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（基础篇）初中数学人教版七年级下学期同步分层作业5.3平行线的性质
一．选择题（共4小题）
1．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【解答】解：∵m∥n，
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
而∠1＝105°，
∴∠2＝180°﹣105°＝75°．
故选：D．
2．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
【解答】解：∵∠CEF＝85°，
∴∠DEF＝180°﹣∠CEF＝180°﹣85°＝95°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DEF＝95°，
故选：B．
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．三角形三个内角的和等于180o
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．如果a2＝b2，则a＝b
【解答】解：三角形三个内角的和等于180o，故A是真命题，不符合题意；
两直线平行，同位角相等，故B是真命题，不符合题意；
对顶角相等，故C是真命题，不符合题意；
如果a2＝b2，则a＝±b，故D是假命题，符合题意；
故选：D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．五边形的外角和等于360°
D．相等的两个角是对顶角
【解答】解：内错角相等是假命题，故A不符合题意；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故B故符合题意；
五边形的外角和等于360°是真命题，故C符合题意；
相等的两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共4小题）
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ 74° ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，
∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝180°﹣（90°+58°）＝32°，
由折叠的性质得：∠1＝∠FED，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝32°，
∵∠CEF+∠FED+∠1＝180°，
∴32°+2∠1＝180°，
∴∠1＝74°．
故答案为：74°．
6．要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，可举出一个反例： 锐角是15°，钝角是100°（答案不唯一） ．
【解答】解：例如锐角是15°，钝角是100°，
∵15°+100°＝115°＜180°，
∴命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．
故答案为：锐角是15°，钝角是100°（答案不唯一）．
7．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ 100 度．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，
∴∠BCD＝∠B＝80°，
∵BC∥ED，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
8．已知∠1和∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的3倍少60°，则∠1＝ 30或120 度．
【解答】解：①当∠1＝∠2时，
∵∠1比∠2的3倍少60°，
∴∠1＝3∠1﹣60°，
解得∠1＝30°；
②当∠1+∠2＝180°时，
∵∠1＝3∠2﹣60°，
∴∠2+3∠2﹣60°＝180°，
解得∠2＝60°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝120°；
故答案为：30或120．
三．解答题（共2小题）
9．完成下面推理过程：
如图，已知：DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．
求证：∠FDE＝∠DEB
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE＝∠ ABC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，（已知）
∴∠ADF＝∠ ADE
∠ABE＝∠ ABC （ 角平分线定义 ）
∴∠ADF＝∠ABE
∴DF∥ BE （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠FDE＝∠DEB （ 两直线平行，内错角相等 ）
【解答】解：理由是：
∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∵DF、BE分别平分ADE、∠ABC，
∴∠ADF＝∠ADE（角平分线定义），
∠ABE＝∠ABC（角平分线定义），
∴∠ADF＝∠ABE，
∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），
故答案为：ABC；两直线平行，同位角相等；ADE；ABC；角平分线定义；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
10．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
【探索发现】：
（1）当∠A＝60°时，求证：∠CBD＝∠A；
（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A＝40°时，∠CBD＝ 70 度；
②当∠A＝x°时，∠CBD＝ （90﹣x）． 度（用含x的代数式表示）；
【操作探究】：
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AM∥BN，∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠PBD＝∠PBN，∠CBP＝∠ABP，
∴∠PBD+∠CBP＝（∠PBN+∠ABP）＝∠ABN，
∴∠CBD＝∠PBD+∠CBP＝∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A；
（2）∠CBD与∠A存在的数量关系是：∠CBD＝90°﹣∠A，理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
由（1）可知：∠CBD＝∠ABN，
∴∠CBD＝1/2（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
①当∠A＝40°时，
∴∠CBD＝90°﹣×40°＝70°，
故答案为：70．
②当∠A＝x°时，
∴∠CBD＝90°﹣∠A＝90°﹣x°．
故答案为：（90﹣x）．
（3）∠APB与∠ADB之间的数量关系是：∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠NBD，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∴∠APB＝2∠NBD．
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（基础篇）2023-2024学年下学期初中数学人教版七年级同步分层作业5.3平行线的性质
一．选择题（共4小题）
1．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
2．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．三角形三个内角的和等于180o
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．如果a2＝b2，则a＝b
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．五边形的外角和等于360°
D．相等的两个角是对顶角
二．填空题（共4小题）
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ ．
6．要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，可举出一个反例： ．
7．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ 度．
8．已知∠1和∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的3倍少60°，则∠1＝ 度．
三．解答题（共2小题）
9．完成下面推理过程：
如图，已知：DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．
求证：∠FDE＝∠DEB
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE＝∠ （ ）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，（已知）
∴∠ADF＝∠
∠ABE＝∠ （ ）
∴∠ADF＝∠ABE
∴DF∥ （ ）
∴∠FDE＝∠DEB （ ）
10．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
【探索发现】：
（1）当∠A＝60°时，求证：∠CBD＝∠A；
（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A＝40°时，∠CBD＝ 度；
②当∠A＝x°时，∠CBD＝ 度（用含x的代数式表示）；
【操作探究】：
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
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