2023-2024学年安徽省六安市金寨县青山中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市金寨县青山中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中与是同一个函数的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，“的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数，且恒过定点( )
A. B. C. D.
4.已知，则等于( )
A. B. C. D.
5.的值为( )
A. B. C. D.
6.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知集合，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若时，则或
11.已知函数，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 为偶函数 D. 的最小值为
12.已知，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则的最小值是 ．
14.已知，则______．
15.若幂函数的图象过点，则 ．
16.函数的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算
．
18.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求．
19.本小题分
已知，，且，求：
的最小值；
的最小值．
20.本小题分
已知函数
求函数的单调区间；
求函数在区间上的值域．
21.本小题分
为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是万元，该栋房屋每年的能源消耗费用万元与隔热层厚度厘米满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和．
求和的表达式；
当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值．
22.本小题分
已知函数为偶函数，当时，，为常数．
当时，求的解析式：
设函数在上的最大值为，求的表达式；
对于中的，试求满足的所有实数的取值集合．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，的定义域为，与的定义域为不同，故A错误；
对于，函数，与函数为同一函数，故B正确；
对于，与的对应关系不同，故C错误；
对于，与的定义域不同，故D错误．
故选：．
直接利用同一函数的概念判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，“的否定是，，
故选：．
含有一个量词的命题的否定，要将“”变成“”，同时对命题再作否定．
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：令，解得：，
此时，
故函数恒过定点，
故选：．
根据，且，求出的值，代入从而求出的值，求出函数过定点即可．
本题考查了指数函数的性质，考查特殊点的应用，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
利用三角函数符号、倍角公式直接求解．
本题考查三角函数的运算，考查三角函数符号、倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：
故答案选C
先通过诱导公式，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案．
本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．此类题常与诱导公式、倍角公式等一起考查．
6.【答案】
【解析】解：，，，
由得不出；由得出，
““是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据基本不等式及充分条件和必要条件的定义即可得出正确的选项．
本题考查了基本不等式，充分条件和必要条件的定义，考查了计算和推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．
运用二次不等式的解法，求得集合，求得的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．
【解答】解：或，
即有，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，是基础题．
利用指数函数和幂函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：指数函数在上单调递增，且，
，即，
幂函数在上单调递增，且，
，即，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．
先求出关于的一元二次方程的两根为，，再对进行讨论，解不等式即可．
【解答】
解：当时，
当时，
关于的一元二次方程的两根为，，
当时，，故不等式的解集为，
当时，
若，则，不等式解集为，
若，则，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
故选AB．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．
由已知求出集合，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合的的范围即可．
【解答】
解：由已知可得，
若，则，且，解得，故A正确，
当时，，故D错误，
若，则且，解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：函数，
对于选项A：，故选项A错误，
对于选项B：函数为对勾函数，令，则，
当时，，单调递增，而在上单调递减，
由复合函数的单调性可知单调递减，
当时，，单调递增，而在上单调递增，
由复合函数的单调性可知单调递增，
故选项B错误，
对于选项C：显然函数的定义域为，
，
函数为偶函数，故选项C正确，
对于选项D：，当且仅当即时，等号成立，
故选项D正确，
故选：．
由对数的运算性质可知A错误，由复合函数的单调性和对勾函数的单调性可知B错误，由偶函数的定义可知C正确，由基本不等式可知D正确．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，考查了复合函数的单调性，以及基本不等式的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质，掌握作差法与特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合作差法，即可求解．
【解答】
解：对于，，，故A正确，
对于，当时，，故B错误，
对于，，，故C正确，
对于，，当且仅当，即时，等号成立，，等号取不到，，即，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用基本不等式，即可得解．
【解答】
解：因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数基本关系式是解本题的关键，属于基础题．
将已知等式左右两边同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出的值，然后将所求的式子利用同角三角函数基本关系式化简后，把的值代入即可求出值．
【解答】
解：，即，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出的解析式，可得的值．
【解答】
解：幂函数 的图象过点，，，，
则．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用二次函数的性质，余弦函数的值域，求出函数的最大值．
本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，余弦函数的值域，属于中档题．
【解答】
解：函数，
又，当时，取得最大值，
故答案为：．
17.【答案】解：
．
【解析】本题考查对数的运算法则、有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力属于基础题．
直接利用对数的运算法则求解即可．
直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．
18.【答案】解：当时，，
所以或；
因为，，
所以是的一个根，
故，，
所以．
【解析】本题主要考查了集合的交并补集的运算，体现了方程与不等式关系的相互转化，属于基础题．
把代入，求出集合，结合集合补集运算进而可求；
由已知结合集合交集运算先求出，进而可求，再由集合并集运算可求．
19.【答案】解：，，，
，
，当且仅当时取等号，
故的最小值为．
由，得：，
又，，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
【解析】本题考查基本不等式的应用，注意不要遗漏等号成立的条件，属于基础题．
利用基本不等式，构建不等式即可得出答案；
由，变形得，利用“乘法”和基本不等式即可得出．
20.【答案】解：令，，解得，，
令，，解得，，
可得函数的单调增区间为，，
单调减区间为，；
由，
可得，
可得，
可得函数在区间上的值域为
【解析】根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；
求出角的范围，结合函数的单调性即可得到结论．
本题主要考查三角函数的性质，要求熟练掌握三角函数的单调性和值域的求解，属于基础题．
21.【答案】解：因为，
若无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，所以，故，
因为为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，
所以．
，
当且仅当，即时，等号成立，
即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为万元．
【解析】由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．所以可得，由此可求，进而得到由已知建造费用为，根据隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为，可得的表达式．
由中所求的的表达式，利用基本不等式求出总费用的最小值．
本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：设，则，
所以，
又因为为偶函数，所以，
所以当时，；
当时，，对称轴，
当，即时，；
当，即时，；
综上所述，；
由知
当时，为常函数；
当时，为一次函数且为增函数且；
因为，
所以有或，
解得或，
即的取值集合为或
【解析】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题．
设，根据题意利用偶函数的定义求出的解析式；
讨论的取值范围，求出时的最大值，用分段函数表示即可；
根据分段函数求出满足时的取值即可．
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