期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会 2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运 送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立 随机地从这名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
21．（2024高三上·湖州期末）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）求面积的最小值.
22．（2024高三上·湖州期末）已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为 集合 ，则.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查并集的运算，根据已知的集合A和集合B在根据并集的计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：根据：，可解得：，根据共轭复数的定义可得：则8.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查复数的计算及共轭复数的概念，根据题意可得：再根据共轭复数的概念求得进而得到答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，则
故 在上的投影向量是
故答案为：A.
【分析】本题主要考查向量的数量积计算、模长公式、及投影向量公式，根据已知条件，得到及再结合投影向量公式进行求解即可.
4．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：根据题意可得甲组、乙组数据均为6个，又得到第30百分位数为第二个数，故n=31，又
得到第50百分位数 是第三个和4个数据的平均数，即：解得：则71.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查百分位数的定义，利用百分位数的定义进行求解即可.
5．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：根据二倍角公式：可得：
解得：或者又，则
对于A选项：故A选项错误；
对于B选项：，故B选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；对于D选项：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角函数的倍角公式、诱导公式、同角三角函数的关系，根据题意结合二倍角公式及角的范围可得的值，再根据诱导公式、同角三角函数的关系即可求解.
6．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：若 为等差数列 ，则数列的前n项和，如果数列的前n项和，
则当且时，
所以
即，
故①-②得：即故数列为等差数列.，综上所述： 甲是乙的充要条件 .
故答案为：C.
【分析】本题主要考查数列的求和公式及根据等差数列的求和公式即可甲是乙的充分条件，再利用及已知条件可得到：从而判定必要性，即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：如图：
连结BD，交AC于O，连结AQ，交PO于G，∵，∴且PG=2GO，根据正四棱锥的性质可得：故点G为的重心，∴Q为AC的中点，
∵为正三角形又 四棱锥 为正四棱锥，∴且，∴平面PAC，
又平面PAC，故∵∴且故平面AMQN，
∵在正四棱锥中 ，AB=2，∴则
故四棱锥的体积是
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正四棱锥的结构特征、体积公式、线面垂直的判定、三角形的重心的判定及性质，连结BD，交AC于O，连结AQ，交PO于G，根据题意可得：G为的重心，则Q为AC的中点，进而得到：从而可证明平面AMQN，然后再根据棱锥的体积公式进行计算即可求解.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项： 在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，
则为原来的两倍，故A选项正确；
对于B选项： 随机变量服从正态分布 ，则，又，则故B选项正确；
对于C选项： 若所有样本点都在直线上 ， 则这组样本数据的样本相关系数为1，则C选项错误；
对于D选项：分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，则事件表示为“两枚结果相同”，
则则有事件M，N是相互独立事件，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查独立性实验、正态分布、相关系数等基础知识，根据的计算公式即可判定A选项，由正态分布和方差的性质即可判定B选项，根据相关系数的定义即可判定C选项，由相互独立事件的定义即可判定D选项.
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据：，可得：即对于A选项：当且仅当，即时取等号，故A选项正确；
对于B选项：当且仅当，即时取等号，但是此时：与b为正数相矛盾，故B选项错误；
对于C选项：令则时，令可解得：
即故当时当时故在上单调递增，在上单调递减，故当时有最大值故 的最小值为 ，则C选项正确；
对于D选项：令则
故在（0，1]上单调递增，则又时取等号，但是此时：与b为正数相矛盾，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查基本不等式的运用、利用导数求最值，对已知条件进行变形可得：带入AB选项的整式中，通过基本不等式即可判定AB选项，再将带入C选项可得：令通过求导后判定其单调性即可求解，D选项参照C选项的方法即可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：根据题意可得：对于A选项：
则所以
则不是的一条对称轴，对于B选项：
则 的周期为 ，故B选项正确；
对于C选项：
则，
又因为故的周期为，
故只需考虑在上的最大值即可，令可解得：或或者或者
令得：或者或者
故在和和和上单调递增，在和和上单调递减，
又因为
则 的最大值为 ，即C选项正确；
对于D选项：，
则，
即则 关于点中心对称 ，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查三角函数的综合运用，根据题意可得：即可判定A选项；根据题即可判定B选项，结合三角函数的恒等变换，利用导数研究函数的单调性即可判定C选项；根据题意可得：即可判定D选项.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 点在抛物线上， 所以解得：
则抛物线 ：的准线方程为，故A选项正确；
设直线AB的方程为：将点，点代入直线的方程可得：解得：
则直线AB的方程：联立直线AB和抛物线C的方程可得：消去y可得：
则故 直线与相切 ，则B选项正确；
对于C选项：当过点的直线斜率不存在时，直线与抛y轴重合，此时直线与物线只有一个交点，不符合题意，当直线存在时，可设过点的直线方程为：联立直线和抛物线C的方程可得：消去y可得：
设 两点的坐标分别为则由韦达定理可得：
则故故C选项错误；
对于D选项：由C选项可得：
则则，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质、直线与抛物线的综合问题，将点A的坐标代入抛物线的方程，即可求出p的值，在根据抛物线的准线方程即可求解判定A选项；利用待定系数法求出直线AB的方程，联立直线AB的方程及抛物线的方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后利用判别式即可判定B选项，对于C选项，设出过点B的直线方程再联立抛物线方程，消去y得到关系x的一元二次方程，设 两点的坐标分别为由韦达定理得到的值即可判定C选项；再利用C的的条件结合距离公式即可判定D选项.
13．【答案】3
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为：3
【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：因为 圆的圆心在直线 ，可设圆C的圆心坐标为又圆C与y轴相切，则半径，
故圆C的方程为：令a=-1，可得满足上述条件的一个圆的方程为：，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】本题主要考查圆的标准方程，根据题意设出圆心坐标，再根据与y轴相切得出半径，即可写出圆的方程，然后再赋值即可求解.
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：根据题意作出圆台的轴截面，如图所示：
E为切点，DF为圆柱的高，根据切线长定理可得：DE则圆台的母线：所以圆台的高：则球O的半径
又因为 球与该圆台体积比为， 则化简可得：方程两边同时除以，
可得：解得：或3（舍去）.
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆台及其内切球的性质、圆台、秋的体积公式，根据题意作出圆台的轴截面，然后根据题意可求得圆台的母线长，进而可求得圆台的高，再根据球与圆台的体积之比即可求解.
16．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点满足， 则点A、B、C三点共线，故可设点C的坐标为
由题意可得：则则可设故
又以为直径的圆交直线于点，所以即故所以：
又因为P，B，N三点共线，故即故即
又点P在双曲线上，所以即
故所以双曲线的离心率
故答案为：.
【分析】本题主要考查双曲线的离心率、共线向量、圆的几何性质、直线垂直斜率的关系，设点C的坐标为在结合题意可设在根据题意可得再根据进一步求出关系式，进而可求得的关系，再根据点P在双曲线上得出a，b，c的关系，即可求解.
17．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：，
，
由余弦定理：
化简得：
所以.
（2）解：由正弦定理：，
所以
则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理得运用.
（1）根据正弦定理结合已知等式可得：，再根据余弦定理进一步化简可得：三边a，b，c的关系，再运用余弦定理即可求解；
（2）根据已知条件结合（1）可得：，再运用三角形的面积公式即可求解.
18．【答案】（1）解：令，则，得，
令，则，又，所以，
即.所以，
由得，.两式相减得，
即，
且，所以是首项为-2，公比为2的等比数列，
所以，因此
（2）解：由可得
.
累加可得，
，
而
，
因此
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等式数列的基本性质、数列前 前项和为 通项公式的的关系及分组求和的运用.
（1）根据已知条件，通过对n进行赋值可求得及d，从而可得数列的通项公式，进而得到，再根据进行求解即可；
（2）结合（1）和题意可得：，然后运用累加法可求得 数列的通项公式，根据数列的通项公式知道其由等比数列和等差数列两部分组成，然后分组运用等比数列和等差数列的求和公式进行求和即可.
19．【答案】（1）解：过点作的垂线，交于点，
则.连接，则，且由，
所以，又因为，
，所以，平面
且平面
所以平面平面，
又因为，
所以平面
（2）解：如图：以点D为原点，分别以DC，DB，DE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则则设平面的法向量为
则由，解得.
所以，
解得.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行的判定、运用向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）过点作的垂线，交于点，根据线段成比例及线面平行的判定定理可证得平面，再根据面面平行的判定得到平面平面，根据面面平行的性质即可求证；
（2）以点D为原点，分别以DC，DB，DE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，写出相关点坐标，设平面的法向量为，求得，然后利用公式：进行求解即可.
20．【答案】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
.
解得
（2）解：，
记.由
解得，又，
所以时取最大值.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率公式及概率运用.
（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件，根据题意可得：然后根据相互独立事件概率公式可得关于N的等式，解出N进行求解即可；
（2）根据题意可得：，记，然后解不等式求出N的取值范围即可求解.
21．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
设，直线的斜率分别为，
设直线为，与椭圆联立，
，
，
代入可得，所以直线与的斜率之积为定值.
（2）解：设，则，又点到直线的距离是
由解得，同理.所以，
故，设，则，由题意得，
化简得，解得或，故，
故等号成立当仅当，或者.
所以面积的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线相交中的定值问题及面积最值问题.
（1）根据题意列出关于a，c的方程组，解出a，c的值，进而求得椭圆的标准方程，设，直线的斜率分别为，设直线为，带入椭圆的方程，然后利用韦达定理得到然后利用斜率公式计算并将韦达定理得到的表达式代入化简即可求解；
（2）设，则，根据点A到直线的距离求得，从而得到，再计算点A到直线的MN的距离，再根据计算出面积的表达式，然后再转化为一元函数后，利用判别式法求出最值即可.
22．【答案】（1）解：因为，则的定义域为，
进一步化简得：
令，则在上单调递增，
且，所以时，时，
要使得单调递增，则在上恒成立
当时，恒成立
当时，，当时，，不合题意
当时，，当时，，不合题意
综上：.
（2）解：由（1）可得且，极值点为与1，
所以
令
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即成立.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间、利用导数求函数的极值.
（1）根据题意先求得函数的定义域，再对函数求得其导函数，然后令，然后分、、三种情况进行讨论即可求解；
（2）由（1）可得且，极值点为与1，故化简后构造新的函数，再利用导数确定其单调性后证得即可求解.
1 / 1浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·湖州期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为 集合 ，则.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查并集的运算，根据已知的集合A和集合B在根据并集的计算即可求解.
2．（2024高三上·湖州期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8 B．6 C．-6 D．-8
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：根据：，可解得：，根据共轭复数的定义可得：则8.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查复数的计算及共轭复数的概念，根据题意可得：再根据共轭复数的概念求得进而得到答案.
3．（2024高三上·湖州期末）已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，则
故 在上的投影向量是
故答案为：A.
【分析】本题主要考查向量的数量积计算、模长公式、及投影向量公式，根据已知条件，得到及再结合投影向量公式进行求解即可.
4．（2024高三上·湖州期末）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数 第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：根据题意可得甲组、乙组数据均为6个，又得到第30百分位数为第二个数，故n=31，又
得到第50百分位数 是第三个和4个数据的平均数，即：解得：则71.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查百分位数的定义，利用百分位数的定义进行求解即可.
5．（2024高三上·湖州期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：根据二倍角公式：可得：
解得：或者又，则
对于A选项：故A选项错误；
对于B选项：，故B选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；对于D选项：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角函数的倍角公式、诱导公式、同角三角函数的关系，根据题意结合二倍角公式及角的范围可得的值，再根据诱导公式、同角三角函数的关系即可求解.
6．（2024高三上·湖州期末）记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：若 为等差数列 ，则数列的前n项和，如果数列的前n项和，
则当且时，
所以
即，
故①-②得：即故数列为等差数列.，综上所述： 甲是乙的充要条件 .
故答案为：C.
【分析】本题主要考查数列的求和公式及根据等差数列的求和公式即可甲是乙的充分条件，再利用及已知条件可得到：从而判定必要性，即可得到答案.
7．（2024高三上·湖州期末）在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：如图：
连结BD，交AC于O，连结AQ，交PO于G，∵，∴且PG=2GO，根据正四棱锥的性质可得：故点G为的重心，∴Q为AC的中点，
∵为正三角形又 四棱锥 为正四棱锥，∴且，∴平面PAC，
又平面PAC，故∵∴且故平面AMQN，
∵在正四棱锥中 ，AB=2，∴则
故四棱锥的体积是
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正四棱锥的结构特征、体积公式、线面垂直的判定、三角形的重心的判定及性质，连结BD，交AC于O，连结AQ，交PO于G，根据题意可得：G为的重心，则Q为AC的中点，进而得到：从而可证明平面AMQN，然后再根据棱锥的体积公式进行计算即可求解.
8．（2024高三上·湖州期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2024高三上·湖州期末）下列结论中正确的是（ ）
A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项： 在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，
则为原来的两倍，故A选项正确；
对于B选项： 随机变量服从正态分布 ，则，又，则故B选项正确；
对于C选项： 若所有样本点都在直线上 ， 则这组样本数据的样本相关系数为1，则C选项错误；
对于D选项：分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，则事件表示为“两枚结果相同”，
则则有事件M，N是相互独立事件，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查独立性实验、正态分布、相关系数等基础知识，根据的计算公式即可判定A选项，由正态分布和方差的性质即可判定B选项，根据相关系数的定义即可判定C选项，由相互独立事件的定义即可判定D选项.
10．（2024高三上·湖州期末）已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．的最大值为1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据：，可得：即对于A选项：当且仅当，即时取等号，故A选项正确；
对于B选项：当且仅当，即时取等号，但是此时：与b为正数相矛盾，故B选项错误；
对于C选项：令则时，令可解得：
即故当时当时故在上单调递增，在上单调递减，故当时有最大值故 的最小值为 ，则C选项正确；
对于D选项：令则
故在（0，1]上单调递增，则又时取等号，但是此时：与b为正数相矛盾，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查基本不等式的运用、利用导数求最值，对已知条件进行变形可得：带入AB选项的整式中，通过基本不等式即可判定AB选项，再将带入C选项可得：令通过求导后判定其单调性即可求解，D选项参照C选项的方法即可求解.
11．（2024高三上·湖州期末）纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一 三分之一 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A．为的一条对称轴 B．的周期为
C．的最大值为 D．关于点中心对称
【答案】B,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：根据题意可得：对于A选项：
则所以
则不是的一条对称轴，对于B选项：
则 的周期为 ，故B选项正确；
对于C选项：
则，
又因为故的周期为，
故只需考虑在上的最大值即可，令可解得：或或者或者
令得：或者或者
故在和和和上单调递增，在和和上单调递减，
又因为
则 的最大值为 ，即C选项正确；
对于D选项：，
则，
即则 关于点中心对称 ，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查三角函数的综合运用，根据题意可得：即可判定A选项；根据题即可判定B选项，结合三角函数的恒等变换，利用导数研究函数的单调性即可判定C选项；根据题意可得：即可判定D选项.
12．（2024高三上·湖州期末）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C．为定值3 D．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 点在抛物线上， 所以解得：
则抛物线 ：的准线方程为，故A选项正确；
设直线AB的方程为：将点，点代入直线的方程可得：解得：
则直线AB的方程：联立直线AB和抛物线C的方程可得：消去y可得：
则故 直线与相切 ，则B选项正确；
对于C选项：当过点的直线斜率不存在时，直线与抛y轴重合，此时直线与物线只有一个交点，不符合题意，当直线存在时，可设过点的直线方程为：联立直线和抛物线C的方程可得：消去y可得：
设 两点的坐标分别为则由韦达定理可得：
则故故C选项错误；
对于D选项：由C选项可得：
则则，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质、直线与抛物线的综合问题，将点A的坐标代入抛物线的方程，即可求出p的值，在根据抛物线的准线方程即可求解判定A选项；利用待定系数法求出直线AB的方程，联立直线AB的方程及抛物线的方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后利用判别式即可判定B选项，对于C选项，设出过点B的直线方程再联立抛物线方程，消去y得到关系x的一元二次方程，设 两点的坐标分别为由韦达定理得到的值即可判定C选项；再利用C的的条件结合距离公式即可判定D选项.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022高三上·岳阳月考）已知的展开式中含项的系数为8，则实数 .
【答案】3
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为：3
【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
14．（2024高三上·湖州期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程： .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：因为 圆的圆心在直线 ，可设圆C的圆心坐标为又圆C与y轴相切，则半径，
故圆C的方程为：令a=-1，可得满足上述条件的一个圆的方程为：，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】本题主要考查圆的标准方程，根据题意设出圆心坐标，再根据与y轴相切得出半径，即可写出圆的方程，然后再赋值即可求解.
15．（2024高三上·湖州期末）已知一个圆台的上 下底面半径为，若球与该圆台的上 下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：根据题意作出圆台的轴截面，如图所示：
E为切点，DF为圆柱的高，根据切线长定理可得：DE则圆台的母线：所以圆台的高：则球O的半径
又因为 球与该圆台体积比为， 则化简可得：方程两边同时除以，
可得：解得：或3（舍去）.
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆台及其内切球的性质、圆台、秋的体积公式，根据题意作出圆台的轴截面，然后根据题意可求得圆台的母线长，进而可求得圆台的高，再根据球与圆台的体积之比即可求解.
16．（2024高三上·湖州期末）已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点满足， 则点A、B、C三点共线，故可设点C的坐标为
由题意可得：则则可设故
又以为直径的圆交直线于点，所以即故所以：
又因为P，B，N三点共线，故即故即
又点P在双曲线上，所以即
故所以双曲线的离心率
故答案为：.
【分析】本题主要考查双曲线的离心率、共线向量、圆的几何性质、直线垂直斜率的关系，设点C的坐标为在结合题意可设在根据题意可得再根据进一步求出关系式，进而可求得的关系，再根据点P在双曲线上得出a，b，c的关系，即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17．（2024高三上·湖州期末）记的内角的对边分别是，已知，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：，
，
由余弦定理：
化简得：
所以.
（2）解：由正弦定理：，
所以
则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理得运用.
（1）根据正弦定理结合已知等式可得：，再根据余弦定理进一步化简可得：三边a，b，c的关系，再运用余弦定理即可求解；
（2）根据已知条件结合（1）可得：，再运用三角形的面积公式即可求解.
18．（2024高三上·湖州期末）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
【答案】（1）解：令，则，得，
令，则，又，所以，
即.所以，
由得，.两式相减得，
即，
且，所以是首项为-2，公比为2的等比数列，
所以，因此
（2）解：由可得
.
累加可得，
，
而
，
因此
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等式数列的基本性质、数列前 前项和为 通项公式的的关系及分组求和的运用.
（1）根据已知条件，通过对n进行赋值可求得及d，从而可得数列的通项公式，进而得到，再根据进行求解即可；
（2）结合（1）和题意可得：，然后运用累加法可求得 数列的通项公式，根据数列的通项公式知道其由等比数列和等差数列两部分组成，然后分组运用等比数列和等差数列的求和公式进行求和即可.
19．（2024高三上·湖州期末）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
【答案】（1）解：过点作的垂线，交于点，
则.连接，则，且由，
所以，又因为，
，所以，平面
且平面
所以平面平面，
又因为，
所以平面
（2）解：如图：以点D为原点，分别以DC，DB，DE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则则设平面的法向量为
则由，解得.
所以，
解得.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行的判定、运用向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）过点作的垂线，交于点，根据线段成比例及线面平行的判定定理可证得平面，再根据面面平行的判定得到平面平面，根据面面平行的性质即可求证；
（2）以点D为原点，分别以DC，DB，DE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，写出相关点坐标，设平面的法向量为，求得，然后利用公式：进行求解即可.
20．（2024高三上·湖州期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会 2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运 送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立 随机地从这名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
【答案】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
.
解得
（2）解：，
记.由
解得，又，
所以时取最大值.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率公式及概率运用.
（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件，根据题意可得：然后根据相互独立事件概率公式可得关于N的等式，解出N进行求解即可；
（2）根据题意可得：，记，然后解不等式求出N的取值范围即可求解.
21．（2024高三上·湖州期末）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
设，直线的斜率分别为，
设直线为，与椭圆联立，
，
，
代入可得，所以直线与的斜率之积为定值.
（2）解：设，则，又点到直线的距离是
由解得，同理.所以，
故，设，则，由题意得，
化简得，解得或，故，
故等号成立当仅当，或者.
所以面积的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线相交中的定值问题及面积最值问题.
（1）根据题意列出关于a，c的方程组，解出a，c的值，进而求得椭圆的标准方程，设，直线的斜率分别为，设直线为，带入椭圆的方程，然后利用韦达定理得到然后利用斜率公式计算并将韦达定理得到的表达式代入化简即可求解；
（2）设，则，根据点A到直线的距离求得，从而得到，再计算点A到直线的MN的距离，再根据计算出面积的表达式，然后再转化为一元函数后，利用判别式法求出最值即可.
22．（2024高三上·湖州期末）已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）解：因为，则的定义域为，
进一步化简得：
令，则在上单调递增，
且，所以时，时，
要使得单调递增，则在上恒成立
当时，恒成立
当时，，当时，，不合题意
当时，，当时，，不合题意
综上：.
（2）解：由（1）可得且，极值点为与1，
所以
令
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即成立.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间、利用导数求函数的极值.
（1）根据题意先求得函数的定义域，再对函数求得其导函数，然后令，然后分、、三种情况进行讨论即可求解；
（2）由（1）可得且，极值点为与1，故化简后构造新的函数，再利用导数确定其单调性后证得即可求解.
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