专题02 复数的四则运算（三大题型）
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
【题型2 复数的乘、除运算】
【题型3复数范围内解方程】
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
1．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的减法运算，即可得答案.
【详解】因为 ，，所以，
故选：A
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据复数的减法计算即可.
【详解】由题意，时，.
故选：C
3．已知，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据复数的加减运算以及复数的相等，即可得答案.
【详解】因为，
所以，即，
故选：C.
4．若复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数，则.
故选：A.
5． .
【答案】#
【分析】由复数的减法运算可得答案.
【详解】.
故答案为：．
6．复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ；
【答案】
【分析】结合复数的几何意义和四则运算，即可求解.
【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，
则，
则
故答案为：
7．计算．
【答案】
【分析】根据复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据复数的加法与减法的运算法则，
可得.
．
8．计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）根据复数的加法与减法运算，即可求解；
（2）根据复数的加法与减法运算，即可求解；
（3）根据复数的乘方运算，即可求解.
【详解】（1）解：由复数的运算法则，可得；
（2）解：由复数的运算法则，可得；
（3）解：由复数的乘方运算，可得.
9．已知i为虚数单位，计算：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用复数加法和减法的运算，化简求得表达式的值.
（2）利用复数加法和减法的运算，化简求得表达式的值.
（3）利用复数加法和减法的运算，化简求得表达式的值.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
【点睛】本小题主要考查复数的加法和减法的运算，属于基础题.
10．计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：.
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.
【题型2 复数的乘、除运算】
12．已知，，，则（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
【答案】D
【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可.
【详解】因为,即，
所以，解得，所以；
故选：D
13．在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义可得出复数，再利用复数的乘法可求得的值.
【详解】在复平面内，若复数对应的点为，由复数的几何意义可得，
因此，.
故选：A.
14．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算以及复数的模、共轭复数的概念即可求解.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：A.
15．（ ）
A．5 B． C．1 D．7
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】，
故选:D.
16．复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数运算法则直接计算.
【详解】由题意得，.
故选：B
17．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C．
18．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】由复数乘法运算结合复数概念即可得.
【详解】，故z的虚部为1.
故选：C.
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算结合复数相等的条件即可求解.
【详解】由于，
所以，即，所以．
故选：A
20．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用复数复数的四则运算法则求解.
【详解】.
故选:A．
21．已知i为虚数单位，计算： ．
【答案】
【分析】直接利用复数的除法运算计算即可.
【详解】.
故答案为：.
22．计算下列各题:
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）利用复数的四则运算求解即可.
【详解】（1）
.
；
（2）
.
.
23．计算
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据复数的乘法法则及模长公式计算即可；
（2）利用复数的乘方及除法运算即可.
【详解】（1）；
（2）.
24．计算．
【答案】
【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】解：由复数的运算法则，
可得．
25．计算
【答案】
【分析】根据平方差公式和复数的乘方运算即可.
【详解】原式．
26．计算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复数乘法、除法运算求得正确答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
27．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解；
（2）利用平面向量的线性运算求解；
（3）利用复数的乘方运算和加法运算求解；
（4）利用复数的除法运算求解.
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
；
（3），
；
（4）
【题型3复数范围内解方程】
28．多项式在复数集中因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出方程的复数根，即可得解；
【详解】解：对于方程，因为，
所以有两个虚根，即，，
所以；
故选：A
29．在复数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】根据复数范围内的分解因式方法计算直接得出.
【详解】，
，
，
，
，
故答案为：.
30．在复数范围内因式分解： ．
【答案】或
【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.
【详解】因为，
所以
①，
②，
故答案为：或.
31．在复数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；
【详解】解：
故答案为：
32．在复数范围内分解因式： .
【答案】
【分析】根据以及平方差公式可得结果.
【详解】
故答案为：
33．（1）在实数集中分解因式： ；
（2）在复数集中分解因式： ； ．
【答案】
【分析】（1）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解即可得解；
（2）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解可将代数式进行因式分解，利用完全平方公式结合平方差公式可将代数式化简.
【详解】（1）；
（2），
.
故答案为：（1）；（2），.
34．（1）已知复数满足，求；
（2）在复数范围内因式分解：.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）根据复数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）利用求根公式求得方程的根，进而得到的因式分解.
【详解】解：（1）由复数满足，
可得.
（2）由判别式，
所以方程的两个根为，
则.
35．利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据所给等式，直接可得答案；
（2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.
【详解】（1）;
（2）,
（3）
（4）
36．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由利用平方差公式可得答案；
（2）由利用平方差公式可得答案.
【详解】（1）；
（2）.
37．在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
【答案】(1)(x＋2i)(x－2i)
(2)(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.
（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.
【详解】（1）x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．
（2）x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
38．（1）复数范围内因式分解；
（2）计算：；
（3）已知复数，实数a，b满足，求a，b的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）根据把化为，然后根据平方差公式进行因式分解；
（2）先根据复数的除法运算化简，然后再根据的周期性来求值；
（3）把复数代入，然后根据复数相等的条件求值.
【详解】（1）因为，所以；
（2）；
（3）因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，解得或.专题02 复数的四则运算（三大题型）
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
【题型2 复数的乘、除运算】
【题型3复数范围内解方程】
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
1．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．0
3．已知，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．若复数，则 （ ）
A． B． C． D．
5． .
6．复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ；
7．计算．
8．计算：
(1)； (2)；
(3)
9．已知i为虚数单位，计算：
（1）； （2）；
（3）.
10．计算：
(1)； (2)；
(3).
11．计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
【题型2 复数的乘、除运算】
12．已知，，，则（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
13．在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
15．（ ）
A．5 B． C．1 D．7
16．复数（ ）
A． B． C． D．
17．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
18．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B．5 C．1 D．
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．（ ）
A． B． C． D．
21．已知i为虚数单位，计算： ．
22．计算下列各题:
(1)； (2).
23．计算
(1)； (2)
24．计算．
25．计算
26．计算下列各式的值．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
27．计算：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【题型3复数范围内解方程】
28．多项式在复数集中因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
29．在复数范围内分解因式： ．
30．在复数范围内因式分解： ．
31．在复数范围内分解因式： ．
32．在复数范围内分解因式： .
33．（1）在实数集中分解因式： ；
（2）在复数集中分解因式： ； ．
34．（1）已知复数满足，求；
（2）在复数范围内因式分解：.
35．利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积：
(1)； (2)； (3)； (4)．
36．在复数范围内分解因式：
(1)； (2).
37．在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4 (2)x4－4
38．（1）复数范围内因式分解；
（2）计算：；
（3）已知复数，实数a，b满足，求a，b的值．
