2023-2024学年黑龙江省绥化市哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.平面内动点在椭圆上，则为坐标原点的最大值为( )
A. B. C. D.
6.等差数列中，，则前项的和( )
A. B. C. D.
7.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知、为椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在两点、，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与：，则( )
A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10.在等差数列中，，，为的前项和，则下列式子一定成立的有( )
A. B. C. D.
11.已知圆：，直线：，则( )
A. 圆的圆心为 B. 点在上
C. 与圆相交 D. 被圆截得的最短弦长为
12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点知抛物线：，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点设，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，平分，则点横坐标为
C. 若，抛物线在点处的切线方程为
D. 若，抛物线上存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：与直线：平行，则实数 ．
14.数列的前项和为，则______．
15.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为______．
16.定义个正数，，，的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程．
18.本小题分
如图，已知圆与轴相切于点且被轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为：．
求圆的方程；
已知点，是否存在弦被点平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在数列中，已知，．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和为．
20.本小题分
如图，四棱锥，底面为正方形，平面，为线段的中点．
证明：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知等差数列的公差，前项和，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且．
求双曲线的标准方程；
设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题给出抛物线方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．
根据抛物线方程，可得，得再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线，即可得到它的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线方程为，
，得，
抛物线开口向右且以原点为顶点，
抛物线的焦点坐标是，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考察斜率和倾斜角的关系，属于简单题．
先求斜率再求倾斜角
【解答】
解：斜率，故倾斜角为，选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化能力以及计算能力，是中档题．
利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解．
【解答】
解：当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，即，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．
，，，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：过点作直线的垂线，垂足为，设，，则，
结合，可得，解得，所以，可得．
因为，所以，即，解得，可得．
因此，点到直线的距离等于．
故选：．
利用共线向量定理，求出直线上满足的点的坐标，再根据两点间的距离公式算出答案．
本题主要考查空间向量的数量积及其性质、空间两点间的距离公式等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：平面内动点在椭圆上，则为坐标原点的最大值为．
故选：．
由椭圆的性质，直接写出结果即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的应用，长轴的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由是等差数列，得，即，
所以．
故选：．
由题意可知，即，进一步利用即可求解．
本题考查等差数列的前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，分别是，的中点，连接，，，则，
是等边三角形，，
又根据题意可得：平面平面，且交线为，又平面，
平面，又平面，
又根据直三棱柱的性质可知：平面，
平面，，平面，
，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：．
建系，根据向量法即可求解．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：延长交椭圆于，根据对称性可得，
因为，所以，
如图，过，分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为，，
过作，于，设，
根据椭圆的第二定义可得，
令直线的倾斜角为，且，
则，
．
故选：．
延长交椭圆于，根据对称性可得，过，分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为，，过作，于，设，根据椭圆的第二定义可得则，从而求解．
本题考查椭圆的性质，椭圆的第二定义应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：中，当时，直线的方程为：，因为两条直线的斜率互为负倒数，所以两条直线垂直，所以A正确；
中，若两条直线平行，则，解得，所以不正确；
中，直线：整理可得，
联立，解得，，即直线恒过定点，所以C正确；
中，直线：在轴的截距为，在轴的截距为，所以直线在坐标轴上的截距不相等，所以不正确．
故选：．
中，当时，可得直线的方程，可得两条直线的斜率的关系，判断出的真假；中，写出两条直线平行的充要条件，可得的值，判断出的真假，中，将直线整理为，可得直线恒过的定点的坐标，判断出的真假；中，求出直线在坐标轴上的焦距，判断出的真假．
本题考查直线在坐标轴上的截距的求法，两条直线的位置关系的判断方法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
根据已知条件，结合等差数列的性质与等差数列的前项和公式，即可求解．
【解答】
解：在等差数列中，，，设等差数列的公差为，
，，，故AB正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】解：由，所以圆的圆心为，半径，不正确；
因为时，，所以点在上，B正确；
因为圆心到的距离为，所以点在圆内，又点在上，故与圆相交，C正确；
与圆心连线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，最短弦长为，D正确．
故选：．
一般方程化成标准方程可判断；点代入直线方程可判断；根据点在圆内判断；根据与圆心连线与直线垂直时，被圆截得的弦最短判断．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时抛物线：，则，
设，由，消元得，
所以，所以，故A正确；
若平分，则，且，
所以，由，
解得或，所以，所以，
所以，所以，故B错误；
当时抛物线：，则，，所以，
由，则，所以，
所以抛物线在点处的切线方程为，即，故C正确；
若存在点，使得，则，
而，
所以，即，即，显然不符合题意，故D错误．
故选：．
当得到抛物线方程，求出焦点坐标，设，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，即可判断，假设平分，则，求出点坐标，利用焦半径公式求出，从而求出，即可判断；当时得到抛物线方程，求出点坐标，利用导数求出切线方程，即可判断；假设存在点，使得，则，推出矛盾，即可判断．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的应用，属于基础题．
直接利用直线平行的充要条件求出结果．
【解答】
解：直线：与直线：平行，
则：，解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：数列的前项和为，
时，，
时，．
则．
故答案为：．
利用即可得出．
本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为，，
双曲线过点，
，
即，即，
故答案为：．
根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．
本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．
16.【答案】
【解析】解：数列的前项的“均倒数”为，
，
当时，，
，
又当时，，满足，
，．
故答案为：．
由题意得，利用与的关系可得，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：由题设，的中点坐标为，则中线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，
所以上的中线所在直线的方程为．
由题设，边的斜率为，则边高的斜率为，且过，
则边上的高所在直线的方程为，
所以上的高所在直线的方程．
【解析】求的中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；
根据已知求边高的斜率，应用点斜式求直线方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，
所以圆心在直线上，
设圆与轴的交点分别为、，
由圆被轴分成的两段弧长之比为：，得，
所以，圆心的坐标为，
所以圆的方程为；
由点，有，所以点在圆的内部，
假设存在弦被点平分，则，又，所以，
所以的方程为，即，
此时圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，
所以存在弦被点平分，此时直线的方程为．
【解析】由题意可知圆心在直线上，设出圆与轴的交点分别为和，由被轴分成的两段圆弧长之比为：得到的度数，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径和的长，进而得到圆心的坐标，再根据圆心坐标和圆的半径写出圆的方程即可；
假设存在弦被点平分，根据条件，得到，由此求得直线的斜率，再判断直线是否与圆相交即可．
本题考查直线与圆的位置关系，需掌握两直线垂直时斜率的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
19.【答案】证明：，
故，
是以为公比，为首项的等比数列．
解：由知，
，
利用分组求和求出，
化简得．
【解析】利用构造法和等比数列的定义即可求出答案．
首先求出的解析式，再根据分组求和即可求出答案．
本题主要考查了构造法求通项公式，以及分组求和，属于中档题．
20.【答案】证明：连接，设与交点为，连接，如图所示：
因为为正方形，所以，
因为平面，所以，因为，，含于面，
所以平面，所以；
因为底面为正方形，且平面，
所以，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，设直线与平面所成角为，由图可知为锐角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】连接，设与交点为，连接，根据为正方形得到，再利用线面垂直得到，然后利用线面垂直的判定得出平面，进而得到线线垂直；
根据为正方形和平面可知：，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由已知，，解得．
；
Ⅱ，
，
，
两式作差可得：，
得．
【解析】Ⅰ由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，则通项公式可求；
Ⅱ利用错位相减法求解．
本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题．
22.【答案】解：因为双曲线的左、右焦点为，，
所以，双曲线：的渐近线为，因为，
所以到双曲线一条渐近线的距离为：，
则，
所以双曲线：；
证明：由题意可得，，
设直线：，，，
由，消去整理得：，，
则，，
设直线方程，可得，
设直线，可得，
所以，因为，，
所以
，
又，
所以，
所以，化简得，所以，
所以直线的方程为：，
则．
【解析】由题意可得，再由到双曲线一条渐近线的距离可得，进而得到双曲线方程；
设直线：，，，把直线方程代入双曲线方程整理可得：，，求得，方程，求得，两点坐标，再由，求出，即可求出直线的方程，最后由三角形面积公式求出的面积．
本题考查了直线与双曲线位置关系的综合应用，属于难题．
第1页，共1页