专题04 平面向量基本定理及坐标表示（七大题型）
【题型1 用基底表示向量】
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
【题型1 用基底表示向量】
1．如图，AB是的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质、菱形以及向量运算确定正确选项.
【详解】画出图象如下图所示，
由于是半圆弧上的两个三等分点，
所以是等边三角形，
所以，
所以四边形是菱形，四边形是菱形，
所以.
故选：C
2．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，
在中，，
所以，
故选：B
3．如图，已知，，，用，表示，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为，，
所以，
故选：B.
4．如图，在中，，，若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以有，
，
故选：A
5．如图，在中，C为BD的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加，减，数乘运算，结合图形，即可求解.
【详解】.
故选：D
6．在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的线性运算求解．
【详解】由题意
．
故选：A．
7．已知空间中四点，点在直线上，且满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据三点共线的性质求解即可.
【详解】因为三点在同一直线上，所以，所以.
故选：B
【题型2 平面向量基本定理的应用】
8．在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
.
故选：A
9．在中，点D在边AB上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】选定基底，根据向量的线性运算，即可求得答案.
由题意可知,
故选：C.
10．如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】选为基底分别把表示出来，然后代入中，的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然，故，只有C选项满足，故选C.
【详解】设
则
显然
得
显然
因为
所以有
即
根据向量的性质可知
解得
故选：C
11．如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为.
所以，即，.
故选：B
12．在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则 ．
【答案】0
【分析】利用平面向量的基本定理和向量相等求解.
【详解】∵，
∴，，
∴．
故答案为：0
13．已知是不共线的向量，若，则用与表示为 .
【答案】
【分析】结合平面向量基本定理求解即可.
【详解】解：由题知：不共线，由平面向量基本定理知有且只有一对实数，使，
所以，
从而，解得，
所以.
故答案为：
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
14．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法公式进行计算.
【详解】因为，，故.
故选：B
15．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量减法的坐标运算求解．
【详解】由题设，．
故选：C．
16．已知向量．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据平面向量的坐标的线性运算即可得解.
【详解】因为向量，
所以.
故选：B.
17．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将坐标代入中计算结果.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：A
18．若向量，，则 .
【答案】
【分析】由向量加减法坐标运算求解．
【详解】．
故答案为：．
【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
19．已知向量，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
20．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由可得，
故选：A
21．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
22．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.
【详解】向量，，则.
故选:C
23．设向量，则的模长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法的坐标公式，得到的坐标，再利用向量模长的坐标公式即得解.
【详解】因为向量
故选：C
【点睛】本题考查了向量加法、模长的坐标公式，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.
24．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量平行的坐标运算求出，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，
所以，得，
所以.
故选：B.
25．设平面向量，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ∴
故选A；
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
26．已知点,则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用有向线段表示向量的坐标公式终点坐标减去起点坐标得解.
【详解】
故答案为：D
【点睛】本题考查有向线段表示向量的坐标运算,属于基础题.
27．若向量，，，则 .
【答案】
【分析】由向量线性运算的坐标表示计算．
【详解】由已知．
故答案为：．
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
28．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的平行的坐标表示，即可求解.
【详解】因为，则，得.
故选：D
29．已知向量，若与共线，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先根据向量的坐标运算规则求出，再根据向量共线的运算规则求解.
【详解】 ，；
故选：D.
30．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.
【详解】因为，，
所以，
又与平行，
所以，解得.
故选：D
31．已知向量，，若共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值.
【详解】因为，，共线，
所以，所以，
故选：A.
32．在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则，，
即，
则，解得.
故选：C
33．已知平面向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】因为与共线，
所以，解得.
故选：A
34．向量，，，若与共线，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，
所以，
又与共线，所以，解得.
故选：D
35．已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.
【详解】由题意可得 ，
因为，所以，解得，
故选：B
36．已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.
【详解】设，因为，，
所以，即①．
又因为，所以，
即，即②．
联立①②可得或，
所以或，所以.
故选：B
37．已知向量，若，则 .
【答案】1或
【分析】根据平面向量的平行的性质即可求解.
【详解】由，有
，
即，
解得或.
故答案为：1或.
38．已知，若与平行，则实数 ．
【答案】/
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可得结果.
【详解】因为，
所以，，
因为与平行，所以，得.
故答案为：.
39．已知向量，，若，则实数
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，， ，
所以，解得.
故答案为：1.
40．已知
(1)当k为何值时，与共线？
(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.
（2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）因为
所以，，
因为与共线，
所以，解得.
（2）因为
所以，
，
因为A，B，C三点共线，
所以与共线，即，解得.
41．已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，解得.
（2）因为，，
因为，，三点共线，所以，所以，解得，
故的值为．
42．已知平面向量，，．
(1)若，求实数x的值；
(2)若，求实数x的值；
(3)若，且，求的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由平面向量平行的坐标表示计算即可；
（2）由平面向量垂直的坐标表示计算即可；
（3）由平面向量垂直的坐标表示及模长计算即可；
【详解】（1）因为，且，所以，解得；
（2）因为，又且，所以，解得；
（3）设，因，且，则，
解得或，故或.
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
43．如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知点在轴，平行轴，从而得与关于轴对称，从而可求出点E的坐标.
【详解】因为正五边形放入某平面直角坐标系后，顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，
所以点在轴，平行轴，
所以与关于轴对称，
所以点E的坐标是，
故选：A
44．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用是相等向量及为中点可得正确的选项．
【详解】因为，故选A．
【点睛】本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题．
45．在中,D是边的中点,已知,求C点的坐标.
【答案】
【解析】根据向量关系表示出，结合坐标运算即可求解.
【详解】设O为坐标原点,
∵,
∴,
∴.
即点C的坐标为.
【点睛】此题考查根据平面向量的基本运算法则求点的坐标，关键在于准确掌握平面向量的基本运算.
46．在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.
（1）求的值；
（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值．
（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值．进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积．
详解：
（1）设，，据题意可得
，从而有 .
由，，三点共线，则存在实数，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，从而就有.
（2）由（1）可知，所以∴ .
点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题．
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
47．已知，，且，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据，，求得的关系，
然后将向量的坐标运算，，转化成只含或的关系式，，最后结合二倍角公式代入计算求解；
【详解】由，，
所以，故，
所以，
，
所以
所以．
故选：B．
48．已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，求周长的取值范围.
【答案】(1)，
(2) .
【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的单调性可求得结果；
（2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解.
【详解】（1）因为，，则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，解，
，
又，，，
，
所以周长的取值范围为.
49．已知向量，，，其中.
(1)当时，求的取值集合；
(2)设函数，求的最小正周期及其单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用两角差的三角函数公式得，即可求的取值集合；
（2）根据正弦函数的周期，以及单调减区间为，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以， 所以所求的取值集合为.
（2）因为，
所以
，
所以最小正周期为，
由，
得，
所以函数单调递增区间为.
50．已知点，点，且函数（为坐标原点）.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最小正周期及最大值，并求出取得最大值时的集合.
【答案】(1)
(2)；4；
【分析】（1）根据向量的数量积的坐标表示，结合三角函数辅助角公式化简，即可求得的解析式；
（2）利用三角函数周期公式，可得的最小正周期；结合正弦函数性质即可求得的最大值，并可得取得最大值时的集合.
【详解】（1）由题意可得,
故
；
（2）由于，故其最小正周期为；
当时，取得最大值4，
此时，即，
故取得最大值时的集合为.专题04 平面向量基本定理及坐标表示（七大题型）
【题型1 用基底表示向量】
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
【题型1 用基底表示向量】
1．如图，AB是的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，，用，表示，则=（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，C为BD的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知空间中四点，点在直线上，且满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【题型2 平面向量基本定理的应用】
8．在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，点D在边AB上，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则 ．
13．已知是不共线的向量，若，则用与表示为 .
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
14．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
17．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
18．若向量，，则 .
【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
19．已知向量，，那么（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
23．设向量，则的模长为（ ）
A． B． C． D．
24．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
25．设平面向量，则
A． B． C． D．
26．已知点,则等于（ ）
A． B． C． D．
27．若向量，，，则 .
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
28．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
29．已知向量，若与共线，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
30．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．6 D．
31．已知向量，，若共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
32．在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
33．已知平面向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
34．向量，，，若与共线，则（ ）
A．1 B． C． D．
35．已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
36．已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
37．已知向量，若，则 .
38．已知，若与平行，则实数 ．
39．已知向量，，若，则实数
40．已知
(1)当k为何值时，与共线？
(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．
41．已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
42．已知平面向量，，．
(1)若，求实数x的值；
(2)若，求实数x的值；
(3)若，且，求的坐标．
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
43．如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
44．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于
A． B． C． D．
45．在中,D是边的中点,已知,求C点的坐标.
46．在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.
（1）求的值；
（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
47．已知，，且，令，则（ ）
A． B． C． D．
48．已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，求周长的取值范围.
49．已知向量，，，其中.
(1)当时，求的取值集合；
(2)设函数，求的最小正周期及其单调递增区间.
50．已知点，点，且函数（为坐标原点）.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最小正周期及最大值，并求出取得最大值时的集合.
