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人教新版八年级下册《第17章 勾股定理》单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选：C．
2．把命题“如果x＝y，那么＝”作为原命题，对原命题和它的逆命题是否成立进行判断，下列说法正确的是（ ）
A．原命题和逆命题都成立
B．原命题和逆命题都不成立
C．原命题成立，逆命题不成立
D．原命题不成立，逆命题成立
【解答】解：如果x＝y，当x＝y是负数时，没有算术平方根，所以原命题是假命题；
命题“如果x＝y，那么”的逆命题是如果，那么x＝y，是真命题；
故选：D．
3．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【解答】解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，
∴AC＝＝5，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，
∴BC＝＝12．
故选：C．
4．分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝2：3：4 B．a＝，b＝，c＝2
C．a＝8，b＝15，c＝17 D．a＝b＝5，c＝5
【解答】解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、82+152＝172，故能构成直角三角形，符合题意；
D、52+52≠（5）2，故不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
5．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【解答】解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，
∴AD2＝100﹣36＝64，
∴AD＝8，
∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2＝πAD2＝8π．
故选：B．
6．如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣﹣2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣+2
【解答】解：∵如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，
∴BC＝＝＝．
∴a＝﹣+2．
故选：D．
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
8．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝32，
∴a2+2ab+b2＝32，
∵大正方形的面积为20，
2ab＝32﹣20＝12，
∴小正方形的面积为20﹣12＝8．
故选：B．
9．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
【解答】解：如图，∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
过A作AD⊥BC于D，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2，
∴52﹣BD2＝72﹣（8﹣BD）2，
解得：BD＝，
∴AD＝＝，
∴△ABC的面积＝10，
故选：C．
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如果三角形三边长为5、m、n，且（m+n）（m﹣n）＝25，那么此三角形的形状是 直角三角形 ．
【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝25，
∴m2﹣n2＝25，
∴m2+52＝n2，
∴此三角形形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
12．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： “如果m是有理数，那么它是整数” ．
【解答】解：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．
故答案为“如果m是有理数，那么它是整数”．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 17 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
14．若直角三角形的各边长扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是 直角三角形 ．
【解答】解：设原直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
则，直角三角形的各边扩大n倍后直角三角形的两直角边长为na、nb，斜边长为nc．
在原直角三角形中，由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
即：n2a2+n2b2＝n2（a2+b2）＝n2c2，
根据勾股定理的逆定理可得：
扩大后的三角形是直角三角形，
所以，得到的三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
15．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ 10或 ．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x＝＝10，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x＝＝2；
故答案为：10或2．
16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 27 ．
【解答】解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3，
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
17．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 2 cm．
【解答】解：将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC，则AC+B′C′为所求的最短细线长，
∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝cm，
∴B′C′2＝BB′2+C′B2＝73，
∴B′C′＝（cm），
∴AC+B′C′＝2（cm），
答：所用细线最短长度是2cm，
故答案为：2．
18．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为 5或7 ．
【解答】解：∵AD为BC边上的高，
∴△ABD为Rt△ABD，
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，
∴BD＝＝＝6，
如图1所示，当点D在BC上时，
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
如图2所示，当点D在BC的延长线上时，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7或5．
三、解答题（共46分）
19．（6分）在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）AB＝＝10，
AC＝＝5，
CB＝＝5，
∵52+102＝（5）2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）△ABC的面积＝AB AC＝10×5＝25．
20．（6分）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？
【解答】解：由题意可知：AC+BC＝8米，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
又∵AB＝4米，
∴AC＝3米，BC＝5米，
∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，
∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，
∴AB′＝＝6米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
21．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路
（2）设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
22．（8分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝4，
∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝4，
∴AC×BC＝8，
AB＝＝＝2．
23．（8分）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB＝1，BC＝2，CD＝2，DE＝3，AE＝4，求五边形ABCDE的面积．
【解答】解：连接AC、AD．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵AB＝1，BC＝2，
∴由勾股定理：AC＝＝＝，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∵DE＝3，AE＝4，
∴由勾股定理：AD＝＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+20＝25＝AD2，
∴由勾股定理的逆定理可得：△ACD是直角三角形，
∠ACD＝90°，
∴S五边形ABCDE＝S△ABC+S△ACD+S△AED＝×AB×BC+×AC×CD+×AE×ED
＝1+5+6＝12，
∴五边形ABCDE的面积为12．
24．（10分）已知n组正整数：
第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
【解答】解：（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这n组正整数符合规律m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．
若m2﹣1＝71，则m2＝72，此时m不符合题意；
若2m＝71，则m＝35.5，此时m不符合题意；
若m2+1＝71，则m2＝70，此时m不符合题意．
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．
因为（m2﹣1） 2+（2m） 2＝m4+2m2+1＝（m2+1） 2，
所以若一个三角形三边长分别为m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，m2﹣1，m2+1均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
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人教新版八年级下册《第17章 勾股定理》单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
2．把命题“如果x＝y，那么＝”作为原命题，对原命题和它的逆命题是否成立进行判断，下列说法正确的是（ ）
A．原命题和逆命题都成立
B．原命题和逆命题都不成立
C．原命题成立，逆命题不成立
D．原命题不成立，逆命题成立
3．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
4．分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝2：3：4 B．a＝，b＝，c＝2
C．a＝8，b＝15，c＝17 D．a＝b＝5，c＝5
5．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
6．如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣﹣2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣+2
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
8．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如果三角形三边长为5、m、n，且（m+n）（m﹣n）＝25，那么此三角形的形状是 ．
12．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
14．若直角三角形的各边长扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是 ．
15．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ ．
16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．
17．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm．
18．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为 ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
20．（6分）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？
21．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
22．（8分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
23．（8分）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB＝1，BC＝2，CD＝2，DE＝3，AE＝4，求五边形ABCDE的面积．
24．（10分）已知n组正整数：
第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
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