第六章 平面向量及其应用测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示，在正六边形中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】由正六边形性质可得,进而由向量的加法法则求解即可
【详解】由题,可知,
所以,
故选:B
【点睛】本题考查向量加法法则的几何应用,考查向量的模
2．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可.
【详解】由投影向量的定义知，
在上的投影向量为.
故选：D
3．若向量，且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】由向量垂直转化为向量的数量积坐标运算.
【详解】，，
由，得，
解得.
故选：B．
4．在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】利用两角和差余弦公式和诱导公式可化简已知不等式得到，由此可确定中有一个角为钝角，由此得到结果.
【详解】
，，，，
，；
为的内角，中有一个角为钝角，为钝角三角形.
故选：A.
5．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.
则，
所以，.
所以，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以的最小值是6.
故选：D
6．在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，分别表示加减消元得出结果.
【详解】由题意可得，,
，
消元解得.
故选：A.
7．若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件可得，再利用向量夹角公式即得.
【详解】由得，
∴即，
设向量与的夹角为，则，
又，
∴，.
故选：A.
8．在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知利用三角形面积公式可得，由余弦定理可求得，利用辅助角公式和正弦函数的性质运算即可得解.
【详解】解：∵的面积为1，且，
∴，
∴，
∵根据余弦定理得：
，
即，可得：，
∴，，
则，∵，
∴，解得：，
∴的最小值为.
故选：B.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【分析】结合选项逐个求解，可进行判断.
【详解】对于A，因为，所以，只有一解；
对于B，因为，且，所以有两解；
对于C，因为，且，所以有两解；
对于D，因为，但，所以有一解；
故选：BC.
10．（多选）已知，是两个单位向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对于平面内的任意向量，有且只有一对实数m，n，使
C．已知，，设，，，则
D．若向量满足，则
【答案】AC
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及平面向量基本定理逐一判断即可得解．
【详解】已知，是两个单位向量，且，
则，
则，
对于选项A，∵，∴，即选项A正确；
对于选项B，∵，∴与共线，
∴与不能作为平面向量的一组基底，即选项B错误；
对于选项C，
，即选项C正确；
对于选项D，设与的夹角为，向量满足，
则，
又，
则，
则，即，即选项D错误.
故选：AC．
11．已知向量，若，则下列结论在确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】求出，对两边平方得可判断A；由的坐标运算可得的值，求出可判断B；对两边平方化简可判断C；求出、、，设与的夹角为，由向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】，
由得，
所以，所以A正确；
对于B，由，可得，
因为，所以，故B错误；
对于C，由得，所以，故C正确；
对于D，，，
设与的夹角为，所以，
又，所以为钝角，故D错误.
故选：AC.
12．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量与的夹角为，则
C．若，则向量
D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】AB
【分析】对于A，根据两向量垂直其数量积为0求解；对于B，首先由向量的数量积公式求出，然后根据求解即可；对于C，由得，然后通过求出的值，即可求出；对于D，由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可．
【详解】解 对于A，由题可得，所以由，
得
，解得，所以A正确；
对于B，因为，故，所以B正确；
对于C，因为，所以存在，使得，则由，得或，
所以或，所以C不正确；
对于D，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，
所以，即，解得，
又，，
与不共线，所以，得，
所以实数的取值范围为，所以D不正确．
故选：AB
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则在方向上的投影为 .
【答案】
【分析】先求得，然后利用投影公式计算出投影.
【详解】，
所以在方向上的投影为.
故答案为：
14．四面体中，，，，，若为中点，则长为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求得，，由，求得，计算即可得出结果.
【详解】在中，，
由余弦定理可得，,
所以，
同理，在中，，
在中，，，所以，
因为E为CD的中点，则在中，，
，
所以
故答案为：
15．在中，，，，则的周长为 .
【答案】
【分析】由正弦定理求得，然后可得，利用诱导公式和两角和的正弦公式求得，再由正弦定理得，从而得周长．
【详解】三角形中，，则为锐角，为钝角，
由正弦定理得，，，
所以，，，
，，
所以，
由得，
所以三角形周长为．
故答案为：．
16．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，为的平分线，
所以，
所以，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分)化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】（1）原式＝
（2）原式＝
18．（12分)如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；作图见解析；（2）；作图见解析.
【分析】（1）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
（2）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
【详解】（1），如图中向量.
（2），
如图中向量.
【点睛】本题考查了向量加法以及减法的几何意义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.
19．（12分)化简下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】直接根据平面向量的线性运算法则计算可得；
【详解】解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
20．（12分)（1）化简下列各式:
①；
②.
（2）已知向量，，与的夹角为.
①求；
②求.
（3）已知向量，.
①若，求实数的值；
②若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）①；②.
【分析】（1）①②根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）①根据数量积的定义计算可得；②根据及数量积的运算律计算可得；（3）①首先求出的坐标，依题意，即可求出参数的取值范围；②且与不共线，根据数量积的坐标表示及共线的坐标表示计算可得.
【详解】（1）①；
②；
（2）①因为，，与的夹角为，
所以；
②.
（3）①因为，，所以，
因为，所以，解得；
②因为与的夹角是钝角，则，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，故，
综上可得
21．（12分)在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值．
【答案】（1）．（2），．
【详解】试题分析 ：（Ⅰ）由余弦定理可以解出cosC；
（Ⅱ）用二倍角的余弦公式对方程进行化简，结合所给的面积解出a=3,b=3，
试题解析：（1）由题意知，，
由余弦定理，得 ．
（2）∵，由正弦定理可知，，
又因，故，
由于，
∴，从而，
解得，．
点晴：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”．
22．（12分)如图，在中，，
求：（1）的面积
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先设，，中分别利用余弦定理，建立关于的方程组，求得，以及，即可求得的面积；（2），代入（1）的结果，即可求解.
【详解】（1）设
在中，有
，
，
在与中，
，，
又
故
即
所以，
解得，
所以，
又
所以的面积
（2）第六章 平面向量及其应用测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示，在正六边形中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上皆有可能
5．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．6
6．在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
10．（多选）已知，是两个单位向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对于平面内的任意向量，有且只有一对实数m，n，使
C．已知，，设，，，则
D．若向量满足，则
11．已知向量，若，则下列结论在确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为锐角
12．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量与的夹角为，则
C．若，则向量
D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则在方向上的投影为 .
14．四面体中，，，，，若为中点，则长为 .
15．在中，，，，则的周长为 .
16．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为 ．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分)化简：
(1)
(2)
18．（12分)如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）；
（2）.
19．（12分)化简下列各式：
（1）；
（2）.
20．（12分)（1）化简下列各式:
①；
②.
（2）已知向量，，与的夹角为.
①求；
②求.
（3）已知向量，.
①若，求实数的值；
②若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
21．（12分)在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值．
22．（12分)如图，在中，，
求：（1）的面积
（2）.
