第十七章 勾股定理单元测试试题（基础卷 含解析）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理单元测试试题（基础卷 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-19 21:27:13 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．1，， D．2，3，4
2．（本题3分）如果一个三角形的两条直角边为6和8，那么斜边长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．2 或10
3．（本题3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A． B． C．3，5，7 D．5，12，13
4．（本题3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．6，8，11 D．5，12，13
5．（本题3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边之比为 B．三内角之比为
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差 D．三边长分别为、、
7．（本题3分）如图中，，，在y轴正半轴上有一点P，当，点P的纵坐标为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．（本题3分）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
9．（本题3分）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
10．（本题3分）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）工人师傅要做一个正方形的窗框，知道它的对角线长4米，则它的边长是 米．
12．（本题3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ．
13．（本题3分）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ．
14．（本题3分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么的值为 ．
15．（本题3分）如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是 ．
16．（本题3分）有一个内角为的三角形腰长为4，则它的底边长为
17．（本题3分）在平面直角坐标系中点到原点的距离是
18．（本题3分）在中，，，，则的面积是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，一艘轮船从出发，自西向东航行，开往距它海里的处，海中有一个小岛，该岛周围海里内有暗礁，已知相距海里，相距海里，你认为轮船在持续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．
20．（本题8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．
21．（本题10分）先观察下列各组数，然后回答问题：
第1组：，，，第2组：，，，
第3组：，，，第4组：，，.
(1)根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数；
(2)以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是______，请说明原因．
22．（本题10分）如图，是规格为的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：
(1)请在网格中建立直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是______，面积是______．
23．（本题10分）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处（即），经过测量，求弯折点与地面的距离．
24．（本题10分）如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
25．（本题10分）操作：我们知道等腰三角形是轴对称图形，至少有一条对称轴如图，在等腰中，，用尺规在图中作出的对称轴方法与图、图不同，保留作图痕迹，不写作法．
探究：如图，在等腰中，，于点，，点为边上一点，，求的长．
探究：在等腰中，，点，点分别为边、上一点，，若，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】
本题考查了勾股定理，根据斜边长的平方等于直角边平方之和，据此即可作答．
【详解】解：∵一个三角形的两条直角边为6和8，
∴，
∴斜边长为10，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查勾股定理逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【详解】解：由，得出3，4，5能为直角三角形三边长度，故A不符合题意；
由，得出6，8，10能为直角三角形三边长度，故B不符合题意；
由，得出6，8，11不能为直角三角形三边长度，故C符合题意；
由，得出5，12，13能为直角三角形三边长度，故D不符合题意．
故选C．
5．C
【分析】
本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．根据题意画出图形，利用勾股定理算出，再根据横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离，即可得到点M的坐标．
【详解】解：由题意画图如下：
轴于点，连接，
点M到x轴距离为3，到原点距离为5，
，，
，
的坐标是．
故选：C．
6．B
【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：A、设三边为，，，因为，所以是直角三角形；
B、因为，所以不是直角三角形；
C、因为一个内角的度数等于另外两个内角度数的差，即：，
因为，即，
则，所以是直角三角形；
D、因为，所以是直角三角形；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，三角形外角的性质，结合等角对等边，得到，再根据，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由勾股定理得：，
又，
∴，
∵点P在y轴正半轴上，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的纵坐标为8．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．正由方形的面积公式得出，再由勾股定理得，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由正方形的面积公式得：，
由勾股定理得：，
∴B所代表的正方形的面积为144，
故选：A．
9．C
【分析】
本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案．
【详解】
解：展开图：
（米，
（米，
（米，
故选：C．
10．B
【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】
解：，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
11．
【分析】此题考查正方形的性质和勾股定理，根据勾股定理和对角线长即可求出边长．
【详解】解：由正方形性质设边长为a米，已知对角线长为4米，
则由勾股定理知： ，
∴ ，
故答案为：．
12．5
【分析】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式计算即可．
【详解】由勾股定理知，．
故答案为:
13．5
【分析】、
本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为，
故答案为：5．
14．29
【分析】
根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解．本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
【详解】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得，
由题意，
，
所以，
故答案为：29．
15．/
【分析】本题考查了勾股定理，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理，灵活运用数轴上两点间距离公式是解题的关键．先利用勾股定理计算，从而得到的长，根据数轴上的两点间距离公式计算即可．
【详解】解：∵数轴上找出表示的点A、表示2的点B，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：：
16．
【分析】根据题意作出图形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，．利用勾股定理求出．然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可．
【详解】解：由题意可知只能为三角形的顶角，如图是符合题意的等腰三角形，
∵，
∴，
过点A作，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，根据题意画出图形是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的运算；
利用勾股定理列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：点到原点的距离为：，
故答案为：．
18．84
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，根据勾股定理解得、的值，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，
设，
∵，
∴，
在和中，，，
由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：84．
19．轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险，理由见详解
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理即可求解，掌握直角三角形中勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
根据题意可知，海里，海里，海里，
∴设，则海里，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∵岛周围海里内有暗礁，，
∴轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险．
20．够用，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接．
，，，
．
∵，
是直角三角形，且．
∴四边形的面积为：
．
所以所需费用为：（万元）．
，
∴投入的费用够用．
21．(1)，，
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）确定每组数据被开方数的规律即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：依题意得每一组的第一个被开方数为n，第二个被开方数为，第三个被开方数为，
∴第n组的三个数分别为，，；
（2）解：直角三角形，
∵，
即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方.
【点睛】本题考查了二次根式的规律问题、勾股定理的逆定理．找到一般规律是解题关键．
22．(1)见解析
(2)；4
【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中画等腰三角形、坐标与图形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据A点坐标为，B点坐标为，建立直角坐标系即可；
（2）根据题意，符合条件的点是点，结合勾股定理解得，即可解得周长，再由割补法求其面积即可．
【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，如图所示：
（2）解：在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，符合条件的三角形，如图所示：
，
，
，
故答案为：；4．
23．弯折点B与地面的距离为米
【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
答：弯折点B与地面的距离为米．
24．(1)见解析；
(2)的长为17，的长为9
【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
25．操作：答案见解答过程；探究；探究
【分析】
操作：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于和，分别连接、交于点，作直线即可；
探究1：根据已知条件判定是等腰直角三角形，过点作于，判定为等腰直角三角形，求出和的长，易求，然后根据勾股定理在中求出的长即可；
探究2：在上取点，使，连接，作于，根据已知条件判定，得到，易得，然后根据“三线合一”和勾股定理先求出的长，再根据勾股定理求出的长就是的长．
【详解】
解：操作：如图，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于和，分别连接、交于点，作直线则直线就是的对称轴；
探究：于点，
，
又，，
，
，
如图，过点作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，；
探究：如图，在上取点，使，连接，
又，，
，
，
又，
，
过点作于，
，
，，
，
又，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
即的长为．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，深入理解题意是解决问题的关键．
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．1，， D．2，3，4
2．（本题3分）如果一个三角形的两条直角边为6和8，那么斜边长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．2 或10
3．（本题3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A． B． C．3，5，7 D．5，12，13
4．（本题3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．6，8，11 D．5，12，13
5．（本题3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边之比为 B．三内角之比为
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差 D．三边长分别为、、
7．（本题3分）如图中，，，在y轴正半轴上有一点P，当，点P的纵坐标为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．（本题3分）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
9．（本题3分）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
10．（本题3分）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）工人师傅要做一个正方形的窗框，知道它的对角线长4米，则它的边长是 米．
12．（本题3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ．
13．（本题3分）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ．
14．（本题3分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么的值为 ．
15．（本题3分）如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是 ．
16．（本题3分）有一个内角为的三角形腰长为4，则它的底边长为
17．（本题3分）在平面直角坐标系中点到原点的距离是
18．（本题3分）在中，，，，则的面积是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，一艘轮船从出发，自西向东航行，开往距它海里的处，海中有一个小岛，该岛周围海里内有暗礁，已知相距海里，相距海里，你认为轮船在持续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．
20．（本题8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．
21．（本题10分）先观察下列各组数，然后回答问题：
第1组：，，，第2组：，，，
第3组：，，，第4组：，，.
(1)根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数；
(2)以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是______，请说明原因．
22．（本题10分）如图，是规格为的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：
(1)请在网格中建立直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是______，面积是______．
23．（本题10分）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处（即），经过测量，求弯折点与地面的距离．
24．（本题10分）如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
25．（本题10分）操作：我们知道等腰三角形是轴对称图形，至少有一条对称轴如图，在等腰中，，用尺规在图中作出的对称轴方法与图、图不同，保留作图痕迹，不写作法．
探究：如图，在等腰中，，于点，，点为边上一点，，求的长．
探究：在等腰中，，点，点分别为边、上一点，，若，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】
本题考查了勾股定理，根据斜边长的平方等于直角边平方之和，据此即可作答．
【详解】解：∵一个三角形的两条直角边为6和8，
∴，
∴斜边长为10，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查勾股定理逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【详解】解：由，得出3，4，5能为直角三角形三边长度，故A不符合题意；
由，得出6，8，10能为直角三角形三边长度，故B不符合题意；
由，得出6，8，11不能为直角三角形三边长度，故C符合题意；
由，得出5，12，13能为直角三角形三边长度，故D不符合题意．
故选C．
5．C
【分析】
本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．根据题意画出图形，利用勾股定理算出，再根据横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离，即可得到点M的坐标．
【详解】解：由题意画图如下：
轴于点，连接，
点M到x轴距离为3，到原点距离为5，
，，
，
的坐标是．
故选：C．
6．B
【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：A、设三边为，，，因为，所以是直角三角形；
B、因为，所以不是直角三角形；
C、因为一个内角的度数等于另外两个内角度数的差，即：，
因为，即，
则，所以是直角三角形；
D、因为，所以是直角三角形；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，三角形外角的性质，结合等角对等边，得到，再根据，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由勾股定理得：，
又，
∴，
∵点P在y轴正半轴上，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的纵坐标为8．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．正由方形的面积公式得出，再由勾股定理得，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由正方形的面积公式得：，
由勾股定理得：，
∴B所代表的正方形的面积为144，
故选：A．
9．C
【分析】
本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案．
【详解】
解：展开图：
（米，
（米，
（米，
故选：C．
10．B
【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】
解：，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
11．
【分析】此题考查正方形的性质和勾股定理，根据勾股定理和对角线长即可求出边长．
【详解】解：由正方形性质设边长为a米，已知对角线长为4米，
则由勾股定理知： ，
∴ ，
故答案为：．
12．5
【分析】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式计算即可．
【详解】由勾股定理知，．
故答案为:
13．5
【分析】、
本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为，
故答案为：5．
14．29
【分析】
根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解．本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
【详解】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得，
由题意，
，
所以，
故答案为：29．
15．/
【分析】本题考查了勾股定理，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理，灵活运用数轴上两点间距离公式是解题的关键．先利用勾股定理计算，从而得到的长，根据数轴上的两点间距离公式计算即可．
【详解】解：∵数轴上找出表示的点A、表示2的点B，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：：
16．
【分析】根据题意作出图形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，．利用勾股定理求出．然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可．
【详解】解：由题意可知只能为三角形的顶角，如图是符合题意的等腰三角形，
∵，
∴，
过点A作，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，根据题意画出图形是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的运算；
利用勾股定理列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：点到原点的距离为：，
故答案为：．
18．84
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，根据勾股定理解得、的值，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，
设，
∵，
∴，
在和中，，，
由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：84．
19．轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险，理由见详解
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理即可求解，掌握直角三角形中勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
根据题意可知，海里，海里，海里，
∴设，则海里，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∵岛周围海里内有暗礁，，
∴轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险．
20．够用，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接．
，，，
．
∵，
是直角三角形，且．
∴四边形的面积为：
．
所以所需费用为：（万元）．
，
∴投入的费用够用．
21．(1)，，
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）确定每组数据被开方数的规律即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：依题意得每一组的第一个被开方数为n，第二个被开方数为，第三个被开方数为，
∴第n组的三个数分别为，，；
（2）解：直角三角形，
∵，
即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方.
【点睛】本题考查了二次根式的规律问题、勾股定理的逆定理．找到一般规律是解题关键．
22．(1)见解析
(2)；4
【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中画等腰三角形、坐标与图形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据A点坐标为，B点坐标为，建立直角坐标系即可；
（2）根据题意，符合条件的点是点，结合勾股定理解得，即可解得周长，再由割补法求其面积即可．
【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，如图所示：
（2）解：在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，符合条件的三角形，如图所示：
，
，
，
故答案为：；4．
23．弯折点B与地面的距离为米
【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
答：弯折点B与地面的距离为米．
24．(1)见解析；
(2)的长为17，的长为9
【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
25．操作：答案见解答过程；探究；探究
【分析】
操作：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于和，分别连接、交于点，作直线即可；
探究1：根据已知条件判定是等腰直角三角形，过点作于，判定为等腰直角三角形，求出和的长，易求，然后根据勾股定理在中求出的长即可；
探究2：在上取点，使，连接，作于，根据已知条件判定，得到，易得，然后根据“三线合一”和勾股定理先求出的长，再根据勾股定理求出的长就是的长．
【详解】
解：操作：如图，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于和，分别连接、交于点，作直线则直线就是的对称轴；
探究：于点，
，
又，，
，
，
如图，过点作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，；
探究：如图，在上取点，使，连接，
又，，
，
，
又，
，
过点作于，
，
，，
，
又，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
即的长为．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，深入理解题意是解决问题的关键．
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