第01讲 基本立体图形
考点1：空间几何体
（1）空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
（2）多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
考点2：棱柱、棱锥、棱台的概念
多面体 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些边所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱AC′或 ABCD A′B′C′D′ 底面(底)：两个相互平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥 如图可记作：棱锥SABCD 底面(底)：多边形面． 侧面：有公共顶点的各个三角形 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点.
棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
考点3：棱柱、棱锥、棱台的分类
（1）棱柱的分类
①按底面多边形的边数分类．
②按侧棱与底面是否垂直分类．
（2）棱锥的分类(棱台分类)
①按底面多边形的边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥等．
②按底面多边形是否为正多边形分类：正棱锥和一般棱锥．
考点4：旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
考点5：圆柱、圆锥、圆台的概念
旋转体 结构特征 图示 表示法
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱和棱柱统称为柱体 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱O′O
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为椎体 圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为 圆 锥SO
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．棱台与圆台统称为台体 圆台用表示它的轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台O′O
考点6：球的概念
旋转体 结构特征 图示 表示法
球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 球常用表示球心的字母O表示，左图中的球表示为球O
考点7：简单组合体的结构特征．
（1）由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
（2）简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
【题型 1简单几何体的识别】
【典例1】下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据棱柱的定义判断即可.
【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱，
D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.
故选：D
【变式1-1】以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的条件，利用棱柱的定义直接判断作答.
【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.
故选：D
【变式1-2】下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】根据棱锥的定义和结构特征进行判断可得答案.
【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.
故选：C
【变式1-3】下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】由棱锥的定义逐个判断即可得解.
【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.
故选：C.
【题型 2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【典例2】一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台
【答案】D
【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.
【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求，
四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，
四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台.
故选：D.
【变式2-1】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（ ）
A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形
C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点.
【答案】C
【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形 ，所以A正确；
B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确；
C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误；
D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确.
故选：C.
【变式2-2】一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥
【答案】C
【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可．
【详解】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.
故选：C
【变式2-3】棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【答案】ABD
【分析】根据棱台是由平行棱锥底面的平面截得的判断.
【详解】解：因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的，
所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
故选：ABD
【变式2-4】下列立体图形是六面体的有（ ）
A．四棱柱 B．四棱台
C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】ABC
【分析】根据各选项中的几何体的结构特征，直接判断作答
【详解】对于A，B，四棱柱、四棱台都有两个底面，4个侧面，共6个面，它们都是六面体，AB是；
对于C，五棱锥有一个底面，5个侧面，共6个面，是六面体，C是；
对于D，六棱锥有一个底面，6个侧面，共7个面，不是六面体，D不是.
故选：ABC
【题型 3旋转体的结构特征】
【典例3】下列几何体是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】根据旋转体的定义判断即可.
【详解】圆柱是以长方形一边为轴旋转一周得到，球体以半圆直径为轴旋转一周得到，而六棱锥、正方体、四面体都为多面体，不是旋转体.
故选：A
【变式3-1】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【答案】A
【分析】由圆锥的定义即可求解
【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥
故选：A
【变式3-2】下列几何体是旋转体的是（ ）
A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球
【答案】D
【分析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可．
【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体；
一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体．
故选：D
【题型 4组合体的结构特征】
【典例4】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成
【答案】B
【分析】根据组合体基本构成即可得答案.
【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
【变式4-1】如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【答案】B
【分析】直接观察,即可出答案.
【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.
故选：B.
【变式4-2】如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
【答案】B
【解析】根据组合体的结构特征即可求解.
【详解】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，
故选：B
【点睛】本题考查了组合体的结构特征，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
【变式4-3】如图所示的几何体是长征五号运载火箭的顶端部分，则该几何体的构成是（ ）
A．一个棱锥，一个圆柱 B．一个圆锥，一个圆柱
C．一个圆锥，一个圆台 D．两个圆台
【答案】B
【分析】由柱体、锥体的知识可得答案.
【详解】由题图可知，该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，
故选：B
【题型 5平面图形旋转形成的几何体】
【典例5】正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （ ）
A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成
【答案】C
【分析】将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.
故选:C.
【变式5-1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．
【详解】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：A
【变式5-2】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意.
【详解】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
【变式5-3】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项.
【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
【题型 6空间几何体的截面问题】
【典例6】用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【答案】D
【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.
【详解】
对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；
对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；
对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；
对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.
故选：D.
【变式6-1】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形．
【答案】①②
【分析】用平面截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解.
【详解】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形；
按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形；
截面形状不可能为五边形，
所以①②正确，
故答案为：①②
【变式6-2】圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为 .
【答案】20
【分析】轴截面为矩形，根据矩形的长和宽求出面积.
【详解】轴截面为矩形，两边长分别为5和4，故轴截面的面积为.
故答案为：20
【变式6-3】从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 .
【答案】
【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解.
【详解】解：如图所示作出轴截面，
圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，
设圆锥的截面圆的半径为，
因为，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故，
所以截面积.
故答案为：.
【题型 7多面体与球体内切外接问题】
【典例7】已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理求出外接圆的半径，然后根据勾股定理推得三棱锥的高，进而得出的长.当截面垂直于时，截面面积最小，求出此时半径，即可得出答案.
【详解】
如图，是A在底面的射影，则点在线段上.
由正弦定理得，的外接圆半径，所以.
在中，
由勾股定理得棱锥的高.
设球O的半径为R，
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以.
在中，，.
所以在中，有.
又因为当截面垂直于时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.
故选：A.
【变式7-1】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解.
【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，
则三棱柱为直三棱柱，
又∵，则可将直三棱柱补成长方体，
∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球，
故球O的直径为
∴球O的半径为.
故选：C.
【变式7-2】正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将四面体放置于正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出，即可算出截面面积的最小值．
【详解】由题意，面积最小的截面是以为直径的截面，
将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，
设，则正方体棱长为，故，可求得，
进而截面面积的最小值为．
故选：C
【变式7-3】在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设正三棱锥，由确定的平面得到截面，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解.
【详解】如图所示，正三棱锥，球是它的内切球，
设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上，
由确定的平面交于，连接、，得到截面，
截面就是经过侧棱与中点的截面，
平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示，
因为中，圆分别与、相切于点、，且，
圆与相离，
所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意；
故选：B.
一、单选题
1．一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
【答案】D
【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断.
【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；
对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；
对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；
对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意．
故选：D．
2．下列棱锥有6个面的是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】C
【分析】根据棱锥的定义，即可得出选项.
【详解】由棱锥的结构特征可知，三棱锥有4个面，四棱锥有5个面，五棱锥有6个面，六棱锥有7个面；
故选：C
3．如图，在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据长方体的性质求解.
【详解】在长方体中，，
故选：B
4．若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥的特征及面积公式计算即可.
【详解】由底面面积为可得底面圆半径为，所以圆锥的高为.
故选：B
5．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆
【答案】A
【分析】根据截面与几何体相交时的形状，即可判定选项.
【详解】用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆形，B错误；
截面与圆台的轴平行时，得到梯形，C错误；
截面与底面不平行也不相交时，得到椭圆，D错误；
图形不可能是矩形，则A正确，
故选:A.
6．下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合几何体的特征逐个判断即可.
【详解】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球．
故选：B．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱
【答案】A
【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，
故A错误；
对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；
对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；
对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确；
故选：A.
8．下列命题正确的是（ ）
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
【答案】C
【分析】选项A，平面不一定平行于圆锥底面；选项B，棱柱底面多边形各边不一定相等，则侧面不一定全等；选项D，空间直观想象由直角梯形绕下底所在直线旋转一周可得组合体.
【详解】只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，
当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，所以A错；
棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形，
但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，所以B错；
圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形，所以C对；
直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，
如图所示，所以D错.
故选：C.
9．在四面体中，已知底面为正三角形，则“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据正三棱锥性质可知充分性成立；通过反例可说明必要性不成立，由此可得结论.
【详解】若三棱锥为正三棱锥，则，
与均为等腰三角形，充分性成立；
若与均为等腰三角形，满足，，
此时三棱锥不是正三棱锥，必要性不成立；
“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的充分不必要条件.
故选：C.
10．设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
11．下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】ABCD
【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断ABD；举反例判断C.
【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，故A错；
用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错；
球体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错；
棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错.
故选：ABCD.
三、填空题
12．已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为 ．
【答案】
【分析】球的截面的性质由勾股定理求解截面圆半径即可.
【详解】由球的性质可得截面为圆面，则截面圆的半径为，
故面积为，
故答案为：
13．已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ．
【答案】
【分析】作出圆台的轴截面，再利用勾股定理计算可得.
【详解】如图作出圆台的轴截面，设上底面圆心为，下底面圆心为，过点作交于点，
依题意，，，所以，
则，所以圆台的母线长为.
故答案为：
14．下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则 .
【答案】
【分析】根据正四面体的几何性质，求得外接球的球心以及半径，由题意，作图，求得对应三角形的面积，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
设为正四面体的外接球球心，为底面正三角形的外接圆的圆心，
平面，平面平面，，，
在正四面体中，由为外接圆的圆心，则平面，
由题意，设图①中的三角形为，图②中的三角形为，
设正四面体的棱长为，在正中，由为外接圆的圆心，则，
且，易知，同理可得，
因为平面，且平面，所以，
在中，，
设正四面体的外接球的半径为，
在中，，则，解得，
则，因为平面平面，所以，则，
易知，且其相似比为，则，则，
故，，
.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.
(1)计算四棱锥的高；
(2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高.
（2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高.
【详解】（1）正方形的边长为，
由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，
所以四棱锥是正四棱锥，设，连接，
则平面，由于平面，
所以，由于，
所以,
即四棱锥的高为.
（2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，
侧面三角形底边上的高为.
第01讲 基本立体图形
考点1：空间几何体
（1）空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
（2）多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
考点2：棱柱、棱锥、棱台的概念
多面体 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些边所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱AC′或 ABCD A′B′C′D′ 底面(底)：两个相互平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥 如图可记作：棱锥SABCD 底面(底)：多边形面． 侧面：有公共顶点的各个三角形 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点.
棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
考点3：棱柱、棱锥、棱台的分类
（1）棱柱的分类
①按底面多边形的边数分类．
②按侧棱与底面是否垂直分类．
（2）棱锥的分类(棱台分类)
①按底面多边形的边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥等．
②按底面多边形是否为正多边形分类：正棱锥和一般棱锥．
考点4：旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
考点5：圆柱、圆锥、圆台的概念
旋转体 结构特征 图示 表示法
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱和棱柱统称为柱体 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱O′O
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为椎体 圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为 圆 锥SO
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．棱台与圆台统称为台体 圆台用表示它的轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台O′O
考点6：球的概念
旋转体 结构特征 图示 表示法
球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 球常用表示球心的字母O表示，左图中的球表示为球O
考点7：简单组合体的结构特征．
（1）由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
（2）简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
【题型 1简单几何体的识别】
【典例1】下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A．B． C． D．
【变式1-2】下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【变式1-3】下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型 2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【典例2】一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台
【变式2-1】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（ ）
A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形
C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点.
【变式2-2】一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥
【变式2-3】（多选题）棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【变式2-4】（多选题）下列立体图形是六面体的有（ ）
A．四棱柱 B．四棱台
C．五棱锥 D．六棱锥
【题型 3旋转体的结构特征】
【典例3】下列几何体是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【变式3-1】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【变式3-2】下列几何体是旋转体的是（ ）
A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球
【题型 4组合体的结构特征】
【典例4】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成
【变式4-1】如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【变式4-2】如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
【变式4-3】如图所示的几何体是长征五号运载火箭的顶端部分，则该几何体的构成是（ ）
A．一个棱锥，一个圆柱 B．一个圆锥，一个圆柱
C．一个圆锥，一个圆台 D．两个圆台
【题型 5平面图形旋转形成的几何体】
【典例5】正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （ ）
A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成
【变式5-1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
【题型 6空间几何体的截面问题】
【典例6】用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【变式6-1】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形．
【变式6-2】圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为 .
【变式6-3】从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 .
【题型 7多面体与球体内切外接问题】
【典例7】已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【变式7-2】正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
2．下列棱锥有6个面的是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
3．如图，在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（ ）
A．6 B．3 C． D．
5．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆
6．下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱
8．下列命题正确的是（ ）
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
9．在四面体中，已知底面为正三角形，则“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
11．下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
三、填空题
12．已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为 ．
13．已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ．
14．下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则 .
四、解答题
15．如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.
(1)计算四棱锥的高；
(2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高.
