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人教八下数学
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2024春人教版八（下）数学同步精品课件
18.2 特殊的平行四边形
18.2.5 正方形
第十八章 平行四边形
1.理解正方形的概念;
2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别; (重点)
3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题.(难点)
学习目标
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
正方形的四个角都是_____，四条边都_____.因此，正方形既是______，又是______，它既有______的性质，又有______的性质.
正方形(square)是我们熟悉的几何图形.
直角
相等
矩形
菱形
矩形
菱形
正方形有哪些性质？
对边平行、四边相等;
四个角都是直角;
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
实验一：利用手中矩形纸片用最快的方法剪出一个正方形.
实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？
1.如果四边形ABCD已经是一个矩形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
2.如果四边形ABCD已经是一个菱形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等
例1.求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2.如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.
求证：∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
【点睛】因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
例3.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:连接PC，AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ，PF⊥DC,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=EF.
【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
M
例4.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．
四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
例5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.四个角都是直角
C.四条边都相等 D.对角线互相垂直
2.已知四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°， 如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
B
D
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时， 它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
D
4.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D
→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )
A.2 B.4-π C. π D. π-1
B
5.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，
点E在BD上，且BE=CD， 则∠BEC的度数为_________.
7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，
点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE
的和最小，则这个最小值为________.
3
67.5°
2
8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上,且DE//CA，DF // BA.
(1)四边形AEDF是______________；
(2)如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是_________；
(3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是_________；
(4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边
形AEDF是__________.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
9.如图，在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连接AF、BD，延长BD交AF于H.求证: BH⊥AF.
证明:∵四边形AEDC和BCFG是正方形∴AC=DC，CF=CB， ∠ACF=∠BCF=90°
∴△ACF≌△DCB (SAS)
∴∠AFC=∠DBC
又∵∠AFC+∠CAF=90°
∴∠DBC+ ∠CAF=90°
∴∠AHB=90° 即 BH⊥AF
10.如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求证: AQ平分∠DAP.
证明:延长AQ交BC延长线与E.
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，AD// BC
∵∠D=∠QCE，∠DAQ=∠E
又∵DQ=CQ
∴△ADQ≌△ECQ (AAS)
∴AD=CE
10.如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求证: AQ平分∠DAP.
∴CD=CE
∴AP=CD+CP=CE+CP=EP
∴∠PAQ=∠E
∴∠PAQ=∠DAQ，即AQ平分∠DAP
11.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.
(1)证明四边形EGFH是平行四边形;
(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC， 且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形.
证明: (1)∵ G，F，H分别是BE，BC，CE的中点∴GF//CE，FH//BE
∴GF//EH，FH//GE
∴四边形EGFH是平行四边形
(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC， 且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形.
证明: (2) 连接EF.
∵BF=CF，EF⊥BC
∴BE=CE
∴GE=EH
∴四边形EGFH是菱形
∵EF=BC,EF⊥BC
∴BF=EF=CF
∴∠BEF=∠CEF=45°
∴∠BEC=90°
∴四边形EGFH是菱形且∠BEC=90°
∴四边形EGFH是正方形
正方形有哪些性质？
对边平行、四边相等;
四个角都是直角;
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
谢谢
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