专题03 复数的三角表示（三大题型）
【题型1 复数的三角表示】
【题型2 复数的辅角】
【题型3复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
【题型1 复数的三角表示】
1．复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解；
【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，
则，，所以，即
所以．
故选：D
2．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形公式可求解.
【详解】解：
故选：C.
3．复数的三角形式为 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式可将所给复数化为三角形式.
【详解】.
故答案为：.
4．写出复数的三角形式是 ．（辐角）
【答案】
【分析】利用复数的三角表示可得结果.
【详解】.
故答案为：.
5．在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，画向量见解析
(2)，画向量见解析
(3)，画向量见解析
(4)，画向量见解析
【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.
【详解】（1）6对应的向量如答图中，
，又，
.
（2）对应的向量如答图中，
，
又，.
（3）对应的向量如答图中
，
又，.
（4）对应的向量如答图中，
，
又，.
6．把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2)i．
【答案】(1)
(2)
【分析】求出这个复数的模，然后根据复数的几何意义确定复数对应的点所在的位置，找出该复数的一个辐角即可写出复数的三角形式．
【详解】（1）因为，所以，
又对应的点在第一象限内，因而可取，
所以．
（2）因为，对应的点在轴正半轴上，因而可取．
所以．
7．已知实数，写出下列复数的辐角主值．
(1)a；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】根据辐角主值的定义，整理每个小题中复数的一般形式，找出实部与虚部，找出对应复平面的点，可得答案.
【详解】（1）复数对应的复数为，其辐角主值为0；
（2）复数对应的复数为，对应的点在y轴正半轴，其辐角主值为；
（3）复数对应的复数为，对应的点在x轴负半轴，其辐角主值为；
（4）复数对应的复数为，对应的点在y轴负半轴，其辐角主值为．
8．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)不是三角形式，
(3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【分析】(1) 由复数的三角形式的特征判断即可；
(2) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案；
(3) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.
【详解】（1）解：符合三角形式的结构特征，是三角形式．
（2）解：由“加号连”知，不是三角形式．
，
模，.复数对应的点在第三象限，所以取，
所以；
（3）解：由“模非负”知，不是三角形式．
复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．
所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
9．将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)当时,；
当时，.
【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式
即可求解；
（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；
【详解】（1），
，
（2）
.
∵当时，，，
∴，
当时，，，
∴
.
10．化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【答案】(1)2
(2)
(3)2
(4)cosπ＋isinπ
【分析】对于（1）、（2）、（3）、（4）四个小题，分别求出模和辐角主值，即可写出对应的三角形式.
【详解】（1）因为z=－1＋i，所以a＝－1，b＝，
则r＝＝2，tanθ＝－.
而对应点M(－1，)在第二象限，θ的主值为，
∴－1＋i＝2．
（2）因为z=1－i，所以a＝1，b＝-1，
则r＝，tanθ＝－1.
而对应点M(1，-1)在第四象限，θ的主值为，
∴－1＋i＝．
（3）因为z=2i，所以a＝0，b＝2，
则r＝.
对应点M(0，2)在y轴正半轴上，θ的主值为，
∴2i＝2．
（4）因为z=－1，所以a＝－1，b＝0，
则r＝1，对应点M(-1，0)在x轴正半轴上，θ的主值为.
∴－1＝．
11．将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式直接可得；
（2）根据诱导公式直接转化即可.
【详解】（1）
（2）
12．将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）.
【题型2 复数的辅角】
13．复数1＋i的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代数形式化为三角形式，即可得结果.
【详解】由，故辐角主值为.
故选：C
14．下列各角不是复数的辐角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数的模和辐角的含义求出模及辐角主值，从而得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数及其三角形式，计算出复数的模和辐角主值，是解答的关键，属于基础题．
15．复数的三角形式的辐角主值为 .
【答案】/
【分析】直接由辐角主值的概念求解即可.
【详解】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.
故答案为：.
16．复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ．
【答案】
【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式求解作答.
【详解】．
故答案为：
17．已知，则的辐角主值为 ．
【答案】
【分析】利用复数三角形式的运算可求得，由此可确定辐角主值.
【详解】，
的辐角主值为.
故答案为：.
18．复数的辐角主值是 ．
【答案】
【分析】根据复数三角形式的概念即可求解.
【详解】，
故其辐角主值是.
故答案为：.
19．复数的幅角主值为 .
【答案】
【分析】将复数的代数形式转化为对应的三角形式，即可知其幅角主值.
【详解】由知：复数的幅角主值为.
故答案为：
【题型3复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
20．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.
21．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先将2化为三角形式，再用除法法则计算即可.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将实数转化为三角形式的细节.
22．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.
23．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.
【详解】
故选：D.
【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.
24．计算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.
【详解】因为
所以，
所以，
故选：B.
25． .
【答案】
【解析】将化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可.
【详解】
故答案为：.
【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将纯虚数转化为三角形式的细节.
26．计算 ．
【答案】
【分析】利用复数的法则和三角恒等变换即可求解.
【详解】
故答案为：.
27．化简：
（1）；
（2）.
【答案】（1） （2）
【解析】将复数化为三角形式，按照复数三角形式的除法法则，即可求解.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式
【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，属于基础题.
28．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本.题考查【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.
【解析】复数化为三角形式，按三角形式的运算法则，即可求解.
【详解】解：（1）原式
（2）原式
；
（3）原式 ；
（4）原式 .
复数三角形式的乘除法运算，属于基础题
29．把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】求出各复数的实部和虚部三角函数值，即可求解.
【详解】解.（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题考查复数三角形式与代数形式互化，属于基础题.专题03 复数的三角表示（三大题型）
【题型1 复数的三角表示】
【题型2 复数的辅角】
【题型3复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
【题型1 复数的三角表示】
1．复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．复数的三角形式为 ．
4．写出复数的三角形式是 ．（辐角）
5．在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
6．把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2)i．
7．已知实数，写出下列复数的辐角主值．
(1)a； (2)； (3)； (4)．
8．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)； (2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
9．将下列复数表示成三角形式
(1)； (2)．
10．化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i； (2)1－i； (3)2i； (4)－1．
11．将下列复数化为三角形式：
(1)； (2)．
12．将下列复数化为三角形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【题型2 复数的辅角】
13．复数1＋i的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
14．下列各角不是复数的辐角的是（ ）
A． B． C． D．
15．复数的三角形式的辐角主值为 .
16．复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ．
17．已知，则的辐角主值为 ．
18．复数的辐角主值是 ．
19．复数的幅角主值为 .
【题型3复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】
20．（ ）
A． B． C． D．
21．（ ）
A． B． C． D．
22．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
23．（ ）
A． B． C． D．
24．计算的值是（ ）
A． B．
C． D．
25． .
26．计算 ．
27．化简：
（1）； （2）.
28．计算：
（1）； （2）；
（3）；
（4）.
29．把下列复数表示成代数形式：
（1）； （2）；
（3） （4）.
