黑龙江省大庆市大庆名校2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 （解析版）

大庆中学2023-2024学年度下学期开学考试
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一 单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知，，且满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
4. 计算（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(　　)
A. 0.45 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.75
8. 函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为（ ）
A B. C. D.
二 多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9. 已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 椭圆的两个焦点分别为和
C. 椭圆的离心率等于
D. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
10. 双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该曲线两顶点的距离为
B. 该曲线与双曲线有相同的渐近线
C. 该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D. 该曲线与直线：，有且仅有一个公共点
11. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D. 的坐标为
12. 已知函数的图象为C，则（ ）
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C关于点中心对称
C. 将的图象向左平移个单位长度可以得到图象C
D. 若把图象C向左平移个单位长度，得到函数图象，则函数是奇函数
三 填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
14. 已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为________．
15. 已知圆与直线相切于点，则直线方程为__，设直线与圆相交于，两点，则__.
16. 如图，已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，且，则球O的半径为__________．则球O的表面积为__________．
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
18. 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．
19. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
（1）求抛物线方程；
（2）求弦的长度；
20. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值．
21. 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.
22. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的离心率e=，直线过A（a，0），B（0，－b）两点，原点O到的距离是
（1）求双曲线的方程？
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若=－23，求直线m的方程？
大庆中学2023-2024学年度下学期开学考试
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一 单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“，”的否定为：“，”.
故选：B.
3. 已知，，且满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时取等号．
所以的最小值为.
故选：C
4. 计算（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简，再结合换底公式即可求解
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题
5. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的数量积即可求解.
【详解】，，
，.
又，.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
6. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．
故选B．
考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.
7. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(　　)
A. 0.45 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.75
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.
∴目标是被甲击中的概率是
故选D
8. 函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性排除B；结合函数值的正负，得到正确结果.
【详解】因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)<0；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，
故选：A．
二 多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9. 已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 椭圆的两个焦点分别为和
C. 椭圆的离心率等于
D. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
椭圆方程化为标准方程，求出，然后判断各选项．
【详解】由已知椭圆标准方程为，则，∴．
长轴长为，A正确；两焦点为，B错误；离心率为，C正确；
代入椭圆方程得，解得，∴，D正确．
故选：ACD．
10. 双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该曲线两顶点的距离为
B. 该曲线与双曲线有相同的渐近线
C. 该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D. 该曲线与直线：，有且仅有一个公共点
【答案】CD
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，确定双曲线的几何性质，求出顶点坐标得距离判断A，求出双曲线的渐近线方程判断B，由双曲线上点到焦点距离的最小值的结论判断C，根据渐近线的性质判断D．
【详解】由已知双曲线中，则，顶点为和，距离为2，A错；
该双曲线的渐近线方程是，而双曲线的渐近线方程是，不相同，B错；
该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，C正确；
直线与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D正确，
故选：CD．
11. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D. 的坐标为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.
【详解】由抛物线：，可得，故D错误；
由抛物线的定义可得，所以，故A正确；
因为点在抛物线上，
所以，所以，故B错误；
则，故C正确.
故选：AC.
12. 已知函数的图象为C，则（ ）
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C关于点中心对称
C. 将的图象向左平移个单位长度可以得到图象C
D. 若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用代入检验法可判断AB的正误，利用图象变换可判断CD的正误.
【详解】当时，，
故图象C关于直线对称，故A正确.
当时，，
故图象C不关于点中心对称，故B不正确.
将的图象向左平移个单位长度可以得到图象对应的解析式为，故C正确.
若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故，
而，故不是奇函数，故D错误.
故选：AC.
三 填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程求出右焦点为F(2，0)，然后把代入双曲线的渐近线方程中求出的值，可得A，B两点的纵坐标，从而可求出|AB|的值
【详解】双曲线右焦点为F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为，将x＝2代入，得y2＝12，，
故|AB|＝.
故答案为：
【点睛】此题考查双曲线的性质，属于基础题
14. 已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据已知求出，根据即得的面积.
【详解】
因为＝0，所以⊥，
所以△是直角三角形．
由椭圆定义知||＋||＝6，①
又，②
由－②得，
因为，
所以.
故答案为：20.
15. 已知圆与直线相切于点，则直线的方程为__，设直线与圆相交于，两点，则__.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】
先代入切点的坐标求出，再求出圆心的坐标，利用圆的切线与过切点的半径垂直求出直线的斜率，从而求出直线的方程；再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长.
【详解】将点代入圆的方程，得，即，
圆心坐标为，，得切线的斜率为.
直线的方程为：，即：；
圆的圆心坐标为，半径为2，
则到直线的距离为，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：利用垂径定理求弦长是解题关键.本题考查运算求解能力，是中档题.
16. 如图，已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，且，则球O的半径为__________．则球O的表面积为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由题意得，正三角形的外接圆半径为，则，可求球的表面积.
【详解】
设正的外接圆圆心为，知，在中，
∵球心O到平面ABC的距离为1，
∴，∴球O的表面积为．
故答案为：①2；②.
【点睛】本题主要考查球的表面积，关键是构造的直角三角形中找半径.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得出，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
【详解】（1），，，
，
由正弦定理得，整理得，
，
，；
（2）在中，，，
由余弦定理知，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，
，因此，面积的最大值为.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
18. 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．
【答案】（1）m=0.1，平均时间为5.08；（2）
【解析】
【分析】(1)首先根据概率之和为1即可计算出的值，然后通过计算每一组的概率乘时间并求和即可计算出平均学习时间；
(2)本题首先可以通过分层抽样相关性质来确定以及两组中所抽取的人数，然后写出从6人中抽取2人的所有可能事件以及恰有一人在组中的所有可能事件，两者相除，即可得出结果．
【详解】（l）由直方图可得：，所以，
学生的平均学习时间：；
（2）由直方图可得：中有人，中有人，
根据分层抽样，需要从中抽取人分别记为，
从中抽取人分别记为，
再从这人中抽取人，所有的抽取方法有共15种，
其中恰有一人在组中的抽取方法有
共8种，
所以，从这人中抽取人，恰有人在组中的概率为．
【点睛】本题考查了频率分布直方图的相关性质以及分层抽样的相关性质，考查了补全频率分布直方图以及利用频率分布直方图求平均数，考查了分层抽样的使用以及概率的求法，考查了推理能力，是中档题．
19. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
（1）求抛物线方程；
（2）求弦的长度；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程；
（2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求.
【小问1详解】
由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点，
所以，则抛物线方程为.
【小问2详解】
由（1）知：抛物线焦点为，则直线，
代入抛物线消去y，得，则，显然，
所以，，则.
20. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成角的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】(1)先证明PD⊥平面ABM，再证明平面ABM⊥平面PCD.(2) 设平面ABM与PC交于点N，连接BN，MN，再证明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，再解三角形求得直线PC与平面ABM所成的角的正切值.
【详解】（1）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N，连接BN，MN，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD.
由(1)知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM＝∠PCD，tan∠PNM＝tan∠PCD＝＝2.
即所求角的正切值为2.
【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
21. 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.
【答案】（1）椭圆方程为，离心率为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率；
（2）直线方程为，联立椭圆方程，得到，求出，并求出点到直线的距离，计算出三角形面积.
【小问1详解】
由题意得，，解得，
故，
故椭圆的标准方程为，
离心率为；
【小问2详解】
直线方程为，联立得，
，解得，
故，
不妨设，
故，
点到直线的距离为，
故.
22. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的离心率e=，直线过A（a，0），B（0，－b）两点，原点O到的距离是
（1）求双曲线的方程？
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若=－23，求直线m的方程？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程；
（2）设出直线m方程，点M、N坐标，直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，代入数量积计算出参数，得直线方程．
【详解】（1）由题意直线的方程为，即，
所以，又，
解得a2=3，b2=1
双曲线方程为
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）
∵B（0，－1）， 直线m的斜率显然存在
∴设直线m方程为y+1=k x
得（1－3k2）x2+6kx－6=0
由⊿＞0解得
又有x1 x2=，，
，
∵=－23
∴x1 x2+ y1 y2=－23
∴+1=－23
解得k=±满足条件
∴直线m方程为y=±x-1