第六章 6.3 6.3.2、3、4
A级——基础过关练
1．(多选)下列说法正确的有( )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
3．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
4．(2023年陕西模拟)已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋3b)∥(a－b)，则实数λ的值为( )
A． B．
C． D．
5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
6．(2023年赣州月考)已知向量a，b满足2a－b＝(0，3)，a－2b＝(－3，0)，λa＋μb＝(－1，1)，则λ＋μ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．(2023年银川期末)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t(t∈R)，当t＝－时，此时P点( )
A．落在x轴上 B．落在y轴上
C．落在一、三象限的角平分线上 D．落在二、四象限的角平分线上
8．(2023年阆中月考)已知在 ABCD中，＝(2，6)，＝(－4，4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝__________．
9．已知A(2，－3)，B(8，3)，若＝2，则点C的坐标为__________．
10．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°．
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
B级——能力提升练
11．已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为( )
A．(0，4) B．(2，－2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
12．(多选)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是( )
A．直线OC与直线BA平行 B．＋＝
C．＋＝ D．＝－2
13．向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(1，2)，则|a|＝__________；若向量a，b不能作为一组基底，则tan θ＝__________．
14．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7，9)，则向量＝__________．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
答案
1【答案】ABD
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误．
2【答案】D
【解析】因为＝(4，2)，＝(3，4)，所以2＋＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
3【答案】C
【解析】由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－．故选C．
4【答案】C
【解析】因为向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，所以a＋3b＝(9，2－6λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)．因为(a＋3b)∥(a－b)，所以9(2＋2λ)－(－7)(2－6λ)＝0，解得λ＝．故选C．
5【答案】D
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝．设D(x，y)，则有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，即解得因此D点坐标为(7，－6)．
6【答案】B
【解析】∵2a－b＝(0，3)，∴4a－2b＝(0，6)①．∵a－2b＝(－3，0)②，由①－②，得3a＝(3，6)，即a＝(1，2)，同理，b＝(2，1)．又∵λa＋μb＝(λ＋2μ，2λ＋μ)＝(－1，1)，即解得∴λ＋μ＝1＋(－1)＝0．故选B．
7【答案】D
【解析】∵＝(3，3)，＝(1，2)，t＝－，∴＝(1，2)－(3，3)＝，且O为原点，∴P点落在二、四象限的角平分线上．故选D．
8【答案】(1，－5)
【解析】由于在 ABCD中，＝(2，6)，＝(－4，4)，所以＝＋＝(－2，10)，所以＝－＝(1，－5)．
9【答案】(6，1)
【解析】设C(x，y)，∵A(2，－3)，B(8，3)，＝2，∴(x－2，y＋3)＝2(8－x，3－y)＝(16－2x，6－2y)．∴解得∴点C的坐标为(6，1)．
10解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6．
∴A(2，6)，＝(2，6)．
(2)由(1)知A(2，6)，
∴＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
11【答案】B
【解析】∵a＝(，1)，∴－2a＝(－2，－2)．易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，b在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2，－2)．故选B．
12【答案】ACD
【解析】因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又因为直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为＋＝≠，所以B错误；因为＋＝(0，2)＝，所以C正确；因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确．
13【答案】1
【解析】∵a＝(sin θ，cos θ)，∴|a|＝＝1．∵向量a，b不能作为一组基底，∴a∥b，则2sinθ－cos θ＝0，得tan θ＝．
14【答案】
【解析】设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即解得因此＝．
15解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)．
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以
两式相减，得m－n＝y0－x0．
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1．第六章 6.1
A级——基础过关练
1．下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)下列说法中，正确的有( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
3．下面几个命题正确的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．若|a|＝0，则a＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量a，b满足
则a＝b
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
5．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．＝
7．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是__________(填序号)．
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝__________．
10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||．
B级——能力提升练
11．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的有( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝__________．
14．如果在一个边长为5的等边三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，那么向量长度的最小值为__________．
15．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
答案
1【答案】B
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2【答案】ABC
【解析】很明显选项A，B，C正确．共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3【答案】A
【解析】A正确．B错误，|a|＝0，则a＝0．C错误，a与b的方向不一定相同．D错误，a与b的方向有可能相反．
4【答案】A
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
5【答案】B
【解析】因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．
6【答案】D
【解析】由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠．故选D．
7【答案】D
【解析】∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即||＝||．又∵与同向，∴＝．
8【答案】①③④
【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
9【答案】
【解析】因为正方形的对角线长为2，所以||＝．
10解：(1)与相等的向量有，．
(2)与共线的向量有，，，，，，．
(3)若||＝1.5，
则||＝||＝||＋||＝2||＝3．
11【答案】D
【解析】由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝．
12【答案】ABC
【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D错误．
13【答案】0
【解析】因为A，B，C不共线，所以与不共线．又因为m与，都共线，所以m＝0．
14【答案】
【解析】根据题意，在等边三角形ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为等边三角形ABC的高，为．
15解：(1)＝＝，＝＝．
(2)与共线的向量：，，，．
(3)与的模相等的向量：＝＝＝＝＝＝＝．
(4)向量与长度相等，但方向相反，因此向量与不相等．第六章 6.2 6.2.1
A级——基础过关练
1．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的有( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
2．下列各式中运算的结果与向量共线的有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝__________．
9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__________．
10．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
B级——能力提升练
11．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
12．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|＞|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|＜||＋||
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是__________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2．
14．如图，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________．
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
答案
1【答案】ABD
【解析】在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝．
2【答案】D
【解析】由向量加法法则可知都对．
3【答案】A
【解析】因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，所以a＋b与a同向．
4【答案】B
【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．又|a＋b|＝2 km．故选B．
5【答案】B
【解析】由正六边形知＝，所以＋＋＝＋＋＝，所以|＋＋|＝||＝2．故选B．
6【答案】ACD
【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
7【答案】C
【解析】设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝．
8【答案】
【解析】利用平行四边形法则求解．
9【答案】1
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为||＝1，所以||＝1，所以|＋|＝||＝1．
10证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0．
11【答案】AC
【解析】∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
12【答案】D
【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|＜||＋||．
13【答案】①②③
【解析】如图，以AB，AC为邻边作 ABDC，因为∠A＝90°，所以 ABDC为矩形，所以AD＝BC，所以|＋|＝||＝||，所以①正确；因为|＋|＝|＋|＝||＝||，所以②正确；由勾股定理知||2＋||2＝||2，所以③正确．
14【答案】120°
【解析】因为＋＝，所以四边形APBC是平行四边形．又因为P为△ABC的外心，所以||＝||＝||．因此∠ACB＝120°．
15解：如图，作 OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．
设向量，分别表示两根绳子的拉力，
则表示物体所受的重力，且||＝300 N．
所以||＝||cos 30°＝150(N)，
||＝||cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．第六章 6.2 6.2.2
A级——基础过关练
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向 B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的有( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
3．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－．结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
5．如图，向量a－b等于( )
A．3e1－e2 B．e1－3e2
C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2
6．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝__________．
9．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__________．(用a，b，c表示)
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．
B级——能力提升练
11．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
12．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的有( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
13．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5，15]，则a＝__________，b＝__________．
14．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|的值为__________．
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b．求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
答案
1【答案】C
【解析】a－b必定与a或b是平行向量．
2【答案】ABD
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，－＝0，－＝＋＝，＋＝＋＝0．－＝．A，B，D正确．
3【答案】D
【解析】①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0．
4【答案】B
【解析】如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b．
5【答案】B
【解析】如图，设a－b＝，则＝e1－3e2，∴a－b＝e1－3e2．故选B．
6【答案】C
【解析】由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3．故选C．
7【答案】D
【解析】因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝＋，－＝，即＝．故点P在边AC所在的直线上．
8【答案】0 2
【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又因为a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1．因为a与－b共线，所以|a－b|＝2．
9【答案】a－b＋c
【解析】由题意，在平行四边形ABCD中，＝－＝a－b．所以＝＝a－b．所以＝＋＝a－b＋c．
10解：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b；
作向量＝a，则＝a－b＋a．
11【答案】C
【解析】以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C．
12【答案】ABD
【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|．故A，B，D均正确．
13【答案】10 5
【解析】因为a－b＝|||－|||≤|－|＝||≤||＋||＝a＋b，所以解得
14【答案】5或9
【解析】当a与b方向相同时，|a－b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．
15证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB．又因为M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM．
(1)因为－＝，
又因为||＝||，所以|a－b|＝|a|．
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，
因为||＝||，
所以|a＋(a－b)|＝|b|．第六章 6.2 6.2.3
A级——基础过关练
1．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的有( )
A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的有( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
3．(2023年乌鲁木齐模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A． B．
C．－ D．－
5．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
6．在△ABC中，若＋＝2，则等于( )
A．－＋ B．－
C．－ D．－＋
7．(2023年重庆模拟)设a，b不共线，＝a－nb，＝ma＋b(n，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．m＝n B．mn－1＝0
C．mn＋1＝0 D．m＋n＝0
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__________．
9．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ，则实数λ＝__________．
10．化简：
(1)－2；
(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．
B级——能力提升练
11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的有( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( )
A．＋＝3＋3 B．＋＝3－3
C．＋＝2＋4 D．＋＝2－4
13．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是__________．
14．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝__________．
15．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？请说明理由．
答案
1【答案】ABC
【解析】对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．
2【答案】ABD
【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误．故选ABD．
3【答案】D
【解析】若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则存在实数λ，使m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴解得k＝．故选D．
4【答案】A
【解析】(方法一)由＝2，可得－＝2(－) ＝＋，所以λ＝．故选A．
(方法二)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝．故选A．
5【答案】C
【解析】由条件可知＝－，所以AB∥CD．又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
6【答案】C
【解析】由＋＝2，得＝(＋)，所以＝＋＝－(＋)＋＝－．
7【答案】C
【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线．∵a，b不共线，∴≠0，∴存在λ，使＝λ，即ma＋b＝λa－nλb，∴∴mn＋1＝0．故选C．
8【答案】－4
【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
9【答案】
【解析】因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝．
10解：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．
(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．
11【答案】AB
【解析】对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0，得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
12【答案】D
【解析】如图，Rt△ABC中，其中∠B为直角，则垂心H与B重合．∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点．又∵M为BC的中点，∴＝2．∵M为BC的中点，∴＋＝2＝2(＋)＝2(2＋)＝4＋2＝2－4．故选D．
13【答案】2∶3
【解析】因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2．所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3．
14【答案】－2
【解析】直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋．又因为＝m＋n，所以m＝－，n＝，故m－n＝－－＝－2．
15(1)证明：当a＝，b＝时，＝＋，所以(－)＝(－)，即2＝．所以与共线．
又因为与有公共点C，所以A，B，C三点共线．
(2)解：a＋b为定值1．理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥．
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ．
又因为＝a＋b，且，不共线，则
所以a＋b＝1(定值)．第六章 6.2 6.2.4
A级——基础过关练
1．(2023年怀仁期末)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，它们的夹角为，则|a＋b|＝( )
A．10 B．
C． D．13
2．(2023年宁波期中)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且2a＋4b＝3c，则a·c＝( )
A．－ B．
C． D．－
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝( )
A． B．
C．6 D．4＋2
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
5．(2023年宁波月考)已知△ABC中，D是BC的中点，且|＋|＝|－|，||＝||，则向量在上的投影向量为( )
A． B．
C．－ D．－
6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__________．
9．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．
10．(2023年杭州模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝．
(1)求(2a＋b)·(a－b)的值；
(2)求2a＋b与a－b的夹角的余弦值．
B级——能力提升练
11．(2023年贵州模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．若点P满足＝2，则·＝( )
A．0 B．
C． D．
12．(多选)(2023年武汉期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有( )
A．－＝ B．·＝||2
C．在上的投影向量为 D．＋＝
13．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．
14．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为__________；|2a－b|＝__________．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
答案
1【答案】C
【解析】因为|a|＝，|b|＝2，它们的夹角为，所以a·b＝|a||b|cos ＝3，所以|a＋b|＝＝＝＝．故选C．
2【答案】A
【解析】∵2a＋4b＝3c，∴4b＝3c－2a，∴16b2＝9c2＋4a2－12a·c．∵a，b，c均为单位向量，∴16＝9＋4－12a·b，∴a·b＝－．故选A．
3【答案】C
【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋2＋·＝×4＋×4＋2×2×＝6．故选C．
4【答案】ACD
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故D错．故只有选项B正确．故选ACD．
5【答案】A
【解析】|＋|＝|－|，则两边同时平方可得，·＝0，即∠A＝90°，D是BC的中点，令||＝||＝m，则∠ACB＝30°，||＝2m，即∠ABC＝60°，向量在上的投影向量为×＝×＝．故选A．
6【答案】C
【解析】∵|a|＝4，|b|＝6，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝32－72＋3a·b＝－4．∴a·b＝12．∴cos 〈a，b〉＝＝．又∵0≤〈a，b〉≤π
，∴〈a，b〉＝．故选C．
7【答案】D
【解析】由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
8【答案】
【解析】由a·b＝0，得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos ＝0，解得k＝．
9【答案】3
【解析】|2a－b|＝ (2a－b)2＝10 4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10 |b|＝3．
10解：(1)根据题意，向量|a|＝2，|b|＝1，a·b＝，
则(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝8－－1＝．
(2)设2a＋b与a－b的夹角为θ，
(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝19，
则|2a＋b|＝，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4，
则|a－b|＝2，
故cos θ＝＝．
11【答案】B
【解析】由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝－．∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴·＝0，∴·＝·(－)＝·－·＝．故选B．
12【答案】BCD
【解析】对于A，－＝＝，A错误；对于B，∠FAD＝60°，则·＝||×||×cos 60°＝||2，B正确；对于C，在上的投影向量为||·cos 60°＝，C正确；对于D，＋＝＋＋＋＝，D正确．故选BCD．
13【答案】－
【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b．∴a·b＝－|b|2．∴cos 〈a，b〉＝＝＝－．
14【答案】 2
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2．
15解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，由＝2，得＝，＝＝－．
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18．
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2＝36－·－18＝18－·．
又因为·＝6，所以18－·＝6．
所以·＝36．设与的夹角为θ，
又因为·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝．
所以与夹角的余弦值为．第六章 6.3 6.3.1
A级——基础过关练
1．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
3．(多选)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量能作为基底的有( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2
C．e1＋3e2和e2＋3e1 D．3e1－2e2和4e2－6e1
4．(2023年重庆模拟)在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记＝a，＝b，用a，b表示为( )
A．a＋b B．－a＋2b
C．2a－b D．a＋b
5．如图，在正方形ABCD中，点E满足＝，点F满足＝2，那么＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．＋
6．(2023年新干一模)在△ABC中，＝λ，E为CD的中点，＝－＋，则λ＝( )
A．2 B．1
C． D．
7．若点D在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A． B．
C． D．
8．(2023年南京模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋tb与(3t－2)a＋b的方向相反，则实数t的值为__________．
9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝__________．
10．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示．
B级——能力提升练
11．(多选)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m，n，me1＋ne2一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
12．(2023年济南模拟)已知等腰直角三角形ABC中，A＝，M，N分别是边AB，BC的中点，若＝s＋t，其中s，t为实数，则s＋t＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
13．在△ABC中，D为AC上的一点，满足＝．若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为_________；＋的最小值为_________．
14．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝__________．
15．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
答案
1【答案】A
【解析】＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2【答案】A
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ．因为2＝x＋y，所以消去λ，得x＋y－2＝0．
3【答案】ABC
【解析】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e2不共线．而4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则根据向量共线定理可得(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)，根据基底的条件，选项D不符合题意．A，B，C均可．故选ABC．
4【答案】D
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋·＝＋＋，∴＝＋，即＝＋＝a＋b．故选D．
5【答案】C
【解析】＝＋＋＝－＋＋＝－＋．故选C．
6【答案】A
【解析】根据题意，＝λ，E为CD的中点，＝－＋，则＝(＋)＝＋×＝－＋×(－)＝－，由＝，且＝，得λ＝2．故选A．
7【答案】C
【解析】因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s．所以r＝，s＝－．所以3r＋s＝－＝．
8【答案】－
【解析】∵a＋tb与(3t－2)a＋b共线，∴a＋tb＝λ[(3t－2)a＋b]，∴(3tλ－2λ－1)a＋(λ－t)b＝0．∵a，b不共线，∴解得t＝λ＝1或t＝λ＝－．当t＝1时，a＋b与a＋b同向，不符合题意；当t＝－时，a－b与－3a＋b反向，符合题意．
9【答案】2a－b
【解析】＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b．
10解：因为D是BC边的四等分点，
所以＝＝(－)．
所以＝＋＝＋(－)＝＋．
11【答案】AC
【解析】选项B中应为“平面内任一向量”．选项D中，m，n应是唯一的．A，C正确．
12【答案】D
【解析】如图，根据题意得联立①②消去，得＝－－．又∵＝s＋t，∴根据平面向量基本定理，解得s＝－，t＝－，∴s＋t＝－2．故选D．
13【答案】 16
【解析】因为＝，所以＝4．所以＝m＋n＝m＋4n．因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤＝，则mn≤，即mn最大值为，当且仅当m＝4n时取等号；＋＝(m＋4n)＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等
号．
14【答案】
【解析】因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝．
15解：(1)因为AN＝AB，
所以＝＝a．
所以＝－＝a－b．
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b．
所以＝＋＝a＋b．
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥．
设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b．
因为D，O，N三点共线，所以∥．
所以存在实数μ，使＝μ，则λa＋b＝μ．
由于向量a，b不共线，
则解得
所以＝，＝．
所以AO∶OM＝3∶11＝．第六章 6.3 6.3.5
A级——基础过关练
1．(2023年武汉期中)已知向量a＝(1，1)，b＝(8，－6)，则|2a－b|的值为( )
A．12 B．10
C．8 D．6
2．已知平面向量a＝(2，1)，b＝(2，4)，则向量a，b夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．－
3．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是AB中点，点P在BC边上，若·＝，则·＝( )
A．2＋ B．3＋
C．1＋ D．3－
4．已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于( )
A． B．2
C．3 D．4
5．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
6．(2023年商丘月考)已知向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，则a·b＋|a|＝( )
A．29 B．－29
C．24 D．－24
7．(多选)(2023年韶关期中)已知向量a＝(1，x)，b＝(x，4)，则( )
A．当x＝2时，a∥b B．当x＝2时，a⊥b
C．当x＝0时，〈a，b〉＝ D．当|a|＝2时，|b|＝3
8．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝__________．
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为__________．
10．在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
B级——能力提升练
11．(2023年山西模拟)已知向量a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈(0，2π)．若a·b＝|a|，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A． B．
C． D．
13．如图，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足·＝0，则向量的坐标为__________．
14．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，)．若|b|＝2，且b∥a，则向量b的坐标为____________；若|c|＝，且(a＋c)⊥(2a－3c)，则a·c＝__________．
15．(2023年沈阳期中)已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)．
(1)当(a＋2b)⊥(2a－b)，且x＞0时，求|a＋b|；
(2)当c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)时，求向量a与b的夹角α．
答案
1【答案】B
【解析】∵a＝(1，1)，b＝(8，－6)，∴2a－b＝(－6，8)，∴|2a－b|＝＝10．故选B．
2【答案】B
【解析】∵a＝(2，1)，b＝(2，4)，∴cos 〈a，b〉＝＝＝．故选B．
3【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系．由已知可得，A(0，0)，B(2，0)，C(2，)，D(0，)，E(1，0)，设P(2，a)(0≤a≤)，则＝(0，－)，＝(2，a－)，＝(1，－)．
所以·＝－(a－)＝，解得a＝－1，所以＝(2，－1)．
所以·＝1×2＋(－)×(－1)＝2＋．故选A．
4【答案】D
【解析】已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则＝，解得m＝－4．∴2a＋3b＝(－4，4＋3m)＝(－4，－8)，|2a＋3b|＝＝4．故选D．
5【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)．
6【答案】D
【解析】向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，∴a·b＋|a|＝(－4，3)·(2，－7)＋5＝－24．故选D．
7【答案】AC
【解析】x＝2时，b＝2a，∴a∥b，A正确，B错误；x＝0时，a·b＝0，∴a⊥b，〈a，b〉＝，C正确；|a|＝2时，x2＋1＝4，x2＝3，∴|b|＝＝，D错误．故选AC．
8【答案】－1或2
【解析】已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0．根据向量数量积的坐标运算公式得到x2－x－2＝0 x＝－1或2．
9【答案】19
【解析】ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19．
10解：∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，解得k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，解得k＝．
综上所述，k的值为－或或．
11【答案】B
【解析】由a·b＝|a|，得cos θ＋sin θ＝＝，则cos2θ＋2sin2θ＋2sinθcos θ＝3cos2θ＋3sin2θ，即2cos2θ＋sin2θ＝2sinθcos θ，两边同时除以cos2θ得，tan2θ－2tanθ＋2＝0，∴(tan θ－)2＝0，∴tan θ＝．故选B．
12【答案】C
【解析】以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1．因为M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)．所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋．因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是．
13【答案】
【解析】根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，＝(1，1)，＝(cos θ，sin θ)．由·＝0得sin θ＋cos θ＝0，则tan θ＝－1，所以θ＝，cos ＝－，sin ＝．所以＝．
14【答案】(1，)或(－1，－) 2
【解析】令b＝λa＝(λ，λ)．因为|b|＝2，所以＝2，解得λ＝±1．所以b＝(1，)或(－1，－)．因为(a＋c)⊥(2a－3c)，所以(a＋c)·(2a－3c)＝0，即2|a|2－a·c－3|c|2＝0．所以a·c＝2|a|2－3|c|2＝2×4－3×2＝2．
15解：(1)∵(a＋2b)⊥(2a－b) (a＋2b)·(2a－b)＝0，
a＋2b＝(3＋2x，0)，2a－b＝(6－x，5)，∴(3＋2x)(6－x)＋0×5＝0，
解得x＝6或x＝－(舍去)．
∴|a＋b|＝＝．
(2)∵b＋c＝(x－8，－2)，a∥(b＋c)，
∴3×(－2)－2(x－8)＝0，解得x＝5，
∴b＝(5，－1)．
∴cos α＝＝＝＝，
∴α＝．第六章 6.4 6.4.1、2
A级——基础过关练
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
3．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于( )
A．0 B．
C．2 D．2
4．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
6．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．(多选)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20，15)移到点B(7，0)．其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量，下列结论正确的有( )
A．F1对该质点做的功为－28
B．F2对该质点做的功为23
C．F1，F2的合力为F＝5i－4j
D．F1，F2的合力F对该质点做的功为－5
8．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则y与x的函数关系式为__________．
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是__________．
10．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
B级——能力提升练
11．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A处所受力的大小为( )
A．(120－50)N B．(150－50)N
C．(120－50)N D．(150－50)N
12．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
13．如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为__________．
14．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为__________，力F做的功为__________．
15．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．
答案
1【答案】C
【解析】由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．
2【答案】B
【解析】|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10．当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．
3【答案】C
【解析】如图，a＋b＝c，则|a－b＋c|＝|2a|．又∵|a|＝1，∴|a－b＋c|＝2．故选C．
4【答案】D
【解析】由题意作出示意图(如图)，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°．
5【答案】A
【解析】由题意可知对应向量如图所示．由于α＝60°，∴F2的大小为|F合|·sin 60°＝10×＝5 N．故选A．
6【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，则＝(1，t)，＝(－1，t)．由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．
7【答案】ABCD
【解析】＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，所以WF1＝F1·＝－13－15＝－28，A正确；WF2＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23，B正确；F＝F1＋F2＝(5，－4)，C正确；WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5，D正确．
8【答案】y＝－x＋2
【解析】·＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，则y＝－x＋2．
9【答案】30
【解析】＝－＝(3，6)＝，又因为·＝(4，－2)·(3，6)＝0，所以四边形ABCD为矩形．又因为||＝＝2，||＝＝3，所以S＝||×||＝2×3＝30．
10解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b．而||＝|a－b|＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝．又因为||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
11【答案】B
【解析】如图，由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角．设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝G＝100①，且|Fa|·sin 45°＝|Fb|sin 60°②．由①②解得|Fa|＝150－50．故选B．
12【答案】AC
【解析】选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2·，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量和，记它们的差是向量，则当·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上．同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C，＋是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而||是该平行四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．选项D，由·＝·得·－·＝0，∴·(－)＝0，即·＝0，∴⊥．同理可证⊥，⊥．∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．
13【答案】(3，3)
【解析】设P(x，y)，＝(4，4)，＝(x，y)．由于∥，所以x－y＝0．＝(－2，6)，＝(x－4，y)，由于∥，所以6(x－4)＋2y＝0．可得x＝3，y＝3，故点P的坐标是(3，3)．
14【答案】25e 1 000 J
【解析】∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60° e＝25e．∵力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．
15解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得
－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥．
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．第六章 6.4 6.4.3 第1课时
A级——基础过关练
1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则c等于( )
A．2 B．3
C．4 D．9
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝ab，则∠C＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A． B．8－4
C．1 D．
6．在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1＜a＜3 B．1＜a＜5
C．＜a＜ D．不确定
7．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b的值可以是( )
A．2 B．3
C．4 D．2
8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝__________．
9．在△ABC中，边a，b，c满足a＋b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为__________．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有( )
A．a2＝b2＋c2－2bc cos A B．cos B＝
C．a＝b cos C＋c cos B D．a cos B＋b cos A＝sin C
12．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是( )
A．(1，7) B．(1，5)
C．(，5) D．(，5)
13．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为__________．
14．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C＋c＝2b，则∠A＝__________，△ABC的周长的取值范围是__________．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)·cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
答案
1【答案】B
【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3．
2【答案】A
【解析】由余弦定理知()2＝a2＋b2－2ab cos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1．故选A．
3【答案】C
【解析】∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，则由余弦定理可得，cos C＝＝－．∵0＜C＜180°，∴C＝120°．故选C．
4【答案】C
【解析】由＞0，得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
5【答案】A
【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4．由余弦定理，得a2＋b2－c2＝2ab cos C＝2ab cos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝．
6【答案】C
【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜．若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞．故＜a＜．
7【答案】AC
【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
8【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
9【答案】3
【解析】a＋b＝6，∠C＝120°，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时取等号．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝(a＋b)2－ab＝36－ab≥36－9＝27，∴c≥3，则边c的最小值为3．
10解：由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝．
设所求的中线长为x，由余弦定理知x2＝＋AB2－2··AB cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7．
所以所求中线长为7．
11【答案】ABC
【解析】在A中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正确；在B中，由余弦定理的推论，得cos B＝，故B正确；在C中，a＝b cos C＋c cos B a＝b×＋c× 2a2＝2a2，故C正确；在D中，a cos B＋b cos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误．故选ABC．
12【答案】C
【解析】∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，∴cos A＝＞0，且cos C＝＞0．∴7＜a2＜25，
∴＜a＜5．
13【答案】4
【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝．根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×＝16，∴c＝4，即第三边长为4．
14【答案】 (2，3]
【解析】a＝1，2cos C＋c＝2b，∴2×＋c＝2b，整理可得，b2＋c2－1＝bc，即b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．∵b2＋c2－1＝bc，∴(b＋c)2＝3bc＋1≤3×＋1．∴b＋c≤2．∵b＋c＞a＝1，∴2＜a＋b＋c≤3，即△ABC的周长范围为(2，3]．
15解：(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin A·cos B＝0，即有sin A sin B－sin A cos B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0．
又因为cos B≠0，所以tan B＝．
又因为0＜B＜π，所以B＝．
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2ac cos B．
因为a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝3＋．
又因为0＜b＜1，
所以≤b2＜1，即≤b＜1．
