第03讲 复数的三角表示
考点1：复数的三角形式
复数三角式的特征
(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接．
复数代数形式表示成三角形式的方法
先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tan θ＝确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．
考点2:复数三角形式的相关概念
辐角和辐角主值
辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
考点3 复数的三角形式乘除法运算及几何意义
（1）乘法运算及几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2
注意：涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．
（2）复数的三角形式除法运算及几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
【题型1 复数的三角表示】
【典例1】复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的三角形式即可得解.
【详解】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
【变式1-1】把复数化三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形公式求解求解即可.
【详解】设复数的三角形式为,则,,可取,
从而复数的三角形式为.
故选:C.
【变式1-2】以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【答案】C
【分析】逐一计算每个选项即可得答案.
【详解】对于A：，符合；
对于B：，符合；
对于C：，不符合；
对于D：，符合
故选：C.
【变式1-3】复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.
【详解】由，则.
故选：A
【变式1-4】将复数化为三角形式： ．
【答案】
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.
【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，
又
所以.
故答案为：.
【变式1-5】把下列复数化为三角形式．
(1)5 (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的三角形式的定义进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【题型2 复数的辅角】
【典例2】写出下列复数的辐角的主值
(1)-4 (2) (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用复数的辐角求主值的方法求解即可.
【详解】（1），所以；
（2），所以；
（3），所以；
（4），所以.
【变式2-1】复数的辐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简成复数的三角形式即可，注意复数的三角形式为．
【详解】因为=，故辅角为.
故选：D
【变式2-2】的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；
对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；
对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；
对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.
故选：C.
【变式2-3】求复数的辐角的主值为 .
【答案】
【分析】将复数写成三角形式，再根据辐角的定义即可得解.
【详解】，
所以复数的辐角的主值.
故答案为：.
【变式2-4】复数的辐角主值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合复数的三角形式即可求解.
【详解】由，，
得，
因此复数的辐角主值为.
故答案为：.
【变式2-5】（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】复数可以写成的形式，即可求得复数的辐角主值.
【详解】，所以复数的辐角主值.
故选：A
【题型3 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
【典例3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)；
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
【变式3-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】本题考查三角形式的除法法则，属基础题.
【变式3-2】把下列复数表示成代数形式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可.
【详解】（1）；
（2）.
【变化3-3】计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)6；
(2).
【分析】（1）（2）根据复数三角形式的乘法运算结合条件即得.
【详解】（1）
；
（2）
.
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数除法几何意义求复数的模.
【详解】由.
故选：B
2．若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.
【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应的点为，在第四象限；
故选:D
3．复数化成三角形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解.
【详解】解：设复数的模为，则，，
所以复数的三角形式为．
故选：A.
4．复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【详解】复数
，
所以复数的辐角主值是．
故选：D
5．若，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.
【详解】由，
所以60°.
故选：B
二、多选题
6．下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据复数三角形式直接得到答案.
【详解】复数的三角形式为，
所以只有B、C正确，
故选：BC.
7．（多选题）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据复数的三角形式分别判断各个选项即可.
【详解】复数的三角形式为，所以只有B、C正确，A、D选项错误.
故选:BC.
8．以下不是复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.
故选：AD
9．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
【答案】ACD
【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：ACD．
三、填空题
10．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
【答案】
【分析】根据复数的三角表示分析求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故答案为：.
11．已知复数的模为2，辐角为，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的模为2，辐角为，得到z，进而得到的三角形式求解.
【详解】解：因为复数的模为2，辐角为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
12．复数的三角形式为 ．
【答案】
【分析】根据复数对应的模长与辐角，写出三角形式.
【详解】为复数的三角形式，其中为模长，为辐角，
-3对应，故，
故答案为：
四、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3（4）利用复数三角形式的乘法与除法运算法则求解即可，注意计算的准确性.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
14．求复数的辐角主值．
【答案】
【分析】根据三角很恒等变换换成中角为主辐角.
【详解】
故复数的辐角主值是.
故答案为：
15．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，图见详解
(2)，图见详解
(3)，图见详解
(4)，图见详解
【分析】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.
【详解】（1）设复数的模为，辐角主值为．
6对应的向量如下图中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
16．求下列复数的模和辐角主值.
(1)；
(2).
【答案】(1)复数z的模为32，辐角主值为
(2)复数的模是，辐角主值为
【分析】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.
【详解】（1）（1）
，
∴复数z的模为32，辐角主值为.
（2），
则复数的模.
设辐角为，则，
∵点在第四象限，
∴，，
∴.
17．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）方法一：.
方法二：.第03讲 复数的三角表示
考点1：复数的三角形式
复数三角式的特征
(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接．
复数代数形式表示成三角形式的方法
先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tan θ＝确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．
考点2:复数三角形式的相关概念
辐角和辐角主值
辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
考点3 复数的三角形式乘除法运算及几何意义
（1）乘法运算及几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2
注意：涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．
（2）复数的三角形式除法运算及几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
【题型1 复数的三角表示】
【典例1】复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】把复数化三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【变式1-3】复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】将复数化为三角形式： ．
【变式1-5】把下列复数化为三角形式．
(1)5 (2)； (3)； (4)．
【题型2 复数的辅角】
【典例2】写出下列复数的辐角的主值
(1)-4 (2) (3) (4)
【变式2-1】复数的辐角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】求复数的辐角的主值为 .
【变式2-4】复数的辐角主值是 ．
【变式2-5】（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A． B． C． D．
【题型3 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
【典例3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)；
【变式3-1】（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】把下列复数表示成代数形式：
(1)； (2)．
【变化3-3】计算：
(1)；
(2).
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数化成三角形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
二、多选题
6．下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选题）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．以下不是复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
三、填空题
10．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
11．已知复数的模为2，辐角为，则 ．
12．复数的三角形式为 ．
四、解答题
13．计算：
(1)； (2)；
(3) (4)
14．求复数的辐角主值．
15．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6； (2)； (3)； (4)．
16．求下列复数的模和辐角主值.
(1)； (2).
17．计算下列各式：
(1)；
；
(3)．
