2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则集合( )
A. B.
C. D.
2.若是定义在上的函数，则“”是“函数为奇函数”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.为了得到函数，的图象，只需把余弦函数的图象，上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知实数，，满足恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则以下关于，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，为实数，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有( )
A. 若，则函数至少有一个零点
B. 存在实数，，使得函数无零点
C. 若，则不存在实数，使得函数有三个零点
D. 对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点
11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋已知某港口水深单位：与时间单位：从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 当时，水深度达到
D. 已知函数的定义域为，有个零点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为______．
13.若，则 ______．
14.如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，当的周长为时，求的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
Ⅰ求；
Ⅱ已知集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
若，，求的值．
17.本小题分
如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：分钟之间的关系为
求，，，的值；
求盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点？
某时刻单位：分钟时，盛水筒在过点的竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，盛水筒是否在水中？
18.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知是自然对数的底数，．
判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的
记，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，
，
集合中不包含，，，，
．
故选：．
利用交集、并集、补集定义进行求解．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若，
则不一定成立，所以不一定是奇函数．比如，
若为奇函数，则定义域关于原点对称，
是定义在上的函数．
，
即“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，
故选：．
利用奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用奇函数的定义和性质是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据函数的图象变换规律，由横坐标伸缩变换，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由，可得或，
解得，可排除选项B；
当时，，，，可排除选项D；
由，可排除选项C．
故选：．
求得的零点，以及的符号和时，的符号，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，运用排除法是迅速解题的关键，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
令，则有，
易知函数单调递增，
所以，即．
故选：．
化简可得，再根据函数单调递增判断即可．
本题考查了函数的单调性、转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，且，
，，
．
故选：．
由已知利用诱导公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：易知函数定义域为，且
，
为上的奇函数，有，
由复合函数的单调性可知单调递增，
由，得，即，
，为正实数，则有，而，
当且仅当即时等号成立，所以，则的最大值为．
故选：．
先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出，再结合基本不等式计算即可．
本题考查了奇函数的定义，对数的运算，奇函数单调性的判断，基本不等式求最值的方法，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，令，则在定义域内单调性递增，
且，，
由零点存在性定理可得，
，
又，因此，
，可得，
，，
，
所以，，所以，
所以．
故选：．
根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．
本题主要考查对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，A正确；
当，，，时，，显然错误；
因为，，
所以，，
，即，D正确．
故选：．
结合不等式的性质，利用比较法检验选项A，，，举出反例检验选项B即可判断．
本题主要考查了比较法的应用在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：：当时，，令，得，
在同一坐标系中作出，的图像，如图所示：
由图像及直线过定点知函数至少有一个零点，故A正确；
：当，时，作出，的图像，
由图像知，函数无零点；故B正确；
：当时，在同一坐标系中作出的图像，如图所示：
由图像知：函数有三个零点，故C错误；
：当时，
当时，
当时，
由图像知：对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，故D正确．
故选：．
在同一坐标系中作出，的图像，利用数形结合法求解．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图知，，
，
又，故A，，
由”五点作图法“知，，解得．
故，A正确；
又，函数的图象不关于点对称，B错误；
，即当时，水深度达到，C正确；
的定义域为，
，解得．
令，得．
，
，，为的个零点，
，
，
，D正确．
故选：．
由的部分图象可确定其解析式为，再对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
，
．
故答案为：．
由弧长公式直接可以算出．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，则，，
又因为，则，
且，
解得或舍去，
所以．
故答案为：．
根据同角三角关系求，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，，则，，，
则，， ．
在中，，又，，即 ．
把代入可得，，．
故答案为：．
设，，利用直角三角形中的边角关系求得，，再由两角和的正切公式求得，可得，从而求得．
本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式的应用，属中档题．
15.【答案】解：Ⅰ集合，
，
，
．
Ⅱ当时，，即当时，成立，
当时，要使，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ求出集合，，进而求出，由此能求出．
Ⅱ当时，，当时，要使，则，由此能求出实数的取值范围．
本题考查集合的运算，考查补集、并集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：
，
故；
若，
则，即，
，
则，
，
则，
所以，
所以．
【解析】根据已知条件，结合三角恒等变换公式，以及周期公式，即可求解；
结合三角函数的同角公式，以及余弦的两角和公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
17.【答案】解：由题意，，
由图可知的最大值为，最小值为，即，解得，，
每分钟转圈，
函数的周期为，可得，可得，
依题意，可知当时，，即，可得，
由，可得．
由可得，
令，得，取，解得，
故经过分钟后盛水筒出水后就可到达最高点．
由题意，，
可得，可得或舍去，
所以，
所以再经过分钟，可得，
故盛水筒不在水中．
【解析】由图可知的最大值为，最小值为，由，解得，的值，求得函数的周期，利用周期公式可求，依题意，可知当时，，可得，结合，可得的值．
令，得，求解的值即可得解．
由题意，，可得，利用两角和的正弦公式可求的值，即可计算得解．
本题考查三角函数的应用，考查用三角函数解决一些简单实际问题，考查函数的实际意义，属于拔高题．
18.【答案】解：对于函数的定义域内存在，而无解，故不是“依赖函数”．
若，故，
在上最小值为，此时不存在，舍去；
若，故在上单调递减，
从而，解得舍或．
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，即对恒成立，则，得，
由存在，使能成立，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为．
【解析】由依赖函数的定义举例子判断即可；
分类讨论解决函数不等式恒成立的问题，分离参数，转化为求函数在的最小值问题即可．
本题主要考查函数的恒成立，属于中档题．
19.【答案】解：函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
，
，，且，，
，，，
，即，
在上单调递增．
，
问题即为恒成立，由题意，
首先即任意成立，即，
，则，，
其次，，即为，
即成立，亦即成立，
，对于任意成立，
即，．
综上，实数的取值范围是．
【解析】根据函数单调性的定义，任取，，且，可证，从而，由此能判断函数在上的单调性．
将对任意恒成立，转化为恒成立，即可求出的取值范围．
本题考查函数的单调性、函数恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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