第17章 一元二次方程单元测试试题（基础卷含解析）
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| 名称 | 第17章 一元二次方程单元测试试题（基础卷含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 687.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-19 21:28:42 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级一元二次方程（沪科版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如果是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
2．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．（本题3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．11 C．9或11 D．14和12
8．（本题3分）某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）方程的根为（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．2或4
10．（本题3分）若关于x的方程有实数根．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
12．（本题3分）已知是关于x的一元二次方程，则a等于 ．
13．（本题3分）某食品生产厂加工的矿泉水10月份产量为60万瓶，由于反馈口碑较好．工厂决定从11月份起扩大产能，使得第四季度总产量达到198.6万瓶．设矿泉水产量的月平均增长率为，列出的方程为 ．
14．（本题3分）一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为 ．
15．（本题3分）关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值 ．
16．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．
17．（本题3分）方程的一个根是，那么a的值是 ．
18．（本题3分）如果关于的一元二次方程有两个同号实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）用配方法解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
20．（本题8分）在关于x的方程中，求证：
(1)若，则原方程有实根．
(2)若a与c异号，则原方程有两异实根．
21．（本题10分）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
22．（本题10分）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？
23．（本题10分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元．
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒；
(2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
24．（本题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．
(1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
25．（本题10分）列方程或不等式解应用题
建设美丽城市，改造老旧小区，某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率
(2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区72万元.2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的解，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】
解：A、该方程含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
C、该方程化简后只含有一个未知数，且未知数的次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
D、一元二次方程一般形式为，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】
本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可．
【详解】
解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
4．C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
综上：是一元二次方程的有3个；
故选C．
5．A
【分析】
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得，
解得，
正整数的值为．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
7．C
【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
当时，三边长为2，3，4，此时三角形周长为；
当时，三边长分别为3，4，4，此时三角形周长为．
故三角形的周长为：9或11．
故选：C．
8．C
【分析】
本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×”分别表示出、月份的利润，求和，根据第四季度的利润是60万元即可列出方程．正确表示出11、12月份的利润是解题关键．
【详解】解：∵10月份的利润是18万元，月利润平均增长率为x，
∴月份利润为，月份利润为，
∵第四季度的利润是60万元，
∴可列方程为，
故选：C．
9．C
【分析】
本题考查解一元二次方程．用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，．
故选：C．
10．B
【分析】
本题考查了根的判别、方程的解等知识点，分和两种情况解答即可．
【详解】
解：当时，方程化为，解得：；
当时，则，解得：且，
综上所述，k的取值范围为．
故选：B．
11．
【分析】
本题考查了一元二次方程的增长率的应用，解题的关键是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
【详解】解：设科研经费投入的年平均增长率为，
∵2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为，
故答案为：．
12．
【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，根据定义得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴
解得
故答案为：
13．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可求出11月份产量为万瓶，从而求出12月份产量为万瓶．再根据第四季度总产量达到198.6万瓶即可列出方程．
【详解】解：∵矿泉水产量的月平均增长率为，
∴11月份产量为万瓶，
∴12月份产量为万瓶．
∵第四季度总产量达到198.6万瓶，
∴可列方程为．
故答案为：．
14．1
【分析】由一元二次方程根与系数关系，即可求解，
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根与系数关系．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，
故答案为：1．
15．2（答案不唯一）
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：，
所以当取2时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：2（答案不唯一）．
16．且
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
17．3
【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将代入原方程中，得到关于a的一元一次方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，即：，
∴，
故答案为：3．
18．
【分析】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式：
根据根的判别式的意义得到，解得，设方程两根分别为，，由于，而方程有两个同号实数根，所以，于是可得到的取值范围．
熟练掌握根与系数的关系是关键．
【详解】
解：根据题意得，解得，
设方程两根分别为，，而，则，
所以的取值范围为．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，；
（3）解：，
，
，；
（4）解：，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）证明根的判别式即可；
（2）证明根的判别式即可．
【详解】（1）证明：若，则方程为，
，
原方程有实根；
（2）证明：、异号，，
，
，
原方程有两异实根．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
22．
【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．
【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人，
列方程得：，
解得：，（舍去），
答：每轮传染巾平均一个人传染了个人．
23．(1)
(2)要获得1200元利润，应按每盒70元销售
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值．
【详解】（1）
解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒．
故答案为：；
（2）
解：根据题意得：，
整理得：．
解得：，，
该款口罩的每盒售价不得高于72元，
不合题意，舍去．
答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．
24．(1)；
(2)当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设的长度为米，则的长度为米；
（2）根据矩形的面积公式列出方程．
【详解】（1）
解：依题意得，．
则；
（2）
解：根据题意得，
解得，．
则或．
，
，舍去．
即，．
答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
25．(1)
(2)该市在2024年最多可以改造21个老旧小区
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2023年投入资金金额=2021年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据2024年改造老旧小区所需资金不多于2024年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）
解：设该市改造老！汨区投入资金的年平均增长率为，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；
（2）
解：设该市在2024年可以改造个老旧小区，依题意得：
，
解得：，
又为整数，
的最大值为21．
答：该市在2024年最多可以改造21个老旧小区．
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2023-2024学年数学八年级一元二次方程（沪科版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如果是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
2．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．（本题3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．11 C．9或11 D．14和12
8．（本题3分）某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）方程的根为（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．2或4
10．（本题3分）若关于x的方程有实数根．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
12．（本题3分）已知是关于x的一元二次方程，则a等于 ．
13．（本题3分）某食品生产厂加工的矿泉水10月份产量为60万瓶，由于反馈口碑较好．工厂决定从11月份起扩大产能，使得第四季度总产量达到198.6万瓶．设矿泉水产量的月平均增长率为，列出的方程为 ．
14．（本题3分）一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为 ．
15．（本题3分）关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值 ．
16．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．
17．（本题3分）方程的一个根是，那么a的值是 ．
18．（本题3分）如果关于的一元二次方程有两个同号实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）用配方法解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
20．（本题8分）在关于x的方程中，求证：
(1)若，则原方程有实根．
(2)若a与c异号，则原方程有两异实根．
21．（本题10分）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
22．（本题10分）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？
23．（本题10分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元．
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒；
(2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
24．（本题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．
(1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
25．（本题10分）列方程或不等式解应用题
建设美丽城市，改造老旧小区，某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率
(2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区72万元.2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的解，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】
解：A、该方程含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
C、该方程化简后只含有一个未知数，且未知数的次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
D、一元二次方程一般形式为，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】
本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可．
【详解】
解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
4．C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
综上：是一元二次方程的有3个；
故选C．
5．A
【分析】
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得，
解得，
正整数的值为．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
7．C
【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
当时，三边长为2，3，4，此时三角形周长为；
当时，三边长分别为3，4，4，此时三角形周长为．
故三角形的周长为：9或11．
故选：C．
8．C
【分析】
本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×”分别表示出、月份的利润，求和，根据第四季度的利润是60万元即可列出方程．正确表示出11、12月份的利润是解题关键．
【详解】解：∵10月份的利润是18万元，月利润平均增长率为x，
∴月份利润为，月份利润为，
∵第四季度的利润是60万元，
∴可列方程为，
故选：C．
9．C
【分析】
本题考查解一元二次方程．用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，．
故选：C．
10．B
【分析】
本题考查了根的判别、方程的解等知识点，分和两种情况解答即可．
【详解】
解：当时，方程化为，解得：；
当时，则，解得：且，
综上所述，k的取值范围为．
故选：B．
11．
【分析】
本题考查了一元二次方程的增长率的应用，解题的关键是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
【详解】解：设科研经费投入的年平均增长率为，
∵2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为，
故答案为：．
12．
【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，根据定义得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴
解得
故答案为：
13．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可求出11月份产量为万瓶，从而求出12月份产量为万瓶．再根据第四季度总产量达到198.6万瓶即可列出方程．
【详解】解：∵矿泉水产量的月平均增长率为，
∴11月份产量为万瓶，
∴12月份产量为万瓶．
∵第四季度总产量达到198.6万瓶，
∴可列方程为．
故答案为：．
14．1
【分析】由一元二次方程根与系数关系，即可求解，
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根与系数关系．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，
故答案为：1．
15．2（答案不唯一）
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：，
所以当取2时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：2（答案不唯一）．
16．且
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
17．3
【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将代入原方程中，得到关于a的一元一次方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，即：，
∴，
故答案为：3．
18．
【分析】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式：
根据根的判别式的意义得到，解得，设方程两根分别为，，由于，而方程有两个同号实数根，所以，于是可得到的取值范围．
熟练掌握根与系数的关系是关键．
【详解】
解：根据题意得，解得，
设方程两根分别为，，而，则，
所以的取值范围为．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，；
（3）解：，
，
，；
（4）解：，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）证明根的判别式即可；
（2）证明根的判别式即可．
【详解】（1）证明：若，则方程为，
，
原方程有实根；
（2）证明：、异号，，
，
，
原方程有两异实根．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
22．
【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．
【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人，
列方程得：，
解得：，（舍去），
答：每轮传染巾平均一个人传染了个人．
23．(1)
(2)要获得1200元利润，应按每盒70元销售
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值．
【详解】（1）
解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒．
故答案为：；
（2）
解：根据题意得：，
整理得：．
解得：，，
该款口罩的每盒售价不得高于72元，
不合题意，舍去．
答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．
24．(1)；
(2)当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设的长度为米，则的长度为米；
（2）根据矩形的面积公式列出方程．
【详解】（1）
解：依题意得，．
则；
（2）
解：根据题意得，
解得，．
则或．
，
，舍去．
即，．
答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
25．(1)
(2)该市在2024年最多可以改造21个老旧小区
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2023年投入资金金额=2021年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据2024年改造老旧小区所需资金不多于2024年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）
解：设该市改造老！汨区投入资金的年平均增长率为，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；
（2）
解：设该市在2024年可以改造个老旧小区，依题意得：
，
解得：，
又为整数，
的最大值为21．
答：该市在2024年最多可以改造21个老旧小区．
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