2015年沪科版数学九年级上册单元梯度检测精品卷：（八）第23章解直角三角形单元梯度检测B卷
文档属性
| 名称 | 2015年沪科版数学九年级上册单元梯度检测精品卷：（八）第23章解直角三角形单元梯度检测B卷 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 431.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-16 00:00:00 | ||
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文档简介
（八）第23章解直角三角形单元梯度检测B卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝5，点A′的坐标为（3，4），则∠ABO的正切值为……………………………………………【 】
A. B. C. D.2
2.已知＋ ＝90°，则关于x的二次函数y＝tanx2－3x＋tan的图象与坐标轴的交点情况是……………………………………………………………………………【 】
A.有一个交点 B.有两个交点
C.有三个交点 D.无交点
3.如图，在5×5的正方形方格网中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA＋cosB的值为………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
4.已知∠为锐角，且cos∠＝，则∠的取值范围是…………………………【 】
A.0°＜∠＜30° B. 30°＜∠＜45°
C. 45°＜∠＜60° D. 60°＜∠＜90°
5.如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝45°，∠C＝75°，则△ABC的周长为…………【 】
A.2＋2 ＋ B. 2＋ ＋
C. 2＋ ＋ D. 2＋ ＋
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边上的高为2，则图中所有三角形的面积之和为…………………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
7.如图，点D是等腰△ABC外一点，AB＝AC＝5，BC＝6，∠D＝∠A，则∠D的正切值为……………………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
8.如图，两建筑物MN和PQ之间的水平距离NQ＝15m，从P点测得M点的俯角为30°，C点的俯角为60°，则两建筑物MN和PQ的高度分别为………………………【 】
A.15m和20m B. 10m和15m
C. 20m和30m D. 15m和30m
9.如图，我海军某新型舰艇在我国领海南海海域A点以27km/h的速度向目标B点行驶去执行演习任务，在A点测得海上一浮标C点在北偏西10°方向，目标B点在东偏北25°方向，航行2h后到达目标B点，在B点测得浮标C点在北偏西70°方向，则目标B点到浮标C点的距离为………………………………………………………【 】
A.（27＋9）m B. （25＋10）m
C. （25＋10）m D.（20＋5）m
10.如图，我市菱湖公园入口处原有三级台阶，台阶的起点为A点，每级台阶高16cm，深为28cm，为方便残疾人，拟将台阶改为斜坡，改建后斜坡的坡度i＝1︰4，在台阶顶部B点不变的情况下，台阶的起点A点应向前推进的距离是……………………【 】
A. 108cm B. 120cm C. 131cm D.136cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.如图，正方形ABCD的边长为1，将对角线BD绕点B顺时针旋转后，与AB的延长线交于点E，则tan∠E＝___________.21·世纪*教育网
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，S△ABC＝4，则斜边c＝_____________.
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝，两直角边a、b（a＞b）是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＝0的两个根，则Rt△ABC中较小角的余弦值为_______________.2-1-c-n-j-y
14.如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡面AD＝10m，迎水坡角∠DAB＝45°，背水坡角∠CBA＝60°，现对其进行加固，加固后大坝的横断面为梯形AECD，点B在AE上，加固后背水坡面CE的坡度i＝1︰，则加固后背水坡面加长了____________m.
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，∠BDC＝45°，AD＝2DC，试求∠ABD的三个三角函数值.
16.计算：－2(－3.14)0＋(sin30°)﹣1－2cos45°.
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.已知、为锐角.
（1）若sin(90°－)＝，sin＝，求的值；
（2）若＋＝90°，且sin＝，求tan的值.
18.如图，点E是四边形ABCD的边BC上一点，DC⊥BC，∠A＝60°，BE＝，AB＝＋1，AD＝2，S四边形ABED＝，试求∠EBD的度数.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，E、F分别是DA、DC上的点，DE︰EA＝DF︰FC＝1︰2，DA＝DC＝6，试求∠EBF的正弦值.
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴分别交于点C、D，CD＝2，tan∠DCO＝2，点D为BC中点.
（1）试求此双曲线的解析式；
（2）求直线AB的解析式.
六、（本题满分12分）
21.我市为缓解“停车难”问题，市政府计划在市中心广场附近新建地下停车库，如图，为建筑设计师设计的该地下停车库的示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以告知停车人车辆能否将车停入该车库，请你根据图中信息及题意计算该车库的限高DE.（参考数据：sin18°＝0.309，cos18°＝0.95，tan18°＝0.325，结果精确到0.1）21世纪教育网版权所有
七、（本题满分12分）
22.在今年的“中俄海上联合军演”中，我海军一艘军舰上午7时在A处看到东北方向有一座灯塔B,如图所示，此时测得军舰和灯塔相距35海里，我军舰以每小时25海里的速度向北偏东24°方向航行到C处，此时军舰在灯塔的正北方向.（参考数据：sin24°＝0.4，cos24°＝0.9）21教育网
（1）军舰几时到达C处；
（2）当军舰到达C处时，军舰与灯塔相距多远？（结果精确到0.1）
八、（本题满分14分）
23.我校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AD∥BC，斜坡AB
长20m，坡角∠ABC＝68°，为了防止山体滑坡，保障学校师生的人生安全，学校
决定对土坡进行改造，经勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.
（1）求改造前坡顶与地面的距离（结果保留整数）；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶AD前进到点E处，求AE至少应是多少米（精确到0.1m）？ 21cnjy.com
（参考数据：sin68°＝0.9272，cos68°＝0.3746，tan68°＝2.4751，sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.1918）21·cn·jy·com
参考答案
1.C 解析：如下图，过点A′作A′D⊥x轴于点D，∵点A′的坐标为（﹣3，4），则OD＝3，A′D＝4，在Rt△OA′D中，由勾股定理得OA′＝5，又△OA′B≌△OAB，∴OA′＝OA＝5，又OB＝5，∴在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝＝10，∴tan∠ABO＝＝＝，∴C对.
2.C 解析：∵＋ ＝90°，则tan·tan＝1，在关于x的二次函数y＝tanx2－3x＋tan中，当y＝0时，可得tanx2－3x＋tan＝0，△＝（﹣3）2－4 tantan＝9－4＝5＞0，∴二次函数y＝tanx2－3x＋tan的图象与x轴有两个交点，又此函数图象与y轴有一个交点且不为原点（tan≠0），∴此函数图象与坐标轴有三个交点，∴C对. www.21-cn-jy.com
3.A 解析：如下图，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝＝1，∴∠ABD＝45°，∴cos∠ABD＝，由勾股定理得AB＝＝3，AC＝＝，BC＝2，过点C作CE⊥AB于点E，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CE，∴ CE＝ ＝，在Rt△ACE中，sin∠CAE＝＝＝，∴sinA＋cosB＝＋＝，∴A对. 【来源：21·世纪·教育·网】
4.D 解析：∵∠为锐角，∴0°＜∠＜90°，∵＜，cos60°＝，∴cos∠＜cos60°，又锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴∠＞60°，∴60°＜∠＜90°，∴D 对. www-2-1-cnjy-com
5.B 解析：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝2，sin∠A＝，∴CD＝2×sin45°＝，又cos∠A＝，∴AD＝2×cos45°＝，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝75°－45°＝30°，CD＝，cos∠BCD＝，∴BC＝＝，∴DB＝BC＝×＝，∴AB＋BC＋AC＝＋＋＋2＝2＋＋，∴B对. 21*cnjy*com
6.C 解析：在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝2，sinA＝，∴AC＝＝4，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝90°－30°＝60°，CD＝2，sin∠B＝，∴BC＝＝，∴S△ABC＝×BC×AC＝×4×＝，∵S△ADC＋S△BDC＝S△ABC，∴S△ADC＋S△BDC＋S△ABC＝2 S△ABC＝，∴C对.
7.A 解析：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，又∵∠D＝∠BAC，∴∠D＝∠BAE，在Rt△ABE中，AB＝5，BE＝BC＝3，∴由勾股定理得AE＝＝4，∴tan∠BAE＝＝＝tan∠D，∴A对.
8.B 解析：如下图，在Rt△PNQ中，∠Q＝90°，∠PNQ＝∠APN＝60°，NQ＝15，∵tan∠PNQ＝，∴PQ＝NQ·tan60°＝15，在Rt△PAM中，∠A＝90°，∠APM＝30°， AP＝NQ＝15，∵tan∠APM＝，∴AM＝AP·tan30°＝5，∴MN＝AN－AM＝PQ－AM＝10，∴B对.
9.A 解析：如下图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝25°＋90°－70°＝45°，又AB＝27×2＝54，∴由cos∠B＝得DB＝AB×cos45°＝27，由sin∠B＝得AD＝AB×sin45°＝27，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－25°－45°＋10°＝30°，∠ADC＝90°，又AD＝27，∴由tan∠CAD＝得CD＝AD×tan30°＝9，∴BC＝BD＋CD＝27＋9，∴A对. 【来源：21cnj*y.co*m】
10.D 解析：如下图，在Rt△CBD中，BD＝16×3＝48，BC的坡度i＝＝1︰4，∴CD＝4BD＝4×48＝192，又AD＝28×2＝56，∴CA＝CD－AD＝192－56＝136（cm），即台阶的起点A点应向前推进的距离是136cm，∴D对.
11. －1 解析：由勾股定理得BD＝＝，∵BD＝BE＝，∴AE＝AB＋BE＝＋1，在Rt△DAE中，∠A＝90°，AD＝1，∴tan∠E＝＝＝－1. 【出处：21教育名师】
12.4 解析：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，tanB＝，∴＝，∴a ＝b①，又∵S△ABC＝ab＝4，∴ab＝8②，由①②解得b＝2（负值舍去），∴c＝2b＝4.【版权所有：21教育】
13. 解析：由韦达定理得a＋b＝m＋1，ab＝m＞0，又a2＋b2＝c2＝（）2＝3，∴（a＋b）2－2ab＝3，∴（m＋1）2－2m＝3，解得m＝±，∵m＞0，∴m＝，∴原方程为x2－(＋1)x＋＝0，解得a＝，b＝1（a＞b），Rt△ABC中较小角的余弦值为cosB＝＝＝.
14.（10－） 解析：如下图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△DAF中，AD＝10，∠A＝45°，sin∠A＝，∴DF＝ADsin45°＝10×＝5＝CG，在Rt△CBG中，CG＝5，∠CBG＝60°，sin∠CBG＝，∴CB＝＝，在Rt△CEG中，tan∠E＝＝i＝1︰＝，∴∠E＝30°，由sin∠E＝，∴CE＝＝10，∴CE－CB＝10－，∴背水坡面加长了（10－）m.
15.解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，设DC＝x，则AD＝2x，AC＝3x，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，tan∠BDC＝，∴BC＝DCtan45°＝x，在Rt△BDC中，由勾股定理得BD＝＝＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝x，∵S△ABD＝×AD×BC＝×AB×DE，∴DE＝＝＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE＝＝＝，∴sin∠ABD＝＝＝，cos∠ABD＝＝＝，tan∠ABD＝＝＝.2·1·c·n·j·y
16.解：原式＝－2×1＋()﹣1－2×＝－2＋2－＝－.
17.解：（1）∵(90°－)＋＝90°，∴cos＝sin(90°－)＝，∵(90°－)＋＝90°，∴sin ＝ cos (90°－)＝，∴原式＝＝；
（2）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝，∠B＝，sin＝sin∠A＝ ＝，∴可设BC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得AC＝＝＝5x，∴tan＝tan∠B＝＝＝.
18.解：过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△DFA中，DF＝ADsin∠A＝2×＝，AF＝ADcos∠A＝2×＝1， ∵AB＝＋1，∴BF＝AB－AF＝＋1－1＝，在Rt△DFB中，由勾股定理得DB＝＝＝，又∵S四边形ABED＝S△ABD＋S△BED＝，∴AB·DF＋BE·DC＝，∴（＋1）＋DC＝3＋2，解得DC＝，在Rt△DCB中，sin∠CBD＝＝＝，∴锐角∠CBD＝30°，即∠EBD＝30°.21教育名师原创作品
19. 解：如下图，连接DB、EF，过点F作FG⊥EB于点G，∵DE︰EA＝DF︰FC＝1︰2，DA＝DC＝6，∴DE＝DF＝2，AE＝CF＝4，又DB＝DB，∠A＝∠C＝90°，∴△ABD≌△CBD（HL），∴∠ADB＝∠ADC＝30°，AB＝CB，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝,∴AB＝6×＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝＝2，又△ABE≌△CBF（SAS），∴BF＝BE＝2，又△DEF为等边三角形，∴EF＝2，设EG＝x，则BG＝2－x，在Rt△EFG和Rt△BFG中，由勾股定理得FG2＝EF2－EG2＝BF2－BG2，∴22－x2＝（2）2－（2－x）2，解得x＝，∴BG＝2－＝，∴cos∠EBF＝＝＝.21*cnjy*com
20.解：（1）如下图，过点B作BE⊥x轴于点E，在Rt△DCO中，tan∠DCO＝＝2，可设CO＝x，则DO＝2x，由勾股定理得OC2＋OD2＝CD2，又CD＝2，∴x2＋（2x）2＝（2）2，解得x＝2＝CO，∴DO＝4，又点D为BC中点，DO∥BE，∴O为CE的中点，∴EO＝2，BE＝2DO＝8，∴B（2,8），设双曲线解析式为y＝，把B点坐标代入得k＝2×8＝16，∴此双曲线的解析式为y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵CO＝2，DO＝4，∴C（﹣2，0），D（0，4），∵点C、D在直线AB上，∴把C、D两点坐标代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x＋4.
21.解：如图，∵BC∥AF，∴∠B＝∠BAF＝18°，在Rt△BCG中，∠BCG＝90°，BC＝9，∠B＝18°，tan∠B＝，∴CG＝9×tan18°＝9×0.325＝2.925，∴DG＝CG－CD＝2.925－0.5＝2.425，又DE⊥GB于点E，∴∠GDE＋∠DGE＝90°，又∠B＋∠DGE＝90°，∴∠GDE＝∠B＝18°，在Rt△GDE中，∠GED＝90°，DG＝2.281，∠GDE＝18°，cos∠GDE＝，∴DE＝2.425×cos18°＝2.425×0.95＝2.30375≈2.3（m）.答：该车库的限高DE约为2.3m.
22.解：（1）延长CB交AF于点E，则∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，AB＝35，∠BAE＝45°，cos∠BAE＝，∴AE＝35×＝35，∵DA∥CB，∴∠ACE＝∠DAC＝24°，在Rt△ACE中，AE＝35，∠ACE＝24°，sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝87.5，87.5÷25＝3.5（小时），∴军舰10时30分到达C处；
（2）在Rt△AEB中，AB＝35，∠BAE＝45°，sin∠BAE＝，∴BE＝35×＝35，在Rt△ACE中，AE＝35，∠ACE＝24°，cos∠ACE＝，∴CE＝AC×cos24°＝87.5×0.9＝78.75，∴CB＝CE－EB＝78.75－35＝43.75≈43.8（海里）.答：当军舰到达C处时，军舰与灯塔相距约43.8海里.
23.解：（1）如下图，过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠B＝68°，AB＝20，sin∠B＝，∴AF＝AB×sin68°＝20×0.9272＝18.544≈19（m）.答：改造前坡顶与地面的距离约为19米；
（2）如下图，连接BE，过点E作EG⊥BC于点G，由题意可知，当∠EBG＝50°时，AE最小.四边形AFGE为矩形，∴AF＝EG＝18.544，AE＝FG，在Rt△ABF中，∠B＝68°，AB＝20，cos∠B＝，∴BF＝AB×cos68°＝20×0.3746＝7.492，在Rt△EBG中，∠EBG＝50°，EG＝18.544，tan∠EBG＝，∴BG＝＝≈15.560，∴AE＝FG＝BG－BF＝15.560－7.492＝8.068≈8.1（m）.答：AE至少约是8.1米.
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝5，点A′的坐标为（3，4），则∠ABO的正切值为……………………………………………【 】
A. B. C. D.2
2.已知＋ ＝90°，则关于x的二次函数y＝tanx2－3x＋tan的图象与坐标轴的交点情况是……………………………………………………………………………【 】
A.有一个交点 B.有两个交点
C.有三个交点 D.无交点
3.如图，在5×5的正方形方格网中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA＋cosB的值为………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
4.已知∠为锐角，且cos∠＝，则∠的取值范围是…………………………【 】
A.0°＜∠＜30° B. 30°＜∠＜45°
C. 45°＜∠＜60° D. 60°＜∠＜90°
5.如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝45°，∠C＝75°，则△ABC的周长为…………【 】
A.2＋2 ＋ B. 2＋ ＋
C. 2＋ ＋ D. 2＋ ＋
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边上的高为2，则图中所有三角形的面积之和为…………………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
7.如图，点D是等腰△ABC外一点，AB＝AC＝5，BC＝6，∠D＝∠A，则∠D的正切值为……………………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
8.如图，两建筑物MN和PQ之间的水平距离NQ＝15m，从P点测得M点的俯角为30°，C点的俯角为60°，则两建筑物MN和PQ的高度分别为………………………【 】
A.15m和20m B. 10m和15m
C. 20m和30m D. 15m和30m
9.如图，我海军某新型舰艇在我国领海南海海域A点以27km/h的速度向目标B点行驶去执行演习任务，在A点测得海上一浮标C点在北偏西10°方向，目标B点在东偏北25°方向，航行2h后到达目标B点，在B点测得浮标C点在北偏西70°方向，则目标B点到浮标C点的距离为………………………………………………………【 】
A.（27＋9）m B. （25＋10）m
C. （25＋10）m D.（20＋5）m
10.如图，我市菱湖公园入口处原有三级台阶，台阶的起点为A点，每级台阶高16cm，深为28cm，为方便残疾人，拟将台阶改为斜坡，改建后斜坡的坡度i＝1︰4，在台阶顶部B点不变的情况下，台阶的起点A点应向前推进的距离是……………………【 】
A. 108cm B. 120cm C. 131cm D.136cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.如图，正方形ABCD的边长为1，将对角线BD绕点B顺时针旋转后，与AB的延长线交于点E，则tan∠E＝___________.21·世纪*教育网
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，S△ABC＝4，则斜边c＝_____________.
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝，两直角边a、b（a＞b）是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＝0的两个根，则Rt△ABC中较小角的余弦值为_______________.2-1-c-n-j-y
14.如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡面AD＝10m，迎水坡角∠DAB＝45°，背水坡角∠CBA＝60°，现对其进行加固，加固后大坝的横断面为梯形AECD，点B在AE上，加固后背水坡面CE的坡度i＝1︰，则加固后背水坡面加长了____________m.
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，∠BDC＝45°，AD＝2DC，试求∠ABD的三个三角函数值.
16.计算：－2(－3.14)0＋(sin30°)﹣1－2cos45°.
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.已知、为锐角.
（1）若sin(90°－)＝，sin＝，求的值；
（2）若＋＝90°，且sin＝，求tan的值.
18.如图，点E是四边形ABCD的边BC上一点，DC⊥BC，∠A＝60°，BE＝，AB＝＋1，AD＝2，S四边形ABED＝，试求∠EBD的度数.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，E、F分别是DA、DC上的点，DE︰EA＝DF︰FC＝1︰2，DA＝DC＝6，试求∠EBF的正弦值.
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴分别交于点C、D，CD＝2，tan∠DCO＝2，点D为BC中点.
（1）试求此双曲线的解析式；
（2）求直线AB的解析式.
六、（本题满分12分）
21.我市为缓解“停车难”问题，市政府计划在市中心广场附近新建地下停车库，如图，为建筑设计师设计的该地下停车库的示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以告知停车人车辆能否将车停入该车库，请你根据图中信息及题意计算该车库的限高DE.（参考数据：sin18°＝0.309，cos18°＝0.95，tan18°＝0.325，结果精确到0.1）21世纪教育网版权所有
七、（本题满分12分）
22.在今年的“中俄海上联合军演”中，我海军一艘军舰上午7时在A处看到东北方向有一座灯塔B,如图所示，此时测得军舰和灯塔相距35海里，我军舰以每小时25海里的速度向北偏东24°方向航行到C处，此时军舰在灯塔的正北方向.（参考数据：sin24°＝0.4，cos24°＝0.9）21教育网
（1）军舰几时到达C处；
（2）当军舰到达C处时，军舰与灯塔相距多远？（结果精确到0.1）
八、（本题满分14分）
23.我校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AD∥BC，斜坡AB
长20m，坡角∠ABC＝68°，为了防止山体滑坡，保障学校师生的人生安全，学校
决定对土坡进行改造，经勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.
（1）求改造前坡顶与地面的距离（结果保留整数）；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶AD前进到点E处，求AE至少应是多少米（精确到0.1m）？ 21cnjy.com
（参考数据：sin68°＝0.9272，cos68°＝0.3746，tan68°＝2.4751，sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.1918）21·cn·jy·com
参考答案
1.C 解析：如下图，过点A′作A′D⊥x轴于点D，∵点A′的坐标为（﹣3，4），则OD＝3，A′D＝4，在Rt△OA′D中，由勾股定理得OA′＝5，又△OA′B≌△OAB，∴OA′＝OA＝5，又OB＝5，∴在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝＝10，∴tan∠ABO＝＝＝，∴C对.
2.C 解析：∵＋ ＝90°，则tan·tan＝1，在关于x的二次函数y＝tanx2－3x＋tan中，当y＝0时，可得tanx2－3x＋tan＝0，△＝（﹣3）2－4 tantan＝9－4＝5＞0，∴二次函数y＝tanx2－3x＋tan的图象与x轴有两个交点，又此函数图象与y轴有一个交点且不为原点（tan≠0），∴此函数图象与坐标轴有三个交点，∴C对. www.21-cn-jy.com
3.A 解析：如下图，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝＝1，∴∠ABD＝45°，∴cos∠ABD＝，由勾股定理得AB＝＝3，AC＝＝，BC＝2，过点C作CE⊥AB于点E，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CE，∴ CE＝ ＝，在Rt△ACE中，sin∠CAE＝＝＝，∴sinA＋cosB＝＋＝，∴A对. 【来源：21·世纪·教育·网】
4.D 解析：∵∠为锐角，∴0°＜∠＜90°，∵＜，cos60°＝，∴cos∠＜cos60°，又锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴∠＞60°，∴60°＜∠＜90°，∴D 对. www-2-1-cnjy-com
5.B 解析：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝2，sin∠A＝，∴CD＝2×sin45°＝，又cos∠A＝，∴AD＝2×cos45°＝，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝75°－45°＝30°，CD＝，cos∠BCD＝，∴BC＝＝，∴DB＝BC＝×＝，∴AB＋BC＋AC＝＋＋＋2＝2＋＋，∴B对. 21*cnjy*com
6.C 解析：在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝2，sinA＝，∴AC＝＝4，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝90°－30°＝60°，CD＝2，sin∠B＝，∴BC＝＝，∴S△ABC＝×BC×AC＝×4×＝，∵S△ADC＋S△BDC＝S△ABC，∴S△ADC＋S△BDC＋S△ABC＝2 S△ABC＝，∴C对.
7.A 解析：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，又∵∠D＝∠BAC，∴∠D＝∠BAE，在Rt△ABE中，AB＝5，BE＝BC＝3，∴由勾股定理得AE＝＝4，∴tan∠BAE＝＝＝tan∠D，∴A对.
8.B 解析：如下图，在Rt△PNQ中，∠Q＝90°，∠PNQ＝∠APN＝60°，NQ＝15，∵tan∠PNQ＝，∴PQ＝NQ·tan60°＝15，在Rt△PAM中，∠A＝90°，∠APM＝30°， AP＝NQ＝15，∵tan∠APM＝，∴AM＝AP·tan30°＝5，∴MN＝AN－AM＝PQ－AM＝10，∴B对.
9.A 解析：如下图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝25°＋90°－70°＝45°，又AB＝27×2＝54，∴由cos∠B＝得DB＝AB×cos45°＝27，由sin∠B＝得AD＝AB×sin45°＝27，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－25°－45°＋10°＝30°，∠ADC＝90°，又AD＝27，∴由tan∠CAD＝得CD＝AD×tan30°＝9，∴BC＝BD＋CD＝27＋9，∴A对. 【来源：21cnj*y.co*m】
10.D 解析：如下图，在Rt△CBD中，BD＝16×3＝48，BC的坡度i＝＝1︰4，∴CD＝4BD＝4×48＝192，又AD＝28×2＝56，∴CA＝CD－AD＝192－56＝136（cm），即台阶的起点A点应向前推进的距离是136cm，∴D对.
11. －1 解析：由勾股定理得BD＝＝，∵BD＝BE＝，∴AE＝AB＋BE＝＋1，在Rt△DAE中，∠A＝90°，AD＝1，∴tan∠E＝＝＝－1. 【出处：21教育名师】
12.4 解析：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，tanB＝，∴＝，∴a ＝b①，又∵S△ABC＝ab＝4，∴ab＝8②，由①②解得b＝2（负值舍去），∴c＝2b＝4.【版权所有：21教育】
13. 解析：由韦达定理得a＋b＝m＋1，ab＝m＞0，又a2＋b2＝c2＝（）2＝3，∴（a＋b）2－2ab＝3，∴（m＋1）2－2m＝3，解得m＝±，∵m＞0，∴m＝，∴原方程为x2－(＋1)x＋＝0，解得a＝，b＝1（a＞b），Rt△ABC中较小角的余弦值为cosB＝＝＝.
14.（10－） 解析：如下图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△DAF中，AD＝10，∠A＝45°，sin∠A＝，∴DF＝ADsin45°＝10×＝5＝CG，在Rt△CBG中，CG＝5，∠CBG＝60°，sin∠CBG＝，∴CB＝＝，在Rt△CEG中，tan∠E＝＝i＝1︰＝，∴∠E＝30°，由sin∠E＝，∴CE＝＝10，∴CE－CB＝10－，∴背水坡面加长了（10－）m.
15.解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，设DC＝x，则AD＝2x，AC＝3x，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，tan∠BDC＝，∴BC＝DCtan45°＝x，在Rt△BDC中，由勾股定理得BD＝＝＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝x，∵S△ABD＝×AD×BC＝×AB×DE，∴DE＝＝＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE＝＝＝，∴sin∠ABD＝＝＝，cos∠ABD＝＝＝，tan∠ABD＝＝＝.2·1·c·n·j·y
16.解：原式＝－2×1＋()﹣1－2×＝－2＋2－＝－.
17.解：（1）∵(90°－)＋＝90°，∴cos＝sin(90°－)＝，∵(90°－)＋＝90°，∴sin ＝ cos (90°－)＝，∴原式＝＝；
（2）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝，∠B＝，sin＝sin∠A＝ ＝，∴可设BC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得AC＝＝＝5x，∴tan＝tan∠B＝＝＝.
18.解：过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△DFA中，DF＝ADsin∠A＝2×＝，AF＝ADcos∠A＝2×＝1， ∵AB＝＋1，∴BF＝AB－AF＝＋1－1＝，在Rt△DFB中，由勾股定理得DB＝＝＝，又∵S四边形ABED＝S△ABD＋S△BED＝，∴AB·DF＋BE·DC＝，∴（＋1）＋DC＝3＋2，解得DC＝，在Rt△DCB中，sin∠CBD＝＝＝，∴锐角∠CBD＝30°，即∠EBD＝30°.21教育名师原创作品
19. 解：如下图，连接DB、EF，过点F作FG⊥EB于点G，∵DE︰EA＝DF︰FC＝1︰2，DA＝DC＝6，∴DE＝DF＝2，AE＝CF＝4，又DB＝DB，∠A＝∠C＝90°，∴△ABD≌△CBD（HL），∴∠ADB＝∠ADC＝30°，AB＝CB，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝,∴AB＝6×＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝＝2，又△ABE≌△CBF（SAS），∴BF＝BE＝2，又△DEF为等边三角形，∴EF＝2，设EG＝x，则BG＝2－x，在Rt△EFG和Rt△BFG中，由勾股定理得FG2＝EF2－EG2＝BF2－BG2，∴22－x2＝（2）2－（2－x）2，解得x＝，∴BG＝2－＝，∴cos∠EBF＝＝＝.21*cnjy*com
20.解：（1）如下图，过点B作BE⊥x轴于点E，在Rt△DCO中，tan∠DCO＝＝2，可设CO＝x，则DO＝2x，由勾股定理得OC2＋OD2＝CD2，又CD＝2，∴x2＋（2x）2＝（2）2，解得x＝2＝CO，∴DO＝4，又点D为BC中点，DO∥BE，∴O为CE的中点，∴EO＝2，BE＝2DO＝8，∴B（2,8），设双曲线解析式为y＝，把B点坐标代入得k＝2×8＝16，∴此双曲线的解析式为y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵CO＝2，DO＝4，∴C（﹣2，0），D（0，4），∵点C、D在直线AB上，∴把C、D两点坐标代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x＋4.
21.解：如图，∵BC∥AF，∴∠B＝∠BAF＝18°，在Rt△BCG中，∠BCG＝90°，BC＝9，∠B＝18°，tan∠B＝，∴CG＝9×tan18°＝9×0.325＝2.925，∴DG＝CG－CD＝2.925－0.5＝2.425，又DE⊥GB于点E，∴∠GDE＋∠DGE＝90°，又∠B＋∠DGE＝90°，∴∠GDE＝∠B＝18°，在Rt△GDE中，∠GED＝90°，DG＝2.281，∠GDE＝18°，cos∠GDE＝，∴DE＝2.425×cos18°＝2.425×0.95＝2.30375≈2.3（m）.答：该车库的限高DE约为2.3m.
22.解：（1）延长CB交AF于点E，则∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，AB＝35，∠BAE＝45°，cos∠BAE＝，∴AE＝35×＝35，∵DA∥CB，∴∠ACE＝∠DAC＝24°，在Rt△ACE中，AE＝35，∠ACE＝24°，sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝87.5，87.5÷25＝3.5（小时），∴军舰10时30分到达C处；
（2）在Rt△AEB中，AB＝35，∠BAE＝45°，sin∠BAE＝，∴BE＝35×＝35，在Rt△ACE中，AE＝35，∠ACE＝24°，cos∠ACE＝，∴CE＝AC×cos24°＝87.5×0.9＝78.75，∴CB＝CE－EB＝78.75－35＝43.75≈43.8（海里）.答：当军舰到达C处时，军舰与灯塔相距约43.8海里.
23.解：（1）如下图，过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠B＝68°，AB＝20，sin∠B＝，∴AF＝AB×sin68°＝20×0.9272＝18.544≈19（m）.答：改造前坡顶与地面的距离约为19米；
（2）如下图，连接BE，过点E作EG⊥BC于点G，由题意可知，当∠EBG＝50°时，AE最小.四边形AFGE为矩形，∴AF＝EG＝18.544，AE＝FG，在Rt△ABF中，∠B＝68°，AB＝20，cos∠B＝，∴BF＝AB×cos68°＝20×0.3746＝7.492，在Rt△EBG中，∠EBG＝50°，EG＝18.544，tan∠EBG＝，∴BG＝＝≈15.560，∴AE＝FG＝BG－BF＝15.560－7.492＝8.068≈8.1（m）.答：AE至少约是8.1米.