18.1.2 平行四边形的判定（第二课时）课件（共29张PPT）【2024春人教八下数学同步优质课件含动画】

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18.1 平行四边形
18.1.4 平行四边形的判定（2）
第十八章 平行四边形
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.（重点）
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点）
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1.如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，EB∥FD
∵ E，F分别是AB，CD的中点
∴ EB=AB，FD=CD
∴ EB=FD
∴ 四边形EBFD是平行四边形
如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝BC，FD＝AD，
∴BE＝DF.又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
例2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD
∴ ∠AED=∠CFB=90°，∠AEF=∠CFE=90°
∴ AE∥CF
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AD=BC
∴ ∠ADE=∠CBF
∴ △ADE≌△CBF (AAS)
∴ AE=CF
∴ 四边形AFCE是平行四边形
例3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
解：BF＝CE．理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD，
∴∠FBD=∠FDB.
∴BF=FD.
∴BF＝CE.
例4.如图，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴CE∥D′B，CE=D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形.
【点睛】此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=
∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
1.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A.AB=CD B.BC//AD
C.∠A=∠C D.BC=AD
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
B
3.在四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，则下列结论中错误的是( )
A.∠A=∠C B.AD // BC C.∠A=∠B D.对角线互相平分
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
C
B
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC//AD;
④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有______种.
4
6.(1)在平面直角坐标系中，□ OABC的三个顶点分别为O(0，0)、A(3，0)、B(4，2)，则其第四个顶点的坐标是__________.
(2)在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是(0，0)、(5，0)、(2，3)，若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则C点的坐标为____________________________.
(1，2)
(3，-3)或(-3，3)或(7，3)
7.如图，已知在□ ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点且AE=CF．
求证：BE//FD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∵AE=CF
∴AD-AE=BC-CF
即DE=BF
又∵ED//BF
∴四边形BFDE是平行四边形
∴BE//FD
8.如图，在□ABCD中，BN=DM，BE=DF，求证:四边形MENF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC//AD
∴∠EBN= ∠FDM
∵BN=DM，BE=DF
∴△EBN≌△FDM (SAS)
∴EN=FM，∠BEN= ∠DFM
∴∠FEN=∠EFM
∴EN// FM
∴四边形MENF是平行四边形
9.如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE.
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，BF＝4，求AD的长．
解：在Rt△BEF中，
∵BE＝5，BF＝4，
∴EF＝＝＝3.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3.
由(1)得四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3.
10.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=15cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示:
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
t
12-t
15-2t
2t
(1)用含t的代数式表示:
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形
t
12-t
15-2t
2t
解:(2)∵AD// BC
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t
解得t=5
∴t=5s时，四边形APQB是平行四边形.
(1)用含t的代数式表示:
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形
t
12-t
15-2t
2t
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形. ∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
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