2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四）
数学参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题
3分，共30分)
题号
1
2
3
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
0
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1.612(2+2x-》13.-214.915.号
16.30
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17.【解折】原式=（2-22十1)十22-6X2十1………4分
=3-2√2+2√2-3√2+1
=4-32.…
6分
18.【解析】原式=4+2.a(a-)
a-1(a+2)9
a十2
…4分
根据题意可知a≠1,0，一2，a=2,
将a=2代入，原式=2千22·
21
…6分
19。【解析】（们）90°…2分
(2)由旋转的性质得：∠DEA=∠DEA',AE=A'E=10,△ADE≌△A'D'E,
,四边形CDEF是正方形，
.DE=FE,∠FED=∠BFE=∠EDA=90°，
旋转后A'、C、F(D)、B共线，
阴影部分的面积=S△E,
∠DEA+∠BEF=180°-∠FED=180°-90°=90°，
∴.∠A'EB=∠DEA'+∠BEF=∠DEA+∠BEF=9O,
50E=号AE·BE=合X10X6=30,
.图1中阴影部分的面积为30。
……6分
20.【解析】(1)抽样调查；…
2分
(2)200,22:
4分
(3)是；
6分
(4)350.…
8分
21.【解析】(1)直线AD与國O相切，理由如下：
1分
如图，连接OA,
'AD∥BC,∠D=∠DBC,
AB=AD,∴.∠D=∠ABD,
:∠ABC=60°，.∠DBC=∠ABD=∠D=30,
∴.∠BAD=120°，OA=OB,.∠BAO=∠ABD=30,
∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD,
OA是圆的半径，∴.直线AD与圆O相切.
…4分
(2)如图，连接OC,作OH⊥BC于点H,
.OB=OC=6,.∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠B0C=120,∴0H=20B=3,
∴.BH=√B)-Or=33,
数学参考答案（四）一1
.BC=2BH=63
:扇形B0C的面积为120X62Xr=12元，
360
:S=号BC.0H=合×63X3=93,
∴.阴影部分的面积为S痛彩c一S△c=12π一9V3.
…8分
22.【解析】(1)设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x,
依题意得：500(1十x)2=720,
解得：x=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去），…
4分
答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20%.…5分
(2)预计该店4月的营业额：720×(1+20%)=864（万元）.
864>850,
…8分
.预计该店4月的营业颜能超过850万元.…
…9分
23.【解析】(1)作AD⊥CB延长线于点D,
北
在Rt△ADB中：
东
.∠ABD=45°，AB=1800√2，
'.AD=BD=1800.
在Rt△ACD中：
.∠C=30°，AD=1800,
.AC=2AD=3600(米.…
…4分
(2)在Rt△ACD中：
CD=√5AD=18005,
.BC=CD-BD=1800W3-1800,…6分
AC+BC=3600十1800W3-1800=1800十1800w3≈4914米.…8分
假设救援船和快艇行驶8分钟，则总路程=8×(200十450)=5200>4914，故快艇能在8分钟内将该游客送上放接船.·…9分
24.【解折】(1)25.…3分
(2)设BC=2a(0a<5),则C(a,5-a),
由题意知：线段BC的“郡国长”为2，P到x轴的距离为、5一，则
√/5-a2=2a,
解得，a=1或一1（舍去），…
…5分
∴.BC=2,AB=AC=√J2
S=X2X2=1....
……7分
(3)-1b1或3b≤5.
…10分
由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为√I十T=√2，
即正方形ABCD上始终存在点P,P到1的距离为2.
则直线（向上或者向下平移2个单位长度得到直线，山与1平行，且两直线间的距离为2
所以P既在11上，丈在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点，
当b≤1时，l1为y=x十b十2，
当l1过A时，b=一1，
当1过C时，b=1,
即-1≤b≤1；
当b>1时，l为y=x十b-2,
当1过A时，b=3,
当1过C时，b=5,
即3b≤5，
综上所述，当一1b1或3b5时，正方形ABCD上始终存在点P,使得，点P是直线l:y=x十b的“郡国点”.
数学参考答案（四）一22024 年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四）
数 学
命题、审题学校：长沙市长郡梅溪湖中学
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和
座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本
大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1
1． 的绝对值是（ ）
2024
1 1
A． B． C． 2024 D．2024
2024 2024
2．平面直角坐标系中，点 P (3,4)关于 x轴的对称点的坐标为（ ）
A． ( 3,4) B． (3, 4) C． (3,4) D． ( 3, 4)
3．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，
C
若 AOC = 25 ，则 BOD =（ ） A
B
A．15° B．25°
C．65° D．75° O D
4．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交
通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他
1 1
在路口遇到绿灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到红灯的概率为（ ）
2 10
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 5 5
2
5．如图，点 P是反比例函数 y = (x 0)图象上的一点，过点 P向 x轴作垂线，
x y
垂足为 M，连接 PO，则△OPM的面积为（ ）
P
A．4 B．2
C．3 D．1 M O x
1
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
6．如图，把一张长方形纸条 ABCD沿 EF折叠，若 1= 55 ，则∠FGE应为（ ）
A．70° B．35° C．55° D．不能确定
A
E
A D
M N
G
B C
F
D'
C' B C
（第 6 题图） （第 7 题图） （第 8 题图）
7．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这
一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS
8．如图，在△ABC中，MN//BC分别交 AB，AC于点 M，N．若 AM =1，MN =1，BC = 3，则 MB的长为
（ ）
2 5
A．2 B． C．3 D．
3 2
9．一个圆的半径为 1，则该圆的内接正六边形的周长为（ ）
A．1 B．6 C．6 3 D．4
10．天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥．2078 年是改革开放 100 周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知 2024
年是甲辰年，可以推知 2078 年是什么年（ ）
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 …
干支 甲乙 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 甲戌 乙亥 丙子
…
纪年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年
A．戊辰 B．丁卯 C．己巳 D．戊戌
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
k 2
11．分式方程 = 的解是 x = 2，则 k = _________．
x2 1 x 1
12．因式分解： 4x2 y2 = _________．
13．若 m，n是方程 x2 + 2x 1= 0的两根，则m + n = _________． A
14．若三角形的周长为 18cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是
_________cm．
15．如图，从一块边长为 6 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并 E F
B C
将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_________． D
2
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
16．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了 200 次，其中有 50
次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有
_________个白球．
三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、23 题每
小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出必要的文字
说明，证明过程或演算步骤）
2 2024
17． ( 2 1) + 8 6cos 45 + ( 1) ．
2
3 a + 4a + 4
18．先化简，后计算： 1+ ，其中 a是满足条件 a 2的合适的非负整数．
a 1
2
a a
19．李老师在课堂上提出一个问题：
如图（1），在直角三角形纸片 ABC中， C = 90 ， AE =10 ， BE = 6．四边形 CDEF是正方形，求图中阴
影部分的面积．
下面是某个数学小组的讨论片段．
小明：先证明△ADE∽△EFB，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形 CDEF的边
长，即可求得阴影部分的面积．
小芳：小明的方法比较麻烦，只要将△ADE 绕点 E 逆时针旋转一定的角度至△A'D'E 的位置，如图（2），
就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题．
（1）根据小芳的方法，旋转角的度数为__________．
（2）请选择小芳的方法，写出详细的求解过程．
A'
C C
D D
F F(O')
B A B A
E E
3
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
20．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调
查．调查问卷如下： 人数/人
7070 科技
调查问题 60 25% 体育50
50 44 n%
在下列课外活动中，你最喜欢的是（单选）
40
艺术
A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 30 文学 18%
填完后，请将问卷交给教务处． 20 35%
10
0
文学 科技 艺术 体育 课外活动
根据统计得到的数据，绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采用的调查方式为________（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）在这次调查中，抽取的学生一共有________人；扇形统计图中 n的值为________；
（3）已知选择“科技”类课外活动的 50 名学生中有 30 名男生和 20 名女生．若从这 50 名学生中随机抽取
1 名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是________；
（4）若该校共有 1000 名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有________人．
21．如图，点 A、B、C在圆 O上， ABC = 60 ，直线 AD//BC， AB = AD，点 O在 BD上．
（1）判断直线 AD与圆 O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为 6，求图中阴影部分的面积．
A
D
O
B C
4
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
22．近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品
牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店 2023 年 1 月的营业额为 500 万元，3 月的营业额为 720 万元．
（1）求该店 2023 年 1 月至 3 月营业额的月平均增长率；
（2）若 4 月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店 4 月的营业额能否超过 850 万元？
23．湖中小岛上码头 C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面 B点处的快艇和湖岸 A处的救援船接到
通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA 方向行驶，与救援船相遇后将
该游客转运到救援船上．已知 B在 C的正西方向，A在 C的北偏西 60°方向，B在 A的东南方向1800 2 米
处．
（1）求湖岸 A与码头 C的距离；
（2）救援船的平均速度为 200 米/分钟，快艇的平均速度为 450 米/分钟，在接到通知后，快艇能否在 8 分
钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据： 3 1.73）
北
西 东
A
B C
5
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形 M上任意两点之间的距离的最大值，称为该图形的“郡园
长”，点 P为图形M上任意一点，如果点 P到直线 l的距离恰好等于图形M的“郡园长”，那么点 P称为直
线 l的“郡园点”．
（1）已知图形M为线段 GT，其中G ( 3,0)，T (0,3)，则该图形M的“郡园长”为_________；
（2）如图 1，x轴上方有一个等腰直角三角形 ABC， BAC = 90 ，BC⊥y轴，顶点 A在 y轴上，且在 BC
上方，OC = 5 ，点 P是线段 BC上一点，且点 P是 x轴的“郡园点”，求△ABC的面积；
（3）如图 2，以 A( 1,0)，B ( 2,0)，C ( 2,1)，D ( 1,1)为顶点的正方形 ABCD上始终存在点 P，使得点 P
是直线 l : y = x + b的“郡园点”．请直接写出 b的取值范围．
y y
A
l
B C C D
B A O x
O x
图 1 图 2
6
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
25．如图 1，已知在平面直角坐标系中，点 A(3,0)，B ( 3,0)，C ( 3,8)，以线段 BC为直径作圆，圆心为 E，
直线 AC交⊙E于点 D，连接 OD．
（1）求证：直线 OD是⊙E的切线；
（2）如图 2，点 F为 x轴上任意一动点，连接 CF交⊙E于点 G，连接 BG；
1
①当 tan ACF = 且当 F位于线段 AB上时，求 F点的坐标；
7
BG
②求 的最大值．
CF
y y
C C
G
E E
D D
B O A x B O A F x
图 1 图 2
7
{#{QQABBYwAggAgAAIAAQgCUwEICEIQkBACAIoGAEAEsAIAyBFABCA=}#}
