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18.2 特殊的平行四边形
18.2.4 菱形的判定
第十八章 平行四边形
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）
1.菱形的定义：
2.菱形的性质：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的四条边都相等；菱形的两条对角.
线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC.
求证：□ ABCD是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO
∵ BD⊥AC
∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
∴ □ABCD是菱形
我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
求证：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD，BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形又
∵ AB=BC
∴ 四边形ABCD是菱形
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
例1.如图，□ ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3
∴ AB2=AO2+BO2
∴ △OAB是直角三角形
∴ AC⊥BD
∴ □ ABCD是菱形
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
解：四边形ABCD是菱形.理由如下：
∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD=6
∴ AO=AC=6，BO=BD=3
∵ 62+(3)2=92
即 AO2+BO2=AB2
∴ AC⊥BD
∴ 四边形ABCD是菱形
∴ S菱形ABCD=×12×6=36
例2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：四边形ABCD是菱形.理由如下：
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形
过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，则AE=AF.
∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF
∴ BC=CD
∴ 四边形ABCD是菱形
例3. 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形．
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
∵∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
证明：∵ AD是角平分线， ∴∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
例4.如图，在中，，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，的面积为36，求的长．
（1）解：在中，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴为菱形；
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，的面积为36，求的长．
（2）解：过点作，如右图：
在菱形中，，，
，
∴，
∴，即
∴，即
解得，
，即，
解得．
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BFDE，∴四边形EBFD为平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
（2）解：∵四边形EBFD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴，
∴，∴．
1.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形，以下哪个条件不符合要求( )
A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. BC=CD
2.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形
C.矩形 D.对角线相等的四边形
B
D
3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判定□ ADCE是菱形的是( )
A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AE
A
4.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C， D，连接AC， AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )
A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB
C. AB⊥CD D. AB=CD
D
5.如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的是___________.
①②③
6.一边长为5的平行四边形的两条对角线的长分别为24和26，则平行四边形的面积是_______.
7.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为______.
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2
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.
求证:四边形AEDF是菱形.
证明:∵DF//AB，DE//AC
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵DF//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AF=DF
∴四边形AEDF是菱形
9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.
求证:四边形EFGH是菱形.
证法一:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AD=BC， AB=CD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)
∴HE=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.
求证:四边形EFGH是菱形.
证法二:连接AC，BD.
∴H，G分别是AD，CD的中点
∴GH=AC
同理，HE=BD，EF=AC，FG=BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴HE=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD.
(1)求证: AD=CE;
(2)填空:四边形ADCE的形状是_______，并说明理由.
(1)证明:∵CE//AB
∴∠DAO=∠ECO
∵MN是AC的垂直平分线∴∠AOD=∠COE=90° ,AO=CO
∴△AOD≌△COE (ASA)
∴AD=CE
10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD.
(1)求证: AD=CE;
(2)填空:四边形ADCE的形状是_______，并说明理由.
(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AC⊥DE
∴四边形ADCE是菱形
菱形
11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，点F在AD的延长线上，CF⊥AD.
(1)求证:四边形CEHF是菱形;
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴∠EAC=∠FAC=30°
∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF=AC
∵点H为对角线AC的中点
∴EH=FH=AC
∴CE=CF=EH=FH ∴四边形CEHF是菱形
11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，点F在AD的延长线上，CF⊥AD.
(2)若四边形CEHF的面积为18,求菱形ABCD的面积.
(2)解:由题意得S△AEH=S△CEH=S菱形CEHF=9
∴S△ACE=18
在Rt△CBE中，∠CBE=∠BAD=60°
∴∠ECB=30°
∴BC=AB=2BE
∴S△ABC=S△ACE=12
∴S菱形ABCD=2S△ABC=24
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
谢谢
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