18.1.5 三角形的中位线（第三课时）【2024春人教八下数学同步优质教案】

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人教版初中数学八年级下册
18.1.5 三角形的中位线 教学设计
一、教学目标：
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
二、教学重、难点：
重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线.
难点：中位线定理的应用.
三、教学过程：
问题引入
问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？
还有别的方法吗？
知识精讲
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？
【归纳】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？
探究：观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？
猜想：DE∥BC，且DE=BC.
定理证明
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=EC，DE=EF
∴ 四边形ADCF是平行四边形
∴ CF∥DA，CF=DA
∴ CF∥BD，CF=BD
∴ 四边形DBCF是平行四边形
∴ DF∥BC，DF=BC
又∵ DE=DF
∴ DE∥BC，且DE=BC
你还有其它证法吗？
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC.
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF
∴ △ADE≌△CFE (SAS)
∴ AD=CF，∠ADE=∠F
∴ AD∥CF
∴ BD∥CF，BD=CF
∴ 四边形BCFD是平行四边形
∴ DF∥BC，DF=BC
又∵ DE=DF
∴ DE∥BC，且DE=BC
【归纳】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何符号语言：
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，且DE=BC.
学以致用：
问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？
解:分别取OA，OB的中点E，F，连接EF，测量出EF的距离，然后根据三角形的中位线定理可知AB=2EF.
典例解析
例1.如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，求CD的长．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线．
∴MN＝BC＝2，MN∥BC.
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE.
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE.
∴△MNE≌△DCE(AAS)．
∴CD＝MN＝2.
【针对练习】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
解：四边形DEGF是平行四边形．理由如下：
∵D、E是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC.
∵F、G是OB，OC的中点，
∴FG＝BC，FG∥BC.
∴DE＝FG，DE∥FG.
∴四边形DEGF是平行四边形．
例4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD.
∵E、H分别是AB，AD的中点
∴EH//BD，EH=BD
同理FG//BD，FG=BD
∴EH//FG，EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形.
【针对练习】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH=BD，
FG∥BD且FG=BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
例5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE相交于点O.
求证：AF与DE互相平分；
如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
（1）证明：∵点E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF∥AB，AB＝2EF.
∵AB＝2AD，
点D是BA延长线上的一点，
∴AD＝EF，AD∥EF.
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8.
∵EF∥AD，
∴∠EFO＝180°－∠BAC＝90°.
∵EF＝AB＝3，OA＝OF＝AC＝2，
∴在Rt△OEF中，OE＝＝.
∴DO＝OE＝.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若OE=2cm,则CD的长为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
4.如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2000个三角形的周长是( )
A. B. C. D.
5.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=____cm，DF=____cm,EF=____cm,△DEF的周长是_____cm.
6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10cm， AC=6cm， 则四边形ADEF的周长为_____cm.
7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_______.
8.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
9.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
10.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN⊥BN于N点，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的长.
【参考答案】
B
B
C
D
3，4,5.5,12.5
16
15
8.解：∵ □ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=(BD+BC+CD)=15，
即△DOE的周长为15．
9.（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥ BC，DE=BC.
∵CF=BC，
∴DE=FC；
（2）解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC= ．
10.解:延长BN交AC于D.
∵AN⊥BN
∴∠BNA=∠DNA=90°
∵∠BAN=∠DAN，AN=AN
∴△ABN≌△ADN (ASA)
∴AB=AD=12，BN=DN
又∵M是BC的中点
∴MN是△BCD的中位线，且CD=AC-AD=16-12=4
∴MN=CD=2
四、教学反思：
本节课，通过做一做引出三角形的中位线，又从动画演示和理论上进行了验证中位线的性质定理.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.
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