18.2.1 矩形的性质（第一课时）【2024春人教八下数学同步优质教案】

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人教版初中数学八年级下册
18.2.1 矩形的性质 教学设计
一、教学目标：
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
二、教学重、难点：
重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论，会用矩形的性质定理及推论进行推导证明.
难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算.
三、教学过程：
复习回顾
平行四边形的定义，及其边，角，对角线都有哪些性质呢？
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行；即：AD∥BC，AB∥CD
对边相等；即：AB=DC，AD=BC
对角相等；即：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA
对角线互相平分.即：AO=CO，BO=DO
知识精讲
现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.这时的图形是什么图形呢？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
【针对练习】下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（ ）
探究：如图，在平行四边形的活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线，改变这个平行四边形的形状.随着∠α的变化，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其它内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何符号语言：
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD
你能证明矩形的这两个性质吗？
求证：矩形的对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ AB=DC，BC=CB
∴ △ABC≌△DCB (SAS)
∴ AC=BD
即 矩形的对角线相等
典例解析
例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
又 ∠AOB=60°
∴ △OAB是等边三角形
∴ OA=AB=4
∴ AC=BD=2OA=8
【针对练习】一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB=OC= ×AC=×8=4
∵ ∠AOD=120°，∴ ∠AOB=60°
∴ △OAB是等边三角形
∴ AB=OA=4
又 ∠ABC=90°
∴ 在Rt△ABC中，BC===
∴ 矩形的边长分别是4和
例2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
【针对练习】如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
例3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
证明：连接DE.
∵AD =AE,
∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
例4.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
【针对练习】折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，求：的长．
解：四边形为矩形，
，，
；
折叠矩形的一边，使点落在边的点处，
，
由勾股定理得：，
，
；
设，；
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
知识精讲
思考：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
BO=BD=AC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何符号语言：
∵ 在Rt△ABC中，OA=OC
∴ OB=AC.
典例解析
例5.如图，已知、是的两条高，M、N分别为、的中点．求证：．
解：如图，连接，，
、是的两条高，
，，
，是直角三角形，
M为的中点，
是斜边的中线，是斜边的中线，
，，
，
又 N为的中点，
．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对边相等
2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠ACB=30°，AB=2,则OC的长为( )
A.2 B.3 C.2 D. 4
3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4, AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG，则AG的长为( )
A.1 B. C. D.2
4.如图，O是矩形ABCD对角线的交点，∠AOD=120°，AE平分∠BAD，则∠EAC= ______.
5.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12，则四边形ABOM的周长为______.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点.若CD+EF=8,则CD的长为______.
7.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF // BC,分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD. 若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为_____.
8.如图,在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE.求证:△ADE≌ △BCE.
9.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O， 且BE:ED=1:3， AD=6cm.求AE的长.
10.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°, AD+CD=10， AE=2， 求AD的长.
11.如图，在□ABCD中，E、F、G分别为AD、OB、OC的中点，且2AB=AC， 求证: EF=GF.
【参考答案】
C
A
C
15°
20
4
16
8.证明:在矩形ABCD中， AD=BC, ∠A=∠B=90°
∵E是AB的中点
∴AE=BE
∴△ADE≌△BCE (SAS)
9.解:∵四边形ABCD是矩形
∴BO=OD=BD=AC=OA，∠BAD=90°
∵BE:ED=1 :3
∴BE=OE
∵AE⊥BD
∴AB=AO=BO
∴∠ABO=60°∴∠ADE=90°-60°=30°
∴AE=AD=6=3 (cm)
10.解:∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB，∠A=∠B=90°
∴∠ADE+∠DEA=90°
∵△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°
∴DE=EF， ∠BEF+∠DEA=90°
∴∠ADE=∠BEF
∴△ADE≌△BEF (AAS)
∴AD=BE
∵AD+CD=10，AE=2
∴AD+AB=10，即AD+AE+BE=10
∴2AD+2=10，解得，AD=4
11.证明:连接AF.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC，AC=2AO
∵2AB=AC,
∴AB=AO
∵F是OB的中点，
∴AF⊥OB
在Rt△AFD中，EF为斜边AD上的中线∴EF=AD
∵F、G为OB、OC的中点
∴GF=BC
∴EF=GF
四、教学反思：
通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上.
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