18.2.4 菱形的判定（第二课时）【2024春人教八下数学同步优质教案】

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人教版初中数学八年级下册
18.2.4 菱形的判定 教学设计
一、教学目标：
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
二、教学重、难点：
重点：菱形的判定定理的探究.
难点：菱形的性质与判定的综合应用.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
知识精讲
探究：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO
∵ BD⊥AC
∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
∴ □ABCD是菱形
思考：我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
求证：四条边相等四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD，BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
又∵ AB=BC
∴ 四边形ABCD是菱形
【归纳】菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理2：四条边相等四边形是菱形.
定理1几何符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD
∴ 四边形ABCD是菱形
定理2几何符号语言：
∵ AB=BC=CD=AD
∴ 四边形ABCD是菱形
典例解析
例1.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形.
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3
∴ AB2=AO2+BO2
∴ △OAB是直角三角形
∴ AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
【针对练习】一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
解：四边形ABCD是菱形.理由如下：
∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD=
∴ AO=AC=6，BO=BD=
∵ 62+()2=92即 AO2+BO2=AB2
∴ AC⊥BD∴ 四边形ABCD是菱形
∴ S菱形ABCD=×12×=
例2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：四边形ABCD是菱形.理由如下：
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形过点A分别作BC，CD边上
的高AE，AF，则AE=AF.
∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF
∴ BC=CD
∴ 四边形ABCD是菱形
例3.如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形．
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
∵∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
【针对练习】如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
证明：∵ AD是角平分线，
∴∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
例4.如图，在中，，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，的面积为36，求的长．
（1）解：在中，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴为菱形；
（2）解：过点作，如下图：
在菱形中，，，
，
∴，
∴，即
∴，即
解得，
，即，
解得．
【针对练习】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BFDE，∴四边形EBFD为平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形EBFD为菱形；
（2）解：∵四边形EBFD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴，
∴，∴．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形，以下哪个条件不符合要求( )
A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. BC=CD
2.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形
3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判定□ ADCE是菱形的是( )
A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AE
4.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C， D，连接AC， AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )
A.AB平分∠CAD B.CD平分∠ACB C.AB⊥CD D.AB=CD
5.如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的是___________.
6.一边长为5的平行四边形的两条对角线的长分别为24和26，则平行四边形的面积是_______.
7.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为______.
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.求证:四边形AEDF是菱形.
9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.求证:四边形EFGH是菱形.
10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD.
(1)求证: AD=CE;
(2)填空:四边形ADCE的形状是_______，并说明理由.
11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，点F在AD的延长线上，CF⊥AD.
(1)求证:四边形CEHF是菱形;
(2)若四边形CEHF的面积为18,求菱形ABCD的面积.
【参考答案】
B
D
A
D
①②③
312
2
8.证明:∵DF//AB，DE//AC
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵DF//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AF=DF
∴四边形AEDF是菱形
9.证法一:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AD=BC， AB=CD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)
∴HE=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
证法二:连接AC，BD.
∴H，G分别是AD，CD的中点
∴GH=AC
同理，HE=BD，EF=AC，FG=BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴HE=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
10.(1)证明:∵CE//AB
∴∠DAO=∠ECO
∵MN是AC的垂直平分线∴∠AOD=∠COE=90° ,AO=CO
∴△AOD≌△COE (ASA)
∴AD=CE
(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AC⊥DE
∴四边形ADCE是菱形
11.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴∠EAC=∠FAC=30°
∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF=AC
∵点H为对角线AC的中点
∴EH=FH=AC
∴CE=CF=EH=FH ∴四边形CEHF是菱形
(2)解:由题意得S△AEH=S△CEH=S菱形CEHF=9
∴S△ACE=18
在Rt△CBE中，∠CBE=∠BAD=60°
∴∠ECB=30°
∴BC=AB=2BE
∴S△ABC=S△ACE=12
∴S菱形ABCD=2S△ABC=24
四、教学反思：
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用. 通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.
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