第16章 分式 素养提优卷 含解析

第16章 分式 素养提优卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．写出一个与分式相等的分式，下面正确的（ ）
A． B． C． D．
2．已知，下列关于a的叙述中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．对于分式中四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．对于代数式有甲、乙两种判断，其中正确的是（ ）
甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母；
乙：是整式，因此，而1是整式；
A．甲对 B．乙对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对
5．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）

A． B． C． D．
6．劳动节放假期间，小明准备打出租车去离家千米的高铁站，由于恰逢打车高峰期，他决定骑共享单车前往高铁站，结果比打出租车要多花分钟，已知出租车的平均速度是骑共享单车的平均速度的倍，若设骑共享单车的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
8．已知 a比b大2，代数式当值为，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
9．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯榶水里再加入克糖(仍不饱和)，，，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是( )
A． B． C． D．
10．若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（ ）
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．请写出一个有意义的条件是的分式 ．
12．“双碳”目标背景下，一种具有机电能量转换和储存装置的飞轮储能系统被列入了国家“十四五”新型储能技术试点示范重点．飞轮储能可以在约完成整体场站一次调频，其性能远远优于火电机组．将数据用科学记数法表示为 ．
13．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是．
请你写出一个符合上述条件的题目： ．
14．小明在做作业时发现方程有一部分被墨水污染，通过翻看答案得知原方程无解，则被“■”盖住的数是 ．
15．甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要h，则根据题意可列方程为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．计算：
(1)；(2).
17．学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数．小芳的解答对吗？如果不对，请改正．
18．下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
请你回答下列问题：
(1)小雨看到小华的做法后，问她道：第一步通分根据什么性质？给我讲一讲．
(2)小华一边讲一边仔细检查后发现第三步做错了，请你把这道题的正确计算过程写出来．
19．我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．我国的光伏发电量世界第一．
现有一光伏发电厂平均每公顷土地发电量比原来增加100千瓦，原来发电1100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，问原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是多少千瓦？
20．小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．

(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
21．如果两个分式的和为常数，我们称这两个分式互为“和美”分式，这个常数为“和美”值．
如，所以与互为“和美”分式．
(1)已知，，，判断A和B是不是互为“和美”分式？若是，请证明，并求出“和美”值；若不是，请说明理由；
(2)已知，，m、n、p为非零常数，若C、D互为“和美”分式，求的值．
22．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
(1)求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
(2)一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
23．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
(1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于零的数或式子，分式的值不变解答．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时， ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时， ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：已知，
则，
故选：B．
3．A
【分析】根据分式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，分式的值不变，符合题意；
B、，分式的值改变，不符合题意；
C、，分式的值改变，不符合题意；
D、，分式的值改变，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解本题的关键是熟练运用分式的基本性质，属于基础题型．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．A
【分析】根据分式的定义进行判断即可求解．
【详解】解：∵是整式，且分母中含有字母，
∴甲的说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．
5．A
【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可．
【详解】解：撕坏的一角中“■”为
，
故选A
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系．根据路程不变，骑共享单车比打出租车要多花分钟，即可列方程，注意分钟化为小时．
【详解】解：设骑共享单车的平均速度为千米/时，则出租车的平均速度是，
分钟小时，
根据题意得：，
故选：C．
7．B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
8．C
【分析】因为a比b大2，即，将其代入，即得的值．
【详解】解：∵a比b大2，
即，
则把代入，
∴，
则，，
∵，
所以，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值等知识内容，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．
9．A
【分析】利用含糖率糖的重量糖水的重量分别将加入克糖前后糖水的含糖量表示出来，根据含糖率越高，糖水越甜，将两式通分后比较大小即可说明．
【详解】解：加入克糖之前糖水的含糖率为，
加入克糖之后，糖水为克，其中糖为克，
则加入克糖之后糖水的含糖率为
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查列代数式，分式的大小比较，异分母分式的加减法，解题的关键是掌握含糖率公式，比较大小时保持分母相同．
10．D
【分析】先解分式方程，得出，根据关于x的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴，
解得：或，且，
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x的分式方程有正数解，列出关于m的不等式组．
11．（答案不唯一）
【分析】根据分式有意义的条件，得出 ，将作为分母即可．
【详解】解：要使分式有意义的条件，
，
可用其中均可作为分母，
取一个简单的分式：．
故答案：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
13．答案不唯一，如．
【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式．
【详解】解：由题意得：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键．
14．1
【分析】由题意可知原方程有增根x＝2，设被“■”盖住的数是a，原方程去分母后，将x＝2代入即可求得a的值．
【详解】解：∵方程 -3无解，
∴原方程有增根x＝2．
设被“■”盖住的数是a，将原方程去分母得：
a＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）．
将x＝2代入上式得：
a＝﹣（1﹣2）﹣0＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程一定要检验．设乙同学单独清点这批图书需要小时，根据两人合作清点完另一半图书，列出方程即可．
【详解】由题意可得：甲的工作效率为，
∴，
故答案为：．
16．(1)4
(2)
【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分式的加法运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；
（1）根据零次幂及负指数幂可进行求解；
（2）根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
17．小芳的解答不对．改正见解析
【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值．
【详解】解：小芳的解答不对，
若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
即，，0，2，3，5时，分式的值是整数．
【点睛】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根．
18．(1)根据分式的基本性质
(2)见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分式的基本性质和分式的混和运算法则求解即可．
【详解】（1）解：根据分式的基本性质，给的分子、分母同乘以得到，
故小华的第一步通分根据分式的基本性质；
（2）解：正确的计算过程为：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的基本性质，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．
19．原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是5500千瓦、5600千瓦．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦，根据发电板的面积不变列分式方程求解即可．
【详解】解：设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦
由题意得：
方程两边乘得：
解得：
经检验：是原分式方程的解
答：原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是5500千瓦、5600千瓦
20．(1)，
(2)小强说的有道理，理由见详解
【分析】（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解；
（2）比较分式，大小即可求解．
【详解】（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键．
21．(1)是，3
(2)
【分析】本题考查分式的加减运算，掌握“和美”分式的定义是解题的关键．
（1）求出的和，即可得出结论；
（2）求出的和，根据“和美”分式的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：是；
；
∴A和B互为“和美”分式，值为3；
（2）
∵C、D互为“和美”分式，
∴为常数，
∴，
∴，
∴．
22．(1)购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
(2)该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用材料生产吉祥物的数量是用1500元购买材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价；
（2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元；
（2）设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为；
假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明：
，其中，
∴，
∴，即，
故答案为：；．
（3）证明：由（2）可知
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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