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18.1 平行四边形
18.1.5 三角形的中位线
第十八章 平行四边形
1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.(重点)
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点)
问题:A、B两地被池塘隔开,如何测量A、B两地的距离呢?你能用学过的知识来解决吗?
E
F
O
还有别的方法吗?
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
猜想:增加的线段与它所对的边有什么关系?
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
观察下图,你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗?度量一下,DE与BC之间有什么数量关系?
猜想:DE∥BC,且DE=BC.
如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,且DE= BC.
证明:延长DE到F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
∵ AE=EC,DE=EF
∴ 四边形ADCF是平行四边形
∴ CF∥DA,CF=DA
∴ CF∥BD,CF=BD
∴ 四边形DBCF是平行四边形
∴ DF∥BC,DF=BC
又∵ DE= DF
∴ DE∥BC,且DE= BC
如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,且DE= BC.
证明:延长DE到F,使EF=DE,连接FC.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF
∴ △ADE≌△CFE (SAS)
∴ AD=CF,∠ADE=∠F
∴ AD∥CF
∴ BD∥CF,BD=CF
∴ 四边形BCFD是平行四边形
∴ DF∥BC,DF=BC
又∵ DE= DF
∴ DE∥BC,且DE= BC
三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC,且DE= BC.
E
F
问题:A、B两地被池塘隔开,如何测量A、B两地的距离呢?你能用学过的知识来解决吗?
解:分别取OA,OB的中点E,F,连接EF,测量出EF的距离,然后根据三角形的中位线定理可知AB=2EF.
例1.如图,在△ABC中,点M,N分别是AB,AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,求CD的长.
解:∵M,N分别是AB和AC的中点,
∴MN是△ABC的中位线.
∴MN=BC=2,MN∥BC.
∴∠NME=∠D,∠MNE=∠DCE.
∵点E是CN的中点,
∴NE=CE.
∴△MNE≌△DCE(AAS).
∴CD=MN=2.
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点,∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN的度数.
解:∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点,
∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线,
∴PM=AB,PN=DC,PM∥AB,PN∥DC,
∵AB=CD,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
∵PM∥AB,PN∥DC,
∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°,
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°,
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°.
证明:取AC的中点F,连接BF.
∵BD=AB,
∴BF为△ADC的中位线,∴DC=2BF.
∵E为AB的中点,AB=AC,
∴BE=CF,∠ABC=∠ACB.
∵BC=CB,∴△EBC≌△FCB,
∴CE=BF,
∴CD=2CE.
F
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AB的中点,在AB的延长线上取一点D,使BD=AB,求证:CD=2CE.
例3.如图,D、E是△ABC边AB,AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G是OB,OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并证明.
解:四边形DEGF是平行四边形.理由如下:
∵D、E是△ABC边AB,AC的中点,
∴DE=BC,DE∥BC.
∵F、G是OB,OC的中点,
∴FG=BC,FG∥BC.
∴DE=FG,DE∥FG.
∴四边形DEGF是平行四边形.
例4.如图,E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD.
∵E、H分别是AB,AD的中点
∴EH//BD,EH=BD
同理FG//BD,FG=BD
∴EH//FG,EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形.
如图,E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点.求证:四边形EFGH为平行四边形.
证明:如图,连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点,
∴EH是△ABD的中位线,
FG是△BCD的中位线,
∴EH∥BD且EH=BD,
FG∥BD且FG=BD,
∴EH∥FG且EH=FG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
例5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使得AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE相交于点O.
(1)求证:AF与DE互相平分;
证明:∵点E,F分别是BC,AC的中点,
∴EF∥AB,AB=2EF.
∵AB=2AD,
点D是BA延长线上的一点,
∴AD=EF,AD∥EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
(2)如果AB=6,BC=10,求DO的长.
解:在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,
∴AC==8.
∵EF∥AD,
∴∠EFO=180°-∠BAC=90°.
∵EF=AB=3,OA=OF=AC=2,
∴在Rt△OEF中,OE==.
∴DO=OE=.
1.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若
BC=6,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.如图,在□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,若OE=2cm,则CD的长为( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.6cm
B
B
3.如图,已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增长
B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
C
4.如图,已知△ABC的周长为1,它的三条中位线组成第二个三角形,第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形,依次类推,第2000个三角形的周长是( )
A. B.
C. D.
D
5.如图,D、E、F分别是△ABC各边的中点,且AB=11cm、
BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=____cm,DF=____cm,
EF=____cm,△DEF的周长是_____cm.
6.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,
AB=10cm, AC=6cm, 则四边形ADEF的周长为_____cm.
3
4
5.5
12.5
16
7.如图,□ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为_______.
15
8.如图,□ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,求△DOE的周长.
解:∵ □ ABCD的周长为36,
∴BC+CD=18.
∵点E是CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,DE=CD,
∴OE=BC,
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=(BD+BC+CD)=15,
即△DOE的周长为15.
证明:∵D、E分别为AB、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥ BC,DE=BC.
∵CF=BC,
∴DE=FC;
9.如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.
(1)求证:DE=CF;
9.如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.
(2)求EF的长.
解:∵DE∥FC,DE=FC,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴DC=EF,
∵D为AB的中点,等边△ABC的边长是2,
∴AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2,
∴EF=DC= .
10.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AN⊥BN于N点,AN平分∠BAC, 且AB=12, AC=16, 求MN的长.
解:延长BN交AC于D.
∵AN⊥BN
∴∠BNA=∠DNA=90°
∵∠BAN=∠DAN,AN=AN
∴△ABN≌△ADN (ASA)
∴AB=AD=12,BN=DN
又∵M是BC的中点
∴MN是△BCD的中位线,且CD=AC-AD=16-12=4
∴MN=CD=2
三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC,且DE= BC.
谢谢
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