第04讲 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系
考点1：平面的概念
（1）平面的定义
几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特点：①平；②无限延展性．
（2）平面的画法．
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；
②它的锐角通常画成45°；
③横边长等于其邻边长的2倍．
如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．
（3）平面的表示．
下图所示的平面可表示为：
①平面ABCD；②平面AC；③平面α.
（4）直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
A∈l 点A在直线l上
A l 点A在直线l外
A∈α 点A在平面α内
A α 点A在平面α外
l α 直线l在平面α内
l α 直线l在平面α外
l∩m＝A 直线l，m相交于点A
α∩β＝l 平面α，β相交于直线l
考点2：平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α
公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l
1.公理1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)．
2．公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．
3．公理3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题.
公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．
考点3：空间两条直线的位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
1.异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
（2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．
2.平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．
符号表述： a∥c.
3.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.
4.直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 无公共点
符号 表示 a α a∩α a∥α
图形 表示
考点4：两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 α∥β 0个
两平面相交 α∩β 有无数个 (在一条直线上)
【题型 1平面的基本性质及推论】
【典例1】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】BD
【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可：
【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
【变式1-1】用集合符号表述语句“平面经过直线”： .
【答案】
【分析】根据线面关系可得结果.
【详解】因为平面经过直线AC，则.
故答案为：.
【变式1-2】如果两条直线a与b有公共点，那么a与b（ ）
A．平行 B．是异面直线 C．共面 D．垂直
【答案】C
【分析】根据平面的基本性质，即可求解.
【详解】由两条直线a与b有公共点，可得两直线为相交直线，
根据平面的性质，可得两直线在同一个平面内.
故选：C.
【变式1-3】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过两条平行直线，有且只有一个平面
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
【答案】ABC
【分析】根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案.
【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；
由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确;
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；
故选:ABC．
【题型 2空间中的点共线、点(线) 共面问题】
【典例2】分别是空间四边形的边的中点，则的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．重合
【答案】C
【分析】根据中位线定理，结合平面的确定方法，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
因为分别为的中点，所以同理可得，则，
所以四点共面，则与相交.
故选：C.
【变式2-1】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
【答案】D
【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.
【详解】∵直线，过三点的平面记作，
∴与的交线必通过点和点，
故选：D．
【变式2-2】点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与一定平行 B．直线与一定相交
C．直线与可能异面 D．直线与一定共面
【答案】D
【分析】根据两条平行线确定一个平面，即可求解.
【详解】由于，所以四点确定一个平面，
因此直线与一定共面，故D正确，C错误，
只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确，
只有当但时，此时四边形为梯形，此时相交于点，故B不正确，
故选：D
【变式2-3】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行 B．直线，，相交于一点
C．直线与异面 D．直线，，相交于一点
【答案】B
【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可．
【详解】因为，，且，
所以，所以且，
因为，分别为，的中点，所以且，
所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰，
所以，交于一点，设交点为，则，，
又因为平面，且平面，
所以平面，且平面，
又平面平面，
所以，
所以点是直线，，的公共点，
故直线、、相交于一点．
故选：B
【题型 3空间中的线共点问题】
【典例3】如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
【答案】(1)证明见祥解
(2)证明见祥解
【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面；
（2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面，
所以，进而得到A，O，D三点共线.
【详解】（1）证明：如图，连接.
在正方体中，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
，所以四点共面；
（2）证明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三点共线.
【变式3-1】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
（2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
【详解】（1）：：：，，
，分别为，的中点，，，
，，，四点共面．
（2）、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
与的交点在直线上．
【变式3-2】在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可；
（2）根据基本事实3证明即可.
【详解】（1）
连接，，
在三角形中，，所以，
∵，分别是边，的中点，
∴，
∴，，，，四点共面.
（2）∵，为中点，
∴与不平行，
∵平面，
∴与相交，
设，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直线，，相交于一点.
【变式3-3】空间四边形中，分别在上，且满足，．
求证：三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】由题意可证且，则四边形为梯形，设，可证，得证三线共点．
【详解】，，
，，
，又，，，
四边形为梯形，
设，则，而平面ABD，所以平面ABD ，
又，平面BCD，所以平面BCD，
而平面平面，，
三线共点．
【变式3-4】已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过证明，得到四点共面.
（2）设和交于点P，证明点P在平面与平面的交线上.
【详解】（1）连接，因为是正方体，
分别是和的中点，所以.
又，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以四点共面.
（2）由（1）知，且，
所以和必交于一点.
设，
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面.
又平面平面，所以，
所以交于一点.
【题型 4平面分空间的区域数量】
【典例4】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；
对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；
对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；
对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.
故选：C
【变式4-1】平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【答案】A
【分析】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果.
【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分；
三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；
当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；
当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；
当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．
所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．
故选：A．
【变式4-2】一个西瓜切3刀，最多能切出 块．
【答案】8
【分析】利用平面的基本性质和位置关系可知，按照竖着切两刀，横着切一刀的方式得到的块数最多.
【详解】根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面，
利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面切一刀贯通，如下图所示：
这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块.
故答案为：8
【变式4-3】一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分．
【答案】21
【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.
【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，
故三棱柱各面所在的平面将空间分成部分
故答案为：21
【点睛】思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.
【变式4-4】三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成 个部分
【答案】
【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数.
【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分
上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分
所以三棱柱的五个侧面将空间分成了个部分
故答案为:
【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题.
【题型 5直线与直线的位置关系】
【典例5】如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
【答案】ACD
【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可证，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，所以，，
延长交直线于点，
因为，则，
又因为，，所以，，所以，，
延长交的延长线于点，同理可证，
因为，所以，，即点、重合，
所以，、相交，
由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错.
故选：ACD.
【变式5-1】在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ）
A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.
【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，
则a与b可能平行，也可能是异面直线，
故选：D
【变式5-2】正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用几何法求出异面直线夹角即得.
【详解】正方体中，连接，
由分别是的中点，得，四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，于是，即有，
因此是异面直线与所成角或其补角，
在中，，则，
所以与所成角为.
故选：C
【变式5-3】如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【答案】异面
【分析】假设共面推出矛盾.
【详解】假设直线共面，平面，
由，则平面，
同理，平面，故共面，
这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.
故答案为：异面.
【题型 6直线与平面的位置关系】
【典例6】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】D
【分析】根据直线和平面的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，由，，显然不能得到，故A错误；
对于B，由，，可以得到或异面或相交，故B错误；
对于C，由，，，得或异面，故C错误；
对于D，由，，可以推出，故D正确.
故选：D
【变式6-1】若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）．
A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行
C．直线与平面相交 D．直线平行平面
【答案】B
【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断.
【详解】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得：
当时，可满足题意；
当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意；
当时，无法满足题意.
故直线与平面相交或平行.
故选：B.
【变式6-2】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】在A中，与相交、平行或异面；在B中，与相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，.
【详解】解：由，是两条不同的直线，α时一个平面，知：
在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故D错误.
故选：C.
【变式6-3】已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定定理与性质定理判断即可.
【详解】根据线面平行的判定定理知,若,则,故充分性成立；
若,则直线m,n有可能平行或者异面,故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型 7平面与平面的位置关系】
【典例7】已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
【答案】B
【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.
【详解】因为平面平面，直线，直线，
所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面．
故选：B.
【变式7-1】如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．
【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A
【变式7-2】若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A． B．
C．或 D．或与相交
【答案】D
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由可得或与相交，
比如在正方体中，
平面平面，平面平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，
故选：D
【变式7-3】已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是 ；
【答案】或与相交
【分析】直接由题意画出图形得结论.
【详解】由，，，得或与相交，如图所示:
故答案为: 或与相交.
一、单选题
1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用符号语言表示点线面的位置关系即可得解.
【详解】对于A，由图知与交于在内，与交于点，
所以，故A正确；
对于BD，这一表示方法错误，故BD错误；
对于C，这一表示方法错误，故C错误.
故选：A.
2．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
故选：B.
3．在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系
【答案】C
【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.
【详解】作出正四面体，如图，
因为平面，平面，，平面，
所以与是异面直线.
故选：C.
4．已知直线a，b异面，下列判断正确的是（ ）
A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直
C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直
【答案】C
【分析】可采用借助于正方体中的与是异面直线，利用观察正方体中的线面关系举一些 反例进行说明即可.
【详解】
如图，与是异面直线，看作直线看作直线，
对于A，过的平面，故A错；
对于B，过的平面，故B错；
对于C，在上任取一点，过点作交于点，
因为，所以，又平面，平面，
所以平面，又，所以确定的平面只有一个，
所以过的平面有且仅有一个即平面与平行，故C正确；
对于D，若与不垂直，则必不存在过的平面中，有一个垂直于，故D错.
故选：C.
5．若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．平面内的所有直线都与直线a异面 B．平面内不存在与直线a平行的直线
C．平面内的直线都与直线a相交 D．直线a与平面一定有公共点
【答案】D
【分析】直线不平行于平面，可得，或与相交，据此可判断出结论.
【详解】直线不平行于平面，可得，或与相交.
对于A，如下图，当时，，但，故A不正确；
对于B，如下图，当时，平面内存在直线与直线平行，故B不正确；
对于C，由B分析可知，的直线可能与平行，故C不正确；
对于D，不管，还是与相交，直线与平面有公共点，D正确.
故选：D.
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
D．一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【答案】A
【分析】在A中，平行于同一条直线的两个平面相交或平行；在B中，由平面平行的定义得平行于同一个平面的两个平面平行；在C中，由平面平行的性质得必与另一个相交；在中，由平面平行的性质得必与另一个相交.
【详解】对于A，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故A错误；
对于B，若平面满足，
根据面面平行的定义可得与没交点，与没交点，
则与没交点，即，所以平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确；
对于C，由平面平行的性质得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故C正确；
对于D，由平面平行的性质得一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故D正确.
故选：A.
7．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.
【详解】连接，如下图所示：
根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
二、多选题
8．直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（ ）
A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能
【答案】AC
【分析】根据给定条件，按点在平面的同侧、异侧判断作答.
【详解】直线上两点到平面的距离相等且均为5，显然，BD错误；
当点在平面的同侧时，，A正确；
当点在平面的异侧时，直线与平面相交，C正确.
故选：AC
9．设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】CD
【分析】根据公理1以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．
【详解】当时，，，但，故A错；
当时，B错；
如图，∵，，∴，
∴由直线和点确定唯一平面，
又，由与确定唯一平面，但经过直线和点，
∴与重合，∴，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选：CD
三、填空题
10．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是 .
【答案】相交或异面
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结论.
【详解】若，因为，则，与已知、是异面直线矛盾，
所以直线与直线b不平行，
则当直线与直线b在同一平面则相交，当直线与直线b不在同一平面则异面，
故答案为：相交或异面.
11．如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有 条．
【答案】4
【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案.
【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得，
侧棱中，没有与平行的直线；
与相交的有，共2条.
又正六棱柱的侧棱，共有6条，
所以，与直线异面的侧棱共有条.
故答案为：4.
12．如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中
（1）与平行；
（2）与是异面直线；
（3）与垂直；
（4）与成．
其中正确的序号是 ．
【答案】（4）
【分析】将正方体的直观图画出，判断出与为异面直线，（1）错误；证明出四边形为平行四边形，得到（2）错误；根据面面平行推导出与不垂直，（3）错误；作出辅助线，得到或其补角即为与所成角，结合是等边三角形得到答案.
【详解】画出正方体的直观图如下：
对于（1），与为异面直线，不平行，错误；
对于（2），连接，因为，且，故四边形为平行四边形，
故与平行，（2）错误；
对于（3），在平面上，⊥，
由于平面与平面平行，要想与垂直，
只需与平行，显然两者不平行，故与不垂直，（3）错误；
对于（4），连接，因为与平行，
所以或其补角即为与所成角，
设正方体的边长为1，由勾股定理得到，
故是等边三角形，故，故与成，（4）正确.
故答案为：（4）
13．两个平面可以将空间分成 个部分．
【答案】3或4/4或3
【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果.
【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交，
若两个平面平行，则可将空间分成3部分，
若两个平面相交，可将空间分成4部分，
所以两个平面可以将空间分成 3或4个部分.
故答案为：3或4．
四、解答题
14．如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小；
【答案】
【分析】证明，由异面直线夹角的定义可知是异面直线与所成角的平面角，又为正三角形，所以可得结果为.
【详解】连接， ，如下图所示：
因为，
所以四边形是平行四边形，则，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
即是异面直线与所成角的平面角，
设正方体的棱长为，则，
所以为正三角形，因此.
即异面直线与所成的角的大小为.
15．如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．
【答案】见解析
【分析】由线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】∵是圆的直径，∴，
又∵平面，平面，∴.
∵，平面，
∴平面，
又因为平面，所以平面平面PBC．
16．如图，在正方体中，至少找出三条与成异面直线的棱或对角线，并指出它们所成角的大小．
【答案】见解析
【分析】根据图形即可看出，与成异面直线的直线分别为，，，然后求出夹角即可．
【详解】与成异面直线的直线分别为，，，
由于,且为等边三角形，所以即为 与所成的角，故为，
由于,且为等边三角形，所以即为 与所成的角，故为，
由于,,故 ，故夹角为．
17．如图，已知长方体中，，，．
(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案；
（2）确定是异面直线和BC所成的角，则得到答案.
【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角，
在中，，，所以.
故异面直线和所成的角是.
（2）因为，则和BC所成的角即为，显然，
则和BC所成的角是.
18．已知是棱长为a的正方体（如图）．
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
(2)求证直线与BC垂直．
(3)求直线与AC的夹角．
【答案】(1)，，，DA，DC，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用异面直线的定义判断作答.
（2）（3）利用异面直线的定义，求出异面直线的夹角即可作答.
【详解】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在，
因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，．
（2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角，
因为，则与BC的夹角为，
所以．
（3）连接，因为，
于是四边形是平行四边形，即，
从而与AC的夹角就是与的夹角，连接，
而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形，
所以与的夹角为，即与AC的夹角为．
19．如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．
【答案】答案见详解
【分析】通过中位线定理证明，且，同理可证，且，从而可证为平行四边形，即E，F，G，H四点共面．
【详解】∵E，F，分别为AB，BC的中点，
∴，且，
∵G，H分别为CD，AD的中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形为平行四边形
∴E，F，G，H四点共面．第04讲 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系
考点1：平面的概念
（1）平面的定义
几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特点：①平；②无限延展性．
（2）平面的画法．
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；
②它的锐角通常画成45°；
③横边长等于其邻边长的2倍．
如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．
（3）平面的表示．
下图所示的平面可表示为：
①平面ABCD；②平面AC；③平面α.
（4）直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
A∈l 点A在直线l上
A l 点A在直线l外
A∈α 点A在平面α内
A α 点A在平面α外
l α 直线l在平面α内
l α 直线l在平面α外
l∩m＝A 直线l，m相交于点A
α∩β＝l 平面α，β相交于直线l
考点2：平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α
公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l
1.公理1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)．
2．公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．
3．公理3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题.
公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．
考点3：空间两条直线的位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
1.异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
（2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．
2.平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．
符号表述： a∥c.
3.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.
4.直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 无公共点
符号 表示 a α a∩α a∥α
图形 表示
考点4：两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 α∥β 0个
两平面相交 α∩β 有无数个 (在一条直线上)
【题型 1平面的基本性质及推论】
【典例1】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【变式1-1】用集合符号表述语句“平面经过直线”： .
【变式1-2】如果两条直线a与b有公共点，那么a与b（ ）
A．平行 B．是异面直线 C．共面 D．垂直
【变式1-3】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过两条平行直线，有且只有一个平面
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
【题型 2空间中的点共线、点(线) 共面问题】
【典例2】分别是空间四边形的边的中点，则的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．重合
【变式2-1】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
【变式2-2】点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与一定平行 B．直线与一定相交
C．直线与可能异面 D．直线与一定共面
【变式2-3】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行 B．直线，，相交于一点
C．直线与异面 D．直线，，相交于一点
【题型 3空间中的线共点问题】
【典例3】如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
【变式3-1】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
【变式3-2】在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
【变式3-3】空间四边形中，分别在上，且满足，．
求证：三线共点．
【变式3-4】已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【题型 4平面分空间的区域数量】
【典例4】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【变式4-2】一个西瓜切3刀，最多能切出 块．
【变式4-3】一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分．
【变式4-4】三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成 个部分
【题型 5直线与直线的位置关系】
【典例5】如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
【变式5-1】在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ）
A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
【变式5-2】正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【题型 6直线与平面的位置关系】
【典例6】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【变式6-1】若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）．
A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行
C．直线与平面相交 D．直线平行平面
【变式6-2】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式6-3】已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【题型 7平面与平面的位置关系】
【典例7】已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
【变式7-1】如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【变式7-2】若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A． B．
C．或 D．或与相交
【变式7-3】已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是 ；
一、单选题
1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系
4．已知直线a，b异面，下列判断正确的是（ ）
A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直
C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直
5．若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．平面内的所有直线都与直线a异面 B．平面内不存在与直线a平行的直线
C．平面内的直线都与直线a相交 D．直线a与平面一定有公共点
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
D．一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
7．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（ ）
A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能
9．设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
三、填空题
10．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是 .
11．如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有 条．
12．如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中
（1）与平行；
（2）与是异面直线；
（3）与垂直；
（4）与成．
其中正确的序号是 ．
13．两个平面可以将空间分成 个部分．
四、解答题
14．如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小；
15．如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．
16．如图，在正方体中，至少找出三条与成异面直线的棱或对角线，并指出它们所成角的大小．
17．如图，已知长方体中，，，．
(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
18．已知是棱长为a的正方体（如图）．
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
(2)求证直线与BC垂直．
(3)求直线与AC的夹角．
19．如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．
