第16章 分式 素养基础卷（含解析）

第16章 分式 素养基础卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．当x＝1时，下列分式中值为0的是(　　)
A． B． C． D．
3．若，则的值是（　　）．
A． B． C． D．
4．计算的结果是（）
A． B． C． D．
5．一项工程，甲单独做要x天完成，乙单独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
6．化简，得（ ）
A． B． C． D．
7．小明解方程的过程如下：
解：去分母，得，①
去括号，得，②
合并同类项，得，③
移项，得，④
系数化为1，得．⑤
他的解答过程中开始出现错误的是步骤（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，
最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
9．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
13．计算： ．
14．已知，则的值是 ．
15．若关于x的方程无解，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．计算：.
17．已知分式．
(1)当为何值时，该分式无意义；
(2)当为何整数值时，该分式的值为正整数．
18．计算：
(1)；(2)
19．先化简，再求值：，其中．
20．解下列分式方程．
（1）；（2）．
21．已知：，．
(1)求A与的和；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程无解，实数，求的值．
22．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元；
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元．
23．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
（1）若，则______0（填“”“”或“”）；
（2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由；
（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含，的代数式表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
参考答案
1．【答案】B
【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义：分式分子分母除了1以外，没有其他的公因式，判断即可．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式为最简分式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故此题答案为B．
2．【答案】B
【分析】考虑将x=1代入，使分式分子为0，分母不为0，即可得到结果．
【详解】解：当x=1时，下列分式中值为0的是．
故选B．
【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【答案】D
【分析】此题主要考查了已知式子的值、求代数式的值，灵活对已知等式进行变形是解题的关键．
由可得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】先把除法变成乘法，然后约分即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握乘除混合运算法则．
5．【答案】A
【详解】∵工作量=工作效率×工作时间，把总工作量看作单位“1”，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为，
∴甲乙合作完成工程需要：1÷（+）=．
故此题答案为Ａ．
6．【答案】C
【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键．
7．【答案】A
【分析】观察可知在第①步去分母的时候等式右边没有乘以x，由此即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
∴可知第①步去分母的时候等式右边没有乘以x，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【关键点拨】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【关键点拨】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
10．【答案】B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【关键点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．【答案】且
【分析】由有意义，有意义，可得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，∵有意义，
∴，即；
∵有意义，
∴，即．
∴且．
故答案为：且
【关键点拨】零次幂和负整数指数幂的底数都不能为零．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12．【答案】，，
【详解】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是，，等，答案不唯一．
考点：分式的值
13．【答案】
【详解】解：原式
.
14．【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．
由已知得到，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．
【详解】解：由已知得，，
．
故此题答案为：．
15．【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【详解】去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或.
故此题答案为：或或.
【关键点拨】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
16．【答案】
【分析】根据绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
17．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键；
（2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键．
【详解】（1）解：该分式无意义，
，
解得，
即当时，该分式无意义．
（2）解：该分式的值为正整数，且也为整数，
或，
解得或，
即当或时，该分式的值为正整数．
18．【答案】(1)2
(2)
【分析】此题考查分式的化简，熟练掌握最简公分母的寻找规律、因式分解是关键．
（1）按照分式的化简运算即可．
（2）先算括号内的异分母分式加法，再化除为乘进行化简．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】，
【分析】此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴原式．
20．【答案】（1）；（2）无解．
【详解】解：（1），，解得：，检验：当时，，是原方程的根；
（2），，解得：，检验：当时，，是原方程的增根，原方程无解．
21．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键．
（1）通过通分、合同同类项，得出结果；
（2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案；
（3）根据题意列方程求出关于x的方程，由于方程无解，即，解得答案．
【详解】（1）解：
故．
（2）若，
则，
解方程得：．
检验：当时，
．
（3），
去分母整理得：；
无解，，
，
解得： （舍去）．
检验：当时，
．
故．
22．【答案】（1）6元；（2）盈利388元
【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果，第二次购水果，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案．
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计即可回答问题．
【详解】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：，
解得：x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6×1.1）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）．
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元．
23．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①，；②小王加油的平均单价低
【分析】此题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
（1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解；
（2）化简，由可得，进而求解；
（3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量列代数式即可；②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故此题答案为：；
（2），理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴
∴，
∴，即；
（3）①小王两次所加油的平均单价为：
元/升；
设小张油箱加满能加a升．
∴小张两次加油的平均单价为元/升；
故此题答案为：，；
②
∵，，
∵时，
∴，即，
答：小王加油的平均单价低．
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