第01讲 复数的概念
考点1：复数的基本概念
1、虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
2、复数的概念
（1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
考点2：复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等
注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知求的值
考点3:共轭复数
与共轭
的共轭复数记作，且
考点4：复数的几何意义
1.复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2.复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）
相等的向量表示同一个复数。
3.复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即，
若，，则表示到的距离，即
【题型1 实部虚部的辨析】
【典例1】写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
【答案】答案见解析
【分析】根据复数的概念，即可得出答案.
【详解】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6．
4，0是实数；
，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数．
【变式1-1】若复数，则复数的虚部为（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根据复数的概念求出答案.
【详解】的虚部为-5.
故选：B
【变式1-2】若复数满足，则的虚部是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】计算，求其虚部.
【详解】因为，所以，所以的虚部是4.
故选：A
【变式1-3】求以下复数的实部和虚部：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)实部为，虚部为
(2)实部为，虚部为
(3)实部为，虚部
【分析】根据复数的实部和虚部的知识求得正确答案.
【详解】（1）的实部为，虚部为.
（2）的实部为，虚部为.
（3）的实部为，虚部.
【题型2 复数的分类】
【典例2】实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数是实数，则求解；
（2）根据复数是虚数，则求解；
（3）根据复数是纯虚数，则求解；
【详解】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
【变式2-1】当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；
（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；
（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.
【详解】（1）由题意复数，
当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即且时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
【变式2-2】求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可.
【详解】（1）由题知，
复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，
所以当时，复数为纯虚数.
【变式2-3】实数m取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）复数为实数，则虚部为零，即可得出答案.
（2）复数为虚数，则虚部为不为零，即可得出答案.
（3）复数为纯虚数，则实部为零，虚部为不为零，即可得出答案.
【详解】（1）当，即或时，复数z是实数；
（2）当，即且时，复数z是虚数；
（3）当，即时，复数z是纯虚数．
【题型3 复数的几何意义---复平面】
【典例3】在复平面内作出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点的坐标，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为.
（2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得在复平面对应的点为.
（3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数 在复平面对应的点为
（4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为
【变式3-1】复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】得到对应的点坐标，得到所在象限.
【详解】在复平面上对应的点为，位于第四象限.
故选：D
【变式3-2】分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)3；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据复数的坐标表示的定义求解.
【详解】（1）复数对应的点的坐标为.
（2）复数对应的点的坐标为.
（3）复数对应的点的坐标为.
（4）复数对应的点的坐标为.
（5）复数3对应的点的坐标为.
（6）复数对应的点的坐标为.
（7）复数对应的点的坐标为.
（8）复数对应的点的坐标为.
【变式3-3】在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
【分析】根据复数的几何意义以及实部、虚部的概念求解即可.
【详解】（1）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（2）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（3）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（4）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（5）因为复数对应的点为，向量为，如图：
【典例4】已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数对应点所在直线，将对应点坐标代入直线求参数值即可；
（2）根据复数对应点所在象限的特征列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题设，复数的对应点为，
所以，整理得，解得.
（2）由题意，解得.
【变式4-1】】已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)是纯虚数；
(2)对应的点在复平面的第三象限．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可.
【详解】（1）因为是纯虚数，
所以；
（2）因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数m的取值范围为.
【变式4-2】已知复数，mR，其中i为虚数单位．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若是实数，则虚部为0；
（2）根据复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于零，虚部小于零.
【详解】（1）若是实数，则，即
（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时,
，解得.
【题型4 复数的几何意义--模长】
【典例5】分别求出复数，，，，4i，的模．
【答案】5，，13，，4，6 .
【分析】根据复数的模长公式即可求解.
【详解】解：，，，，，.
【变式5-1】求复数的模，并比较它们的模的大小．
【答案】， .
【分析】根据题意先求出的模，进而比较出大小即可.
【详解】因为，所以.
【变式5-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)对应的复数及的长度．
【答案】(1)－3－2i
(2)5－2i
(3)
【分析】（1）根据平面向量坐标表示公式，结合复数在复平面的特征进行求解即可；
（2）根据平面向量减法的运算性质，结合复数在复平面的特征进行求解即可；
（3）根据平面加法的运算性质，结合平行四边形的性质、平面向量模的公式、复数在复平面的特征进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以对应的复数为32i.
（2）因为，
所以对应的复数为(3＋2i) (2＋4i)＝52i.
（3）因为，
所以对应的复数为(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i.
所以
【变式5-3】复数，，试比较与的大小．
【答案】
【解析】先根据复数模的定义分别计算与，再比较大小.
【详解】解：∵
，
，且，∴．
【点睛】本题考查复数模的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数的虚部为.
故选：C.
2．如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的坐标表示分析判断.
【详解】由题意可知：点的坐标为，
所以复平面内点所表示的复数为.
故选：D.
3．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据复数模长公式求出答案.
【详解】.
故选：A
4．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出即可.
【详解】因为，
所以对应复平面内点的坐标，
所以位于第二象限，
故选：B
5．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
6．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由解出a的值，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，
又该点在实轴上，所以，解得，
所以，则.
故选：D.
7．设复数，则的共轭复数的模为（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
【答案】C
【分析】根据共轭复数的定义得出的共轭复数，即可根据复数的模的求法得出答案.
【详解】复数的共轭复数为，
则其模，
故选：C.
8．已知为虚数单位，，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果.
【详解】由题得，
所以，解得，所以.
故选：C
9．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
10．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
11．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数为纯虚数得到或-1，然后判断即可.
【详解】若复数为纯虚数，则，解得或-1，
所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
二、解答题
12．已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
【答案】(1)实数取任意值
(2)
【分析】（1）根据虚部不为零列式求解；
（2）根据实部为零，虚部不为零列式求解.
【详解】（1）
整理得
当复数是虚数时，，此时，
即实数取任意值，复数都是虚数；
（2）当复数是纯虚数时，，得，
即实数时，复数是纯虚数.
13．求下列复数的模和共轭复数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的模和共轭复数的定义对（1）（2）（3）（4）逐一求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解；
（2）根据复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得，
所以实数的值为.
（2）若点A在第二象限，则，解得，
所以实数的取值范围为.
15．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的定义，结合复数相等的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的性质，结合复数的几何意义进行求解即可.
【详解】（1）设，则，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以
故点对应的复数为.
16．已知复数，其中为虚数单位.
(1)当实数取何值时，复数是纯虚数；
(2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的概念，结合题意列出方程组，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由复数
因为复数是纯虚数，则满足，解得，
故当实数时，复数是纯虚数.
（2）解：因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
则满足，解得，
故实数的取值范围为.第01讲 复数的概念
考点1：复数的基本概念
1、虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
2、复数的概念
（1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
考点2：复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等
注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知求的值
考点3:共轭复数
与共轭
的共轭复数记作，且
考点4：复数的几何意义
1.复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2.复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）
相等的向量表示同一个复数。
3.复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即，
若，，则表示到的距离，即
【题型1 实部虚部的辨析】
【典例1】写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
【变式1-1】若复数，则复数的虚部为（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【变式1-2】若复数满足，则的虚部是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1-3】求以下复数的实部和虚部：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型2 复数的分类】
【典例2】实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【变式2-1】当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【变式2-2】求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数．
【变式2-3】实数m取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【题型3 复数的几何意义---复平面】
【典例3】在复平面内作出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
【变式3-1】复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-2】分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标.
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)3； (6)； (7)； (8).
【变式3-3】在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：
； (2)； (3)；
； (5).
【典例4】已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【变式4-1】】已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)是纯虚数；
(2)对应的点在复平面的第三象限．
【变式4-2】已知复数，mR，其中i为虚数单位．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．
【题型4 复数的几何意义--模长】
【典例5】分别求出复数，，，，4i，的模．
【变式5-1】求复数的模，并比较它们的模的大小．
【变式5-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)对应的复数及的长度．
【变式5-3】复数，，试比较与的大小．
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
7．设复数，则的共轭复数的模为（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
8．已知为虚数单位，，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
10．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
11．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、解答题
12．已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
13．求下列复数的模和共轭复数：
(1)； (2)； (3)； (4)．
14．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
15．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
16．已知复数，其中为虚数单位.
(1)当实数取何值时，复数是纯虚数；
(2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
