第05讲 平面向量的应用
考点1：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
考点2：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
考点3：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【典例1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在．
【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
【变式1-1】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）设，由可得，即可得答案；
（2）由图可知，由向量夹角公式可得答案.
【详解】（1）由题，可得.则.
设，则.因，则.则，故AE的长为1；
（2）若E为AB的中点，则，，又.
由图可知.
【变式1-2】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.
【详解】（1），由题意得，
所以．
（2）由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
【变式1-3】如图，O为的外心，以OA，OB为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点H．
(1)若，，，试用，，表示；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）由平面向量加法的平行四边形法则可得；
（2）以，，为基底分别表示向量，然后结合三角形外心性质求其数量积可证.
【详解】（1）由平面向量加法的平行四边形法则得
，
所以
（2）由（1）知
所以
又
所以
因为O为的外心，
所以
所以，
所以.
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
【典例2】如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.
【详解】（1）是高，，在Rt中，，
所以.
是中线，，
，
（2），
.
另解：过D作交于，
是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，
.
【变式2-1】如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，，，，计算得到答案.
（2），，计算得到答案.
【详解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
【变式2-2】如图，在中，D是的中点，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将用、表示，根据平面向量的运算律以及定义可求出结果；
（2）根据平面向量基本定理可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
故.
（2）因为，所以，所以，
设.
因为，
所以，.
【变式2-3】证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【答案】证明见解析
【分析】设，，利用、表示、，然后带入中计算即可完成证明.
【详解】证明:不妨设，，则，，
，，得①
同理②，
①②得：
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
得证.
【题型3用向量解决夹角问题】
【典例3】如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解；
（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）解：由题意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
（2）解：，
==，
与的夹角即为，
.
【变式3-1】已知的三个顶点分别为,求的大小．
【答案】120°
【分析】由向量的数量积求夹角即可.
【详解】由条件可得：，
所以，
所以，所以.
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数.
【答案】
【分析】求出，根据数量积的定义可求解.
【详解】由，
得，.
其中，
故.
所以.
故答案为：.
【变式3-3】如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，分析可得，由数量积的运算性质计算可得答案；
（2）根据题意，设与的夹角为，则与的夹角也是，分析有，求出、的值，由向量夹角公式计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，，即是的中点，则，
则，则；
（2）设与的夹角为，则与的夹角也是，
，
则，
，
则．
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
【典例4】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功.
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．
【典例4-2】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，结合已知利用余弦定理可求解；
（2）由（1）结合余弦定理可求出.
【详解】（1）∵河的宽度，，
∴，∴.
如图，设合速，，船在静水中的速度，则，
由题意可得，且，
又，∴在中，由余弦定理可得
（2）由（1）知，，，
由余弦定理可得.
∴.
【变式4-1】如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
【答案】
【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案.
【详解】
设细绳作用力为，则，
如图，对力进行分解，可得.
根据力的平衡可知，物重G的大小为.
【变式4-2】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
【答案】(1)答案见解析
(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为
【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可；
（2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向.
【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速，
以为邻边作平行四边形，
则表示该船实际航行的速度；
（2）由题意，
在中，，
则，，所以，
所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为.
【变式4-3】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成的，根据求得结果即可；
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度为.
由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：
. .
在Rt中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
【变式4-4】有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
【答案】(1)
(2)河水的流速为，方向顺着河岸向下
【分析】（1）根据题意可得与的夹角为，则三条有向线段构成一个直角三角形，其中，再根据向量的加法法则即可得解；
（2）结合图象，求出即可.
【详解】（1）如图，是垂直到达河对岸方向的速度，是与河岸成角的静水中的船速，
则与的夹角为，
由题意知，三条有向线段构成一个直角三角形，其中，
由向量加法的三角形法则知，，即；
（2）因为，而，
所以这条河河水的流速为，方向顺着河岸向下．
【题型5 向量与几何最值】
【典例5】在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为三角形中，，
所以是边长为2的等边三角形，则
以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，
则，设，则，
故，
显然当时，取得最小值，
故选：B.
【变式5-1】在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【答案】
【分析】建立如图平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标表示和二次函数的性质计算即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
，
设直线BC方程为，则，
解得，所以BC方程为，设，
所以，
得.
故答案为：.
【变式5-2】如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得.
【详解】连接AC，因为，，，
所以，
又，所以，
所以.
过点B作AD的垂线BF，垂足为F，
易知，在中，，
所以，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则
设，
则，
，
当时，有最小值.
故答案为：
【变式5-3】如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，用表示出，再由向量数量积的运算律化简求最大值即可.
【详解】令，则，，
所以，
所以时，的最大值为.
故答案为：
【变式5-4】如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据向量共线以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】由得，
设，所以，
故当时，取最大值，
故答案为：
一、单选题
1．已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可设出向量的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当与同向时， 有最大值，求解即可.
【详解】因为向量共面，且均为单位向量，，
可设，，，如图，
所以，当与同向时，此时有最大值，为.
故选：A.
2．已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可.
【详解】设，
则，
由，
得，又已知，且，
则有，
故.
故选：A.
3．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，
则，故，
故选：C
4．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】B
【分析】作图，根据已知，在直角三角形中，求解即可得出答案.
【详解】
如图，，，，，.
在中，有，
所以，的大小为5N.
故选：B.
二、填空题
5．已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
【答案】3
【分析】根据向量的加法运算，确定船行驶的方向与水流方向和船实际的方向之间的关系，进而解三角形可得.
【详解】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，
∵，
∴，即水流的速度大小为.
故答案为：3.
6．一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
【答案】300
【分析】利用向量数量积公式进行求解.
【详解】J.
故答案为：300
7．如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）
【答案】，
【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.
【详解】由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，
在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故答案为：，
8．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 ， .
【答案】
【分析】设两根绳子的拉力分别为，作平行四边形OACB，使求解.
【详解】解：如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，
作平行四边形OACB，使，
在平行四边形OACB中，，
则，
所以，，
所以物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为，，
故答案为：， .
三、解答题
9．在中，已知，，，试判断的形状．
【答案】直角三角形
【分析】根据已知求出的坐标，进而得出，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，，
所以有，
所以有，
所以，.
又，，
所以，为直角三角形.
10．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
【答案】，理由见解析
【分析】根据向量基本定理得到，结合三点共线，求出，同理可证出，得到结论.
【详解】因为四边形为平行四边形，所以，
设，
因为是的中点，所以，
故，
又因为三点共线，
可设，即，
即，
故，相加可得，解得，
故，
同理可证，
故可知为的三等分点，
故.
11．已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离．
【答案】
【分析】首先求出，再求出，，，最后根据距离计算可得.
【详解】因为点，向量，则，
所以，，
过点以向量为方向向量的直线，
所以点到直线的距离．
12．已知点，，，求：
(1)的值；
(2)的大小；
(3)点A到直线BC的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积得坐标公式计算即可；
（2）利用数量积求出得余弦值，即可得解；
（3）根据点A到直线BC的距离为计算即可.
【详解】（1）依题意，得，
，
；
（2）因为，
又，所以；
（3）点A到直线BC的距离为
．
13．质量kg的物体，在4.0N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s内对物体做的功．
【答案】
【分析】根据已知求出物体运动运动的加速度以及位移的大小，即可得出答案.
【详解】设物体运动了，加速度为，
由已知可得，kg，，
则由可得，，
所以，.
所以，水平力在3s内对物体做的功为.
14．飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【答案】大小为，方向为南偏西
【分析】作图，根据已知结合几何关系，即可得出答案.
【详解】
如图，飞机从运动到的过程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
过点作，
因为，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西.
15．在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标：
(1)向量表示沿北偏东移动了3个单位长度；
(2)向量表示沿西北方向移动了4个单位长度；
(3)向量表示沿南偏西移动了3个单位长度；
(4)向量表示沿东南方向移动了4个单位长度.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据方位角及向量的模长结合三角函数值求解向量坐标即可.
【详解】（1）因为向量表示沿北偏东移动了3个单位长度，
所以向量对应坐标系中的角度为且模长为3，
所以；
（2）因为向量表示沿西北方向移动了4个单位长度，
所以向量对应坐标系中的角度为且模长为4，
所以；
（3）因为向量表示沿南偏西移动了3个单位长度，
所以向量对应坐标系中的角度为且模长为3，
所以；
（4）因为向量表示沿东南方向移动了4个单位长度，
所以向量对应坐标系中的角度为且模长为4，
所以.
16．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
【答案】(1)位移大小为，方向为正前方
(2)相等
【分析】（1）解直角三角形求出，再根据即可得解；
（2）根据向量加法得几何意义即可得解.
【详解】（1）由题意，为直角三角形，
由，，
得，
又，
所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方；
（2）因为，
所以中场队员的位移与球的位移相等.
17．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km.
【分析】由题设有，应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】如下图，，
则，
所以km.
又，即，结合图易知：在南偏西方位，
综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km.
18．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标．
【答案】
【分析】利用平面向量加法的坐标运算可得出合力的坐标.
【详解】解：已知作用在原点上的三个力，，，
则这三个力的合力为.
19．如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系．
【答案】答案见解析
【分析】设两人的拉力分别为、，作，，作，以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，分析可得，分析当变大时，的变化，即可得出结论.
【详解】解：设两人的拉力分别为、，作，，作，
以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，
水桶在两人的合力下处于平衡状态，则和互为相反向量，
因为，则四边形为菱形，
连接交于点，则为的中点，且，且，，
，所以，，
所以，，
又因为，所以，随着的增大而增大.
20．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.
(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.
（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.
【详解】（1）.
（2），
，.
21．如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.
(1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.
(2)若与共线，求面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出、、的坐标，从而有，即可证明；
（2）设点的坐标，求出，利用三角形面积公式及正弦函数最值求解即可.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
由题意可知，，
则，，，，
得，，
因为，所以，且.
（2）设C在第一象限，，，
则，，
得，的高为，
所以的面积为，
当时，的面积取得最大值，且最大值为.第05讲 平面向量的应用
考点1：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
考点2：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
考点3：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【典例1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【变式1-1】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【变式1-2】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
【变式1-3】如图，O为的外心，以OA，OB为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点H．
(1)若，，，试用，，表示；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【题型2 利用向量求线段间的长度关系】
【典例2】如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
【变式2-1】如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【变式2-2】如图，在中，D是的中点，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【变式2-3】证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【题型3用向量解决夹角问题】
【典例3】如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【变式3-1】已知的三个顶点分别为,求的大小．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数.
【变式3-3】如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
【题型4 用向量解决物理中的相关问题】
【典例4】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【典例4-2】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【变式4-1】如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
【变式4-2】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
【变式4-3】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【变式4-4】有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
【题型5 向量与几何最值】
【典例5】在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【变式5-2】如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．
【变式5-3】如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .
【变式5-4】如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．
一、单选题
1．已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
4．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
二、填空题
5．已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
6．一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
7．如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）
8．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 ， .
三、解答题
9．在中，已知，，，试判断的形状．
10．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
11．已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离．
12．已知点，，，求：
(1)的值；
(2)的大小；
(3)点A到直线BC的距离．
13．质量kg的物体，在4.0N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s内对物体做的功．
14．飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
15．在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标：
(1)向量表示沿北偏东移动了3个单位长度；
(2)向量表示沿西北方向移动了4个单位长度；
(3)向量表示沿南偏西移动了3个单位长度；
(4)向量表示沿东南方向移动了4个单位长度.
16．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
17．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
18．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标．
19．如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系．
20．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.
(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
21．如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.
(1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.
(2)若与共线，求面积的最大值.
