专题01 复数的概念（四大题型）
【题型1 实部虚部的辨析】
【题型2 复数的分类】
【题型3复数的几何意义---复平面】
【题型4 复数的几何意义--模长】
【题型1 实部虚部的辨析】
1．复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据复数的虚部的定义即可得解.
【详解】复数的虚部是.
故选：D.
2．已知复数，则的实部是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数实部的定义即可得出答案．
【详解】由复数，得的实部是0，
故选：B．
3．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
【答案】C
【分析】先化简复数，然后由复数的基本概念求解即可.
【详解】，所以其虚部为：.
故选：C.
4．若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的概念，即可得出答案.
【详解】根据复数的概念可知，的虚部为.
故选：B.
【题型2 复数的分类】
5．请说出下列复数的实部和虚部．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)0．
【答案】(1)实部为2，虚部为3
(2)实部为，虚部为
(3)实部为，虚部为1
(4)实部为，虚部为0；
(5)实部为0，虚部为
(6)实部为0，虚部为0
【分析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案.
【详解】（1）的实部为2，虚部为3.
（2）的实部为，虚部为.
（3）的实部为，虚部为1.
（4）的实部为，虚部为0.
（5）的实部为0，虚部为.
（6）0实部为0，虚部为0.
6．求以下复数的实部和虚部：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)实部为，虚部为；
(2)实部为，虚部为；
(3)实部为，虚部为；
(4)实部为，虚部为；
【分析】根据复数的概念一一判断即可；
【详解】（1）解：复数的实部为，虚部为；
（2）解：复数，所以实部为，虚部为；
（3）解：复数的实部为，虚部为；
（4）解：复数的实部为，虚部为；
7．分别写出下列各复数的实部与虚部．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)实部为，虚部为2；
(2)实部为3，虚部为；
(3)实部为，虚部为0；
(4)实部为0，虚部为8.
【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解.
【详解】（1）的实部为，虚部为2；
（2）的实部为3，虚部为；
（3）的实部为，虚部为0；
（4）实部为0，虚部为8.
8．已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【答案】(1)；
(2)1.
【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；
（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可.
【详解】（1）因为是虚数，
所以，解得，
（2）因为是纯虚数，
所以，解得.
9．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【答案】（1）或4；（2）.
【分析】（1）根据题意得到虚部为0，从而求的值；
（2）根据题意得到实部为0，虚部不为0，从而求的值.
【详解】（1）因为复数为实数，所以，
所以或4．
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以.
10．为何实数时，复数是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？
【答案】（1）或；（2）且；（3）
【分析】先对复数整理得，
（1）要为实数，只要虚部为零，令即可；
（2）要为虚数，只要虚部不为零，令即可；
（3）要为纯虚数，只要实部为零，虚部不为零，由求解即可
【详解】解：
．
（1）由得或，
即或时，为实数．
（2）由得且，
即且时，为虚数．
（3）由得，
即时，为纯虚数．
11．已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
【答案】（1）（2）
【分析】(1) 直接由虚部为0求解m值;(2) 由实部为0且虚部不为0求解m值.
【详解】（1）复数，
若为实数，则，即
（2）若为纯虚数，则，
解得
【点睛】本题主要考查了复数的相关概念，考查了运算能力，属于容易题.
12．已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
【答案】（1）或（2）且（3）（4）
【分析】由题意得解得，
（1）由，求出m即可；
（2），即可得出m；
（3）由，解得范围；
（4）根据象限特征，由，解得范围.
【详解】解：，
（1）由得或，
即当或时，z为实数；
（2）由得且，
即当且时，z为虚数；
（3）由得，
即当时，z为纯虚数；
（4）由解得，
即当时，z在复平面内对应的点在第四象限.
【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．
13．已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【答案】（1）；（2）且；（3）或.
【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零；
（2）复数是虚数，则虚部不为零；
（3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零．
【详解】解：（1）复数是实数，则，
解得；
（2）复数是虚数，则，
解得且；
（3）复数是纯虚数，则，
解得或．
【点睛】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的数学关系式是解决本题的关键．
【题型3复数的几何意义---复平面】
14．已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可解出，则可得到复平面内对应的点的坐标为.
【详解】因为，所以，
从而复平面内对应的点的坐标为，
故选：C.
15．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量相等的条件，即可求解.
【详解】由已知得，
，设，
因为，，
四边形是复平面内的平行四边形，
所以，解得，
所以点对应的复数为.
故选：A
16．若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用已知条件先求出，根据复数的意义，分别写出坐标，再利用两点间的距离公式计算即可.
【详解】由，
所以，
所以，
故与在复平面内对应的点分别为，
所以，
故选：A.
17．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简复数，根据实部虚部写出点的坐标.
【详解】，即在复平面内对应的点的坐标为.
故选:D.
18．设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义得到复数，然后求得，再利用几何意义求解.
【详解】解：由题意得，
则，
所以在复平面内对应的点为，
故选：A
20．若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先确定复数z在复平面内对应的点，进而可得点的位置.
【详解】，
z在复平面内对应的点为，在第三象限.
故选：C.
21．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】由题意可得：对应的点为，该点关于虚轴对称的点为，
所以对应的点为，
.
故选：B
22．已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（ ）
A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义以及向量的线性运算即可求解.
【详解】根据复数的几何意义可知,
设，则由，所以,因此对应的复数为：3＋i
故选：C
23．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】直接由已知的复数在复平面内对应点的坐标得复数，进而可得答案.
【详解】解：由题意得复数对应的点为，则，
所以复数的虚部为2.
故选：C.
24．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是 ．
【答案】
【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：
25．设复数对应的向量为，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义得，设，由平面向量的坐标可得点的坐标.
【详解】解：复数对应的向量为，则，又，设，
则，所以，解得，所以.
故答案为：.
26．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义计算即可.
【详解】由题知，,
所以，
所以点对应的复数.
故答案为：.
27．设复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据向量运算求得正确答案.
【详解】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，
所以，
所以，
所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.
故答案为：
28．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标 ．
【答案】
【分析】求出模长，进而得到，得到z在复平面内对应的点的坐标.
【详解】，故复数z在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：.
29．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，，，，．
【答案】答案见解析
【分析】根据复数的几何意义即可作出图形.
【详解】如图（1），点A，B，C，D，E分别表示复数4，，，，．
如图（2），向量，，，，分别表示复数4，，，，．
30．在复平面上，作出表示下列复数的向量：
，，，．
【答案】见解析
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】，，，对应复平面的坐标分别为，其表示的复数的向量分别为：，如下图所示：
31．在复平面内A，B，C的对应的复数分别为．
(1)求；
(2)判定的形状．
【答案】(1)，，
(2)直角三角形
【分析】（1）利用复数的几何意义得到点A，B，C的坐标，再根据向量的定义与坐标表示即可解决问题；
（2）观察（1）中的向量坐标，发现，故可判定的形状.
【详解】（1）根据复数的几何意义，得，，，
所以，同理：，．
（2）由（1）得，
故，所以为直角三角形.
【题型4 复数的几何意义--模长】
32．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
33．复数， 其中为虚数单位，则=（ ）
A．25 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】求出，进而利用模长公式求出答案.
【详解】因为，所以，故.
故选：C
34．已知复数，则（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先化简得到，再根据复数模的定义，即可求解.
【详解】，.
故选：B
35．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数模的公式直接计算即可.
【详解】，由复数模的定义得.
故选：D
36．若复数z满足，则复数z的模为|z|=（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】B
【分析】直接根据模的定义计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
37．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用复数的求模公式求解即可．
【详解】复数，则，
故选：B
38．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的模的计算公式计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B
39．已知复数，则 .
【答案】
【分析】根据复数的模长公式直接运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.专题01 复数的概念（四大题型）
【题型1 实部虚部的辨析】
【题型2 复数的分类】
【题型3复数的几何意义---复平面】
【题型4 复数的几何意义--模长】
【题型1 实部虚部的辨析】
1．复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．已知复数，则的实部是（ ）
A．2 B．0 C． D．
3．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
4．若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 复数的分类】
5．请说出下列复数的实部和虚部．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)0．
6．求以下复数的实部和虚部：
(1)； (2)； (3)； (4)．
7．分别写出下列各复数的实部与虚部．
(1)； (2)； (3)； (4)．
8．已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
9．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
10．为何实数时，复数是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？
11．已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
12．已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
13．已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【题型3复数的几何意义---复平面】
14．已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
15．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
16．若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
17．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
20．若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
22．已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（ ）
A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i
23．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
24．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是 ．
25．设复数对应的向量为，若，则点的坐标为 ．
26．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数 .
27．设复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 .
28．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标 ．
29．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，，，，．
30．在复平面上，作出表示下列复数的向量：
，，，．
31．在复平面内A，B，C的对应的复数分别为．
(1)求；
(2)判定的形状．
【题型4 复数的几何意义--模长】
32．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
33．复数， 其中为虚数单位，则=（ ）
A．25 B．3 C．5 D．
34．已知复数，则（ ）．
A． B． C．1 D．
35．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
36．若复数z满足，则复数z的模为|z|=（ ）
A．2 B． C． D．5
37．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
38．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
39．已知复数，则 .
