2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，则有( )
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
5.已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.一个电路如图所示，，，，，，为个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A.
B.
C.
D.
7.下列说法错误的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的分位数是
B. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是
C. 函数的定义域为，则的定义域为
D. 若，则的值为
8.今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间年近似满足关系式为大于的常数且若时，；若时，则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不等式的解集不可能是( )
A. 或 B.
C. D. 或
10.已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则( )
A.
B. 函数为周期函数
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图像既有对称轴又有对称中心
11.已知函数，，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，为其一个上界若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数下列说法正确的是( )
A. 若函数在定义域上有下界，则函数有最小值
B. 若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界
C. 若函数为有界函数，则函数是有界函数
D. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为_________．
13.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______．
14.已知偶函数的定义域为，已知当时，，若，则的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
只不透明的袋子中装有个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．
搅匀后从中任意摸出个球，这个球是白球的概率为______；
搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出个球，求次摸到的球恰好是个白球和个红球的概率请用画树状图或列表等方法说明理由
16.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集，_____，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
设是实数使得关于的方程有两个不同的实数根，．
证明：；
求的最小值．
18.本小题分
已知关于的不等式，
若不等式的解集为或，求的值；
若不等式的解集为，求的取值范围．
19.本小题分
已知，，，记，，用表示有限集合的元素个数．
Ⅰ若，，，求；
Ⅱ若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
Ⅲ若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
由，
可知集合一定函数：，这两个元素，可能有或者，
集合的个数为个
故选：．
分解求解集合，，根据集合的基本运算即可求．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
且，，故．
故选：．
判断函数的单调性，利用零点判断定理，求解即可．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知：
：可化简为或；：
“若则”的等价命题是“若则”，
是的充分不必要条件，即

故选D
因为“若则”的等价命题是“若则”，所以是的充分不必要条件，即是的真子集，然后解不等式，利用数轴求解即可．
本题主要考查四种命题的等价关系，及解绝对值不等式，属基础知识、运算能力的考查．
4.【答案】
【解析】解：若，则，当且仅当即时取等号．
故有最小值为，
故选A．
若，则，利用基本不等式求得它的最小值为，从而得出结论．
本题主要考查基本不等式的应用，函数的最值及其几何意义，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：选项A，与图象矛盾，故A错误；
选项C，与图象矛盾，故C错误；
选项D，与图象矛盾，故D错误．
故选：．
可通过几个特殊值排除选项A，，，从而得出正确的选项．
本题考查了排除法做选择题的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
先由条件求得灯不亮的概率，再用减去此概率，即得所求．
【解答】
解：开关断开的概率为，开关断开的概率为，
开关、至少一个断开的概率为，
开关、至少一个断开的概率为，
故灯不亮的概率为，
故灯亮的概率为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：数据，，，，，，，，，，共个，
，
则该组数据的分位数是，故A正确；
关于的不等式的解集为，
则，，即，，
，即，解得，故B正确；
的定义域为，
则的定义域为，
令，解得，
故的定义域为，故C错误；
，
则，，
故，故D正确．
故选：．
对于，结合百分位数的定义，即可求解；对于，结合一元二次不等式的解法，即可求解；对于，结合抽象函数定义域的求法，即可求解；对于，结合对数的运算法则，即可求解．
本题主要考查百分位数的求解，以及对数的运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年．
故选：．
根据已知条件得，解方程组求出，的值，当时，在等式两边取对数即可求解．
本题考查了函数的生活中的实际运用，也考查了指数、对数的基本运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不等式中，因为，所以，
所以不等式对应的一元二次方程有两个不等的实数根，
所以该不等式的解集不可能是选项B和．
故选：．
根据不等式与对应的一元二次方程之间的关系，利用判别式即可得出结论．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，又为奇函数，
故，
利用，可得，故的周期为；
因为周期为，则的周期为，又是奇函数，
所以，A错误，B正确；
当时，，因为为奇函数，故时，，
因为恒成立，令，此时，则，，
故时，，
令，即，则，即；
令，即，则，即；
令，即，，，
所以，
根据周期性在上的图像与在相同，
所以，当，即时，，
故在上单调递减，C正确；
由是周期为的奇函数，则且，
所以，故关于对称，
，所以关于对称，D正确．
故选：．
由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求和判断的周期，进而判断和；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断，利用对称性判断、是否成立判断．
本题考查抽象函数及其性质，涉及函数的奇偶性、单调性和周期性，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，如图所示：
则恒成立，则函数有下界，但函数没有最小值，故A错误；
对于，若定义在上的奇函数有上界，不妨设当时，成立，
则当时，，则，
即，则，该的下界是，则函数是有界函数，故B正确；
对于，对于函数，若函数为有界函数，
设，则或，
该函数是有界函数，故C正确；
对于，函数，如图所示：
则函数的定义域为闭区间，值域为，
则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数，故D错误．
故选：．
举反例判断、；
根据函数上界，下界，有界的定义分别判断、即可．
本题属于新概念题，考查了函数的有界问题、奇函数的性质，理解定义是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了解一元二次不等式，是基础题．
由幂函数的定义求出或，再由幂函数的奇偶性可知，代入不等式即可求出的取值范围．
【解答】
解：由幂函数的定义可知，，
解得：或，
又由已知幂函数是奇函数，
，
原不等式化为：，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以在上为增函数，
由，得，，
当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为．
故答案为：．
由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：当时，由，
得，
令，当时，，
则，
所以函数在上递减，
因为函数为偶函数，所以，
则，
所以函数也是偶函数，
因为，所以，
不等式可化为，
即，
所以，解得，
所以的解集为．
故答案为：．
由，可得，令，从而可得出函数在上的单调性，再判断函数的奇偶性，结合，求得，而所求不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案．
本题综合考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：搅匀后从中任意摸出个球，恰好是白球的概率为．
解法一：搅匀后从中任意摸出个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出个球，
将个红球记为红，红，红，画树状图如图所示：
共有种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“次摸到的球恰好是个白球和个红球”记为事件的结果只有种，
所以．
法二：搅匀后从中任意摸出个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出个球，
将个红球记为红，红，红，列表如图所示：
第次摸球
第次摸球 红 红 红 白
红 红，红 红，红 红，红 红，白
红 红，红 红，红 红，红 红，白
红 红，红 红，红 红，红 红，白
白 白，红 白，红 白，红 白，白
共有种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“次摸到的球恰好是个白球和个红球”记为事件的结果只有种，
所以．
根据古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率．
利用画树状图或列表，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：选，；
选，；
选，．
时，，
所以，
或；
因为，，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
若“”是“”的充分不必要条件，即有，
所以，则或，
解得或，
即的取值范围是．
【解析】选，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于，化简可得集合；由，运用二次不等式的解法，可得集合，再由交集和补集的性质，可得所求集合；
由题意可得，对讨论，化简集合，再解的不等式组可得所求取值范围．
本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题设知，，
，所以；
因为，
，则，
，
所以．
又当时，，故．
【解析】利用判别式得到，再将整体代换，最后结合韦达定理化简即可；
计算得，再代入整理成完全平方式即可．
本题主要考查一元二次方程根的分布，属于中档题．
18.【答案】解关于的不等式的解集为或，
，是方程的两根，所以，．
若不等式的解集为，即恒成立，
则满足，求得．
【解析】根据一元二次不等式的解法，二次函数的性质，可得，是方程的两根，利用韦达定理求得的值．
由题意利用二次函数的性质，求得的取值范围．
本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ若，则，其中，，否则，，
又，，，，，则，相差，
所以或或；
Ⅱ不一定存在，
当时，，，，，，，则，不可能相差，，，，，，
这与矛盾，故不都存在；
Ⅲ因为，故集合中的元素的差的绝对值至多由种，
当时，结论都成立；
当时，不存在，，使得中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；
当时，若，则不存在；
综上所述，的最小值为．
【解析】Ⅰ由已知可得，其中，，，相差，由此分析求解即可；
Ⅱ当时，，不可能相差，，，，，，即可判断得到答案；
Ⅲ因为，故集合中的元素的差的绝对值至多由种，分别研究，，，即可得到答案．
本题考查了新定义问题，涉及了最值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
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