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人教八下数学
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2024春人教版八（下）数学同步精品课件
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的性质（2）
第十八章 平行四边形
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点）
学习目标
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？
猜想：在□ ABCD中，OA=OC，OB=OD.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AD=BC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △AOD≌△COB (ASA)
∴ OA=OC，OB=OD
平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.
问题：平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
∵ △ADO与△ODC等底同高
∴ S△ADO=S△ODC
同理可得 S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB
例1.如图，在□ ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BC=AD=8，CD=AB=10
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，根据勾股定理，
又∵OA=OC，
∴OA=AC=3，
S□ABCD=BC AC=8×6=48.
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为
2×(BC+CD)=20．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵ □ ABCD的周长为60cm，
∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
【点睛】平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
例2.已知□ ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
例3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
例4.如图，□ ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（ASA）,
∴OE=OF.
思考：改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
如图，□ ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交CD，AB所在直线于点E，F.求证：OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴∠ODE=∠OBF,
∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF.
如图，□ ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交BC，AD所在直线于点E，F.求证：OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC, OA=OC,
∴∠OEC=∠OFA,
∠COE=∠AOF,
∴△DOE≌△BOF（AAS）,
∴OE=OF.
【点睛】过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
如图，□ ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交平行四边形各边所在直线于点E，F.则OE=OF.
例5.如图，AC，BD交于点O，EF过点O，平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线EF交AD，BC于点N，M.
∵AD∥BC
∴∠NAO=∠MCO，∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB=S△AOB+S△COB
= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
如图，AC，BD交于点O，EF过点O，平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
【点睛】过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
1.如图，在□ ABCD中，AC，BD交于点O，则下列结论中错误的是( )
A.OA=OC B.∠ABC=∠ADC
C.AB=CD D.AC=BD
2.如图，□ ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则□ ABCD的两条对角线长的和是( )
A.18 B.28
C.36 D.46
D
C
3.如图，在□ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )
A.10C.2B
4.如图，在□ ABCD中，AC、BD为对角线，BC=9，BC边上的高为6，则阴影部分的面积为______.
5.如图，EF过□ ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若□ ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为______.
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6.如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的周长小，求的长．
解：四边形是平行四边形，
，．
的周长比的周长小，
，
，
，
．
7.在平行四边形 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO=1.5cm，AB=5cm，BC=4cm，求平行四边形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∵，即，
∴为直角三角形，且为直角，
∴BD为平行四边形 ABCD底边AD上的高，
∴．
8.如图，在□ ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且BE// DF．
求证：BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OB=OD
∵BE//DF
∴∠BEO=∠DFO
又∵∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF (AAS)
∴BE=DF
9.如图，□ ABCD和□ EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，
求证：AE=CF.
证明:连接BD交AC于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO
∵四边形EBFD是平行四边形
∴EO=FO
∴AO-EO=CO-FO
即AE=CF
O
10.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD,过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少
解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD
∵OE⊥BD
∴BE=DE
∵△CDE的周长为10
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20
11.如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB⊥AC,∠DAC=45°，AC=2，求BD的长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AO=CO=1，BO=DO
∴∠ACB=∠DAC=45°
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴AB=AC=2
11.如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB⊥AC,∠DAC=45°，AC=2，求BD的长.
在Rt△ABO中，根据勾股定理
BO===
∴BD=2BO=2
平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.
谢谢
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