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18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 菱形的性质
第十八章 平行四边形
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
有一个角是直角
平行四边形
矩形
如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）
D
C
A
B
C
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？
从中你能得到菱形的哪些性质？
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC
求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，OB=OD
∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形
的三线合一)
同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
S菱形ABCD=4S△ABO
=4× AO×BO
= ×2AO×2BO
= ×AC×BD
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3＝12 (cm)．
例1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，BD=2OB，AC=2AO=8 在Rt△AOB中，
OB= = =3
∴ BD=6
例2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长.
解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形
∴ AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°
在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10
BO= = =10
∴ 花坛的两条小路长 AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20(m)
花坛的面积S菱形ABCD=AC·BD=200(m2)
已知菱形的两对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6
∴ AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3
在Rt△AOB中，
AB= = =5
∴ C菱形ABCD=4×5=20
S菱形ABCD= ×6×8=24
例3.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E， CF⊥AD于F.求证:AE=AF.
证明:连接AC.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD,即∠EAC=∠FAC
∵CE⊥AB,CF⊥AD
∴∠AEC=∠AFC=90°
又AC=AC
∴△ACE≌△ACF (AAS)
∴AE=AF
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵AB= = =13
∴ C菱形ABCD=4×5=20
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝.
【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
例4.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=×180°=60°，
∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
∴AB=2cm，
∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，
OB= = cm
∴BD=2OB=2cm；
（2）S菱形ABCD=AC BD=×2×2=2 (cm2)．
【点睛】菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
1.菱形具有而一-般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中， AB=5， ∠BCD=120°，则对角线AC的长是( )
A. 20 B.15 C.10 D.5
3.菱形两条对角线分别为6和4,则菱形的周长是( )
A.24 B.16 C.4 D.2
C
D
C
4.如图，在菱形ABCD中，AB=5， AC=6, 过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )
A. B. C.4 D.
D
5.如图，P为线段AB上的一个点，分别以AP, PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P， C， E在一条直线上.若∠DAP=60°, AP2+3PB2=1，M，N分别是对角线AC，BE的中点，则MN的长为( )
A. B. C.1 D.4
A
6.菱形的周长是8,则菱形的一边长是______.
7.菱形的面积为24，一对角线长为6，则另一对角线长为_____，边长为_____.
8.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边均为16cm,若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=______度.
2
8
5
120
9.如图，菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，
点E在AB 上，且BE=BO，则∠EOA=_____度.
25
10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2， 则线段EF长的最小值是______.
11.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF.
求证:∠AEF=∠AFE.
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，∠B=∠D
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
12.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证:∠DHO=∠DCO.
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AB // CD,OB=OD
∴∠DCO+∠CDO=90°,∠CDO=∠HBO
∵DH⊥AB
∴OH是Rt△BDH斜边BD上的中线
∴OH=OB
∴∠OHB=∠HBO ∴∠OHB=∠CDO
∵∠DHO+∠OHB=90° ∴∠DHO=∠DCO
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC
谢谢
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